第三章课上讲题答案MicrosoftWord文档

1、【例】证明方程4ax+3bx2+2CX =a+b+c在(0,1)内至少有一个实根。提示：设 f(X)=ax4+bx3+CX2 -(a+b+c)x且f(o)=f(i卜所以f(x)在0,1上满足罗尔定理。【例】设函数f(x )在闭区间0,1上可微，对于 VX亡0,1，函数f(x尸(0,1)，且 f (X )h1，证明：在(0,1 )内有且仅有一个 X，使f(x)=x。证明 设 F(x)=f(x) X，则 F(x )在0,1上可微，且 F(0)= f (0):0,F(1 )= f (1)1 v0，因而由零点定理知至少存在一个t忘(0,1)，使F()=0。设F(x )在(0,1 )内至少有两个实根。即

2、3 0cx10 证明：因为f(a)=f(b )，且f(x )不恒为常数，贝y存在C迂(a,b )，使fC)fa(忖 ()当 f (cf (a )= f (b )，则存在 亡(a,c),使 f 牡)=0c-a当 f (c)f (a)=f (b )，则存在(c,b )，使 f 牡)=f(b)- f(c)A0b -c【例】 设函数f(x)定义在0,c】上，f(x )在(0,c )内存在且单调下降，又f(0)=0。证明：对于 0aba+bc，恒有 f(a+b)i2=1= f (0 ) = 0, f(0 ) = 11 又 f(X )= f (0 )+ f (0 )x + f ”仁)x2 x2!f(1)=

3、1,【例】设函数 f(x )在闭区间-1,1上具有三阶连续导数，且f(-1) = 0，f(0) = 0，证明：3巴壬(-1,1)，使 f ”伯)=3 证明： 将f(X淳X = 0点展开成三阶泰勒公式得f(X )= f (0 )+ 1 f (0)X2 + 1 f ()X3。则2!3!1 1f (T)=f(0)+-f(0)-L(q ),巴严(-1,0)f (1)=f (0)qL(0F3f G),崇(0,1 (2)-(1 )得 1 = f (1 )f(1已( WJ)f 径 + f U 由连续函数介值定理知吕吳(，匕2 )，使一一 = f ”(匕)所以至亡(-1,1 )，使广() = 32【例】求li

4、m -XT XX22COSX -e 22 L,2x +ln(1 -2x)X22cosxe 2lim 2= limTxpZx+ln(1-2x) T2 X2!+ ：! +。以41-X 21+2 2!/X222、4+ o(x )丿 丿x22x 2x-2(2x) + o(x2)j124【例】设f (X淳R上可导，且lim f (X )=e， lim求c的值。提示lim)-lim Lf(X )- f(X-1 )=xlx-C 丿fx+c如 grp, x1 矇.2cx .1所以 e齐 I丿=e= lim=1= c= Fxc2FX-C 丿lim f )=e【例】证明：当x0时，eX-1(1+x)ln(1 +

5、x)提示设f(X ) = ex -1 一(1 +xn (1 + X)，可求得当X0时,【例】提示设 eab4(ba) e224f(x)=ln X Tn a-p(x a) e24f(X )= ln X -一X，单调e24f (x)=ln X 2 X，拉格e证明证明证明【例】证明不等式X + V xln x + yln v (x + v)ln提示 设f(X )=tlnt，利用凹凸性【例】设 lim f(X)f2(a)T (x-a)=1，则在(A)f(X )的导数存在且f(a)工 0(C)f(X )取得极小值呗f(X) f(X 巧，r(o，利用单调性。(B) f(X )的导数不存在(D)f(X )取

6、得极大值【D】【例】要设计一个容积为常量V的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的一半，问如何设计，才能使水池的造价最低。解设圆柱体的底圆半径为r ,高为h , r 0, h 0。底的单位面积造价为 a，则22 V水池的造价 f(r) = a；ir +4a兀rh =兀 +4a rf =24aVr，令 f(r ) = 0,得唯一驻点 r r=昇，又f 7戶2兀拐V30V兀r所以r 碍是“ r )的极小值点，也是f (r)的最小值点，所以当r =【例】设函数 f (X )在2 xc)上可导，且 f (X):0，又(xf ( X) kf( X。证明:f (x)Ax上二，其中 A = f (2)2k卅证明设 F(X )= f(X )xk*，对 PX忘2,xcF (X )= f(X 严 + f (xk +1 )xk =xk(xf(X)+(k + 1)f (x)因为(xf (X ) = f (X )+xf (X )，且由已知得 xf (X )+(k +1 )f(X )乞 0既对0xE 9严),F(x)0（b2 4ac cO片x +Jx2 x+1定义域为（亠，母），无铅直渐近线。【例】设P = P（x ）是抛物线y = jx上任一点M（X, y）（x1）处的曲率半径，S = S（x）是点M到原点的