第三章数列综合能力测试

1、第三章数列综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。 一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. （2019杭州模拟卷）在等差数列an中，已知a1+a2+a3+a4+ a5= 20,那么a3=（ ）A. 4答案：A解析：解法一：因为an为等差数列，设首项为a1,公差为 84 + 2d = 4,1 卩 a3= 4.解法二：在等差数列中，a1+ a5= 82+ a4= 2a3,所以由 34+32+ a3+ a4+ a5= 20得 5a3= 20,a3= 4.2. （

2、2019甘肃省会宁五中期中考试 的前n项和，贝y S11 =A. 45B. 50答案：Cd,由已知有 5ai + 10d= 20,）等差数列an中，已知as+ a7= 10, Sn 是数列a)C. 5560ai+ aii解析：S11=23.已知等比数列1011 = X 11 = 55,故选 C.1a1 + a3 + a5 + a7_an的公比 q = -3 则 a2 + a4 + a6+ a*等于a5 + a?X 11 =答案:=a5= a7= 1a2 a4 a6 a* qa1+ a3+ a5+ 巧 1 3.a2+a4+a6+ a* q4. (2019 东，4)已知等比数列an满足an0, 则

3、当 nA 1 时，log2a1 + log2a3 + + log2a2n-1 =A. (n- 1)2B. n2C. (n+1)2答案：B解析：-a5 a2n-5= 2 = an, an 0,- an = 2 ,- log2a1 + log2a3 + + log2a2n-1= Iog2(a1a3a2n-1)= log?1 3(2n 1)= log?n2= n2 故选B.5. 一张报纸，其厚度为时，报纸的厚度和面积分别为b A. 8a, 8bC. 128a, 128答案：C解析:a，面积为B.D.n = 1,2,，且 a5 a2n-5= 22n(n3),()D.n2- 1b，现将报纸对折（即沿对边

4、中点连线折叠）7次，这（ ）b64a, 64b256a, 256解析：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为12和？，故对折7次后报纸的厚度为27a = 128a，报纸的面积为 苑=盘，选C.6.若数列an的通项公式为an=気 则前n项和为C. Sn= n（1 尹）答案：B解析：可用错位相减求或验证 0、S2.C1nB. Sn= 21 2c1nD. Sn= 21 + 尹7.等比数列an的前n项之和为Sn,公比为q,若S3= 16且=1 qa11|8，则 S3 =18A. 14 答案：A 解析：由呼93a11 q，S3= 16,即 a1(1-q) = 16,1 q3= 9,

5、1 q8则 S6= S3+ S3 q3= 14. 8. (2019北京市西城区)设成等比数列，则a等于a1C. 102q31q 一 8,144Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且Si、A. 1答案：C解析：设等差数列 an首项为a1,公差为+ 6d）= （2a1 + d）2，解得 2a1 = d,因此 生=3,a1dM 0 ,因为0、S2、S4成等比数列，所以选择C.a1 (4a1a4 , a5)9.在数列an中anM 0, a1 , a2, a3成等差数列，a2, a3, a4成等比数列，a3, 的倒数成等差数列，贝y a1, a3, a5（A .是等差数列B .是等比数列C.三个数

6、的倒数成等差数列D .三个数的平方成等差数列答案：B解析：2a2= 81 + a3 a3 = a2 a4Z =丄+丄a4 a3 a5由/得a2a4 = a1-+y，化简得 a3 = a1 a5，故选 B. 一+ 一 a3 a510.已知等差数列an的前n项和为Sn,若OB=a1OA+a2019OC，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点），则S2019等于（）D. 22019A. 2019B.2009 C. 22019答案：B解析：/ OB = a1 OA + a2019OC，且 A、B、C 三点共线.- a1 + a2019 = 1.又an是等差数列，. S2019 =（a1 罗2009）X

7、 2019 =警.故选 B.11.在 ABC中，tanA是第3项为一4,第7项为4的等差数列的公差，tanB是第3项为1，第6项为9的等比数列的公比，则 ABC是3B.锐角三角形D.钝角三角形A .等腰三角形C.直角三角形答案：B解析：由题意，得 tanA= 2, tanB= 3，于是 tanC=- tan(A + B)=-黑二囂=1，故选B.12.设数列an的前n项和为Sn,令Tn=n的“理想数”，已知数列 a1, a2,，印00的“理想数”为 a400的“理想数”为A. 2004B. 2019答案：CS1+ S2+ 5称Tn为数列2019，那么数列C. 2019D . 2019a1 , a

8、?,，an解析：由 T400= S1+ 逬二 + S400 = 20 1 9,400则 S+S?+ S400= 2019 X 400,9, a1, a2,，a400 的“理想数”=9X 401 + S1+S2+ 000 c , 2005 X 400=9+ 401= 2019.401第n卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，13.等差数列an中，a4 + a5= 8, 89+ 81= 28，贝U a1 等于 答案：3解析：由 a4+ a5= 2a1 + 7d= 8, 39+ a10= 2a1+ 17d= 28, 解得a1 = 3.请将答案填在题中的横线上。氏氏5

9、14. (2019 北京宣武)在等比数列an中，a1+ a3= 4, a4+ a6= 10,贝U a4 =答案：2解析：由题意可得Ja + q) 4!a1q3(1 + q2) = 10,1a1= 4,所以 a4=1X 23= 2.解得： h = 2,15.数列 an的前n项和记为Sn,已知an= 5Sn 3(n N)，贝U an = 答案：3( - 1)n1an+ 3解析：由an= 5Sn 3得Sn =5，即一 1 an 14a 1 5a13,31 n-14(4).当 n 2 时 Sn-1 = an 5+ 35.an an- 1an = u5又当n= 1时，3 a1 = 4,贝y an =16

10、. 若？表示一种运算，且有如下表示：1?1 = 2、m?n= k、(m+ 1)?n= k 1、m?(n+ 1)=k+2,则 2019?2019=.答案：2019解析：由m?(n+ 1)-m?n = k+ 2- k= 2，取m= 1，可得数列1 ?n是以1?1 = 2为首项， 以 2 为公差的等差数列，因此1?2019 = 2 + (2019 1) X 2= 4014.又由(m + 1)?n- m?n= k- 1k=- 1，取n= 2019，得数列m?2019是以1?2019= 4014为首项，以一1为公差的等差 数列，于是 2019?2019= 4014 + (2019 - 1) X (- 1

11、)= 2019.)a4三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17. (2019 东曲阜测试)(本小题满分10分)已知等差数列an的前n项和为Sn,且 =10 , S4= 22.(1) 求数列an的通项公式；设bn= 2an,求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设an的首项为a，公差为d,由a4= 10, S4= 22得fa1+ 3d= 10,S 4X 3解得 a1= 1, d= 3,|4a1 + -d = 22,I厶an = 1 + 3(n 1) = 3n 2.(2) bn = 2an= 23n- 2= 2 X 8n-1 ,则数列bn是以2为首项，8为公

12、比的等比数列，它的前 项和2(8n1)2 n 八Tn= -8=7(8- 1).18. (本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距 70m的两处同时相向运动甲第1钟走2m,以后每分钟比前一分钟多走1m,乙每分钟走5m.(1) 甲、乙开始运动后几分钟相遇？1m,乙继续每(2) 如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走 分钟走5m.那么开始运动几分钟后第二次相遇？解析：(1)设nmin后第1次相遇， 依题意，有 2n+ n(n 1) + 5n = 70, 整理得n2+13n 140= 0，解得n = 7或n = - 20(舍去).故第1次相遇是在开始运动后7mi n.(2)设nm

13、in后第2次相遇，依题意，有 2n+ n(n 1) + 5n = 3X 70,整理得 n2+13n 6X 70= 0,解得 n= 15, n= 28(舍去).故第2次相遇是在开始运动后15min.19. (2019辽宁，17)(本小题满分12分)等比数列an的前n项和为Sn.已知S1, S3, S2 成等差数列.(1) 求 an的公比q;(2) 若 a1 a3= 3,求 Si.解析：(1)依题意有 a1+ (a1 + a1q) = 2(a1 + a1q + a1q ),由于0，故2q2 + q= 0.又q丰0,从而q =-.1 2由已知可得a1 a1( 2) = 3，故a1= 4.41 - (

14、-2)n 81从而 Sn= = 1 - ( - 2)n.1 -(-匚)1 *20. (本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn, Sn= 3(an 1)(nW N ).(1) 求 a1, 32；求证：数列an是等比数列.解析：(1 )由 Si = (an 1)，得1 1 a1 = 3(a1 1)，所以 a1 =.1又 S2= 3(82 1),即 a1+ a2= 1(a2 D,得 a2= 4.(2) 证明：当n 1时，11a111an= Sn S-1 = 3(an 1) (an-1 1)，得=乞故an是首项为一刁公比为一三的 等比数列(n N*).，记 bn =2n, n为偶数flan +

15、 n, n为奇数21. (本小题满分12分)已知数列an满足ai= 1, an+i=$2 Lana2n, n N .(1)求 a2, as；求数列bn的通项公式；(3)求证 S2n+1 = ai + a2+ a2n + a2n+l.35解析：(1)a2= 2，a3=- 2.1当 n2 时，bn= a2n= a(2n-1)+1 = 2a2n-1 + (2n 1)1 1 1=2a2n- 2 2(2 n 2) + (2n 1)=尹23-1)+ 1 = bn-1 + 1二 bn 2= 2(bn-1 2)，又 b1 2 = a2 2 = 2，- bn- 2=- 1(1)n- 1=- (2)n，即 bn=

16、 2 -(2)n. a2n+1= a2n- 4n= g4n-S2n+ 1 = a1 + a2 + a2n + a2n+ 1=(a2+ a4+ + a2n)+ (a1 + a3+ a5+ + a2n +1)=(b1+b2+ + bn) + a1 + (b1 4x 1) + (b2 4x 2) + + (g 4X n) =a1 + 2(b1 + b2+ + bn) 4x (1+ 2+ n)11 n12(211 - (-2) n(n+ 1)=1 + 2(2 n1) 4X 21 1=(pn-1 2n2+2n- 1.22. (2019黄冈市高三12月份质检)(本小题满分14分)已知函数f(x)的定义域为

17、0,1, 且同时满足： 对任意x 0,1，总有f(x) 2; f(1) = 3; 若 X1 0, X2 0，且 X1+ X2 1,则有 f(X1+ X2) = f(X1)+ f(X2) - 2.(1)求f(0)的值；试求f(x)的最大值；设数列an的前n项为Sn,满足a1= 1 ,1 *Sn= 2(an 3) , n N .311.求证：f(a1)+ f(a2) + + f(an) = 2+2n 莎亍 解析：(1)令 X1 = X2 = 0,贝y f(0) = 2f(0) 2, f(0) = 2. 任取 X1, X2 0,1且 X1 X2,则 0v X2 X1 2),1 1an= 2an + 2an1(n2),- an = 3an-1(nA 2)，又 a1 = 1* 0,an-1=3(n2)，.an数列an是以1为首项，公比为3的等比数列,an = 3门-11