柯西不等式试题

1、柯西不等式试题一、 （本大 共4 小 ）1.设 a， b， c R ，且 a b c 1， abc的最大 是 ()A 1B 3C3D 92.222222已知 a1 a2 an 1， x1 x2 xn 1， a1x1 a2x2 anxn 的最大 ()A 1B 2C 1D不确定3.若 数 a， b， c 均大于 0，且 a bc 3， a2 b2c2的最小 ()3A 3B 1C 3D 31494.已知 x，y， z 均大于 0，且 x y z 1. 则 x y z的最小 ()A 24B 30C36D 48二、填空 （本大 共2 小 ）5. (2013 湖南高考 ) 已知 a， b， c R， a

2、2b3c 6， a2 4b2 9c2 的最小 _6. 设 a，b，c，x，y，z 都是正数， 且 a2 b2 c2 25，x2 y2 z2 36，axby cz 30， a b c x y z _.三、解答 （本大 共4 小 ）7. 已知 数 x， y，z 足 x2y z 1，求 t x2 4y2 z2 的最小 8. 已知f() ax2c的所有系数均 正数，且a 1，求 ： 于任何正数x1，2，xbxb cx当 x1x2 1 ，必有 f ( x1) f ( x2) 1.9. 求 数 x， y 的 使得 ( y1) 2 ( x y 2) 2 (2 x y 6) 2 取到最小 10. ABC的三

3、a， b， c，其外接 半径 R.求证： ( a2 b2 c2)(121212 ) 36R2.sinAsinBsinC柯西不等式试题答案解析一、 11. 【解析】由柯西不等式得(a) 2 (b) 2 (c) 2(1 2 12 12 ) ( abc) 2， (a b c) 231 3.1当且 当 a b c 3 等号成立 bc的最大 3. 故 B.a【答案】B12. 【解析】2222222( a1x1a2x2 a x ) (a1 a2 a )( x1 x2 x ) 11 1.n nnnn当且 当 ai xi n ( i 1,2 ， n) 等号成立 a1x1 a2 x2 anxn 的最大 是1.故

4、 A【答案】A13. 【解析】 a b c1 a1 b1 c，且 a，b， c 大于 0. 由柯西不等式，(1 a1 b1 c) 2(1 2 12 12)( a2 b2 c2) a2b2 c23，当且 当 a b c 1 等号成立a2 b2 c2的最小 3.【答案】D14914. 【解析】( xy z)( x y z)( x 1 y 2 z 3) 2 36.xyz149 xy z36.【答案】C二、填空 15. 【解析】 2 3 6， 1 12 13 6.abcabc2222222222111 ( a 4b 9c )(11 1 ) (a2b 3c)，即 a 4b 9c 12.当且 当 a 2b

5、 3c，即2a 2，b 1， c 3时取等号【答案】1216. 【解析】 由柯西不等式知： 2536 ( a2 b2c2)( x2 y2 z2) (ax by cz) 2 3022536，abc当且仅当 x yz k 时取“”由 k2( x2y2 z2) 22536，解得a b c5所以 k .x y z65k 6.【答案】三、解答题5617. 【解】由柯西不等式得( x2 4y2 z2)(1 11) (x2y z) 2， x2y z 1，2222221 3( x 4y z ) 1，即 x4y z 3.当且仅当x 2 1，即x1，1， 1时等yz33yz36号成立故 x24y2 z2 的最小值

6、为 1. 318. 【证明】 由于 f ( x) ax2 bx c.且 a，b， c 大于 0. f ( x1) f ( x2) ( ax21 bx1 c)( ax22 bx2 c)( ax1ax2bx1 bx2c) 2 ( ax1x2 bx1x2c) 2 f (x1x2) 2 f (1) 2.又 f (1) a b c，且 ab c 1， f ( x1) f ( x2) 1.19. 【解】 由柯西不等式，得(1 2 2212) ( y1) 2 (2 x y) 2 (2 x y 6) 2 1 (y 1) 2(2 x y) 1(2 x y 6) 2 9，即 ( y1) 2 ( x y 2) 2 (2 x y 6) 2 3， 2y 12 x y2x y 6当且仅当121，5 1即 x ， y 时，上式取等号2 2当 x 5， y1时 ( y 1) 2 ( x y 2) 2 (2 xy 6) 2 取到最小值2220. 【证明】由三角形中的正弦定理得：a14R2sin A 2R，所以 sin2A a2