苏科版九年级上册数学第二章正多边形和圆知识点与同步训练(解析版)

1、正多边形和圆知识精讲一 . 正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形2. 正多边形的相关概念：（ 1）正多边形的中心： 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（ 2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（ 3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（ 4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距补充说明：正多边形的性质：（ 1）正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形；（ 2）正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有 n 条通过正 n 边形中心的对

2、称轴；（ 3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形， 也是中心对称图形， 其中心就是对称中心二 . 正多边形与圆的关系1.把一个圆 n 等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n 边形；这个圆叫这个正 n 边形的外接圆； 经过各等分点作圆的切线， 以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆三 . 正多边形有关的计算1.正 n 边形的每个内角都等于n 2 180；n2.正 n 边形的每一个外角与中心角相等，等于360 ；n3. 设正 n 边形的边长为 an ，半径为 r ，边心距为 d n ，周长为

3、 cn ，面积为 sn ；则：r2dn2 1 an2 ，cnnan ，sn1 n d n an1 dn cn422三点剖析考点 ：正多边形的概念、性质及相关计算重难点 ：正多边形相关计算易错点 ：对正多边形相关的概念混淆不清题模精讲题模一：正多边形的相关概念例 2.1.1下面给出六个命题：各角相等的圆内接多边形是正多边形；各边相等的圆内接多边形是正多边形；正多边形是中心对称图形；各角均为120 的六边形是正六边形；边数相同的正 n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；各边相等的圆外切多边形是正多边形其中，正确的命题是 _ 【答案】【解析】错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；正确，边相等则各

4、边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；错误，正奇数边形不是中心对称图形；错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；正确，相似的性质；错误，只要第 1页使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可例 2.1.2若正多边形的一个外角为60o，则这个正多边形的中心角的度数是（）a 30b60c 90d120【答案】 b【解析】由于任意多边形的外角和均为360，所以这个正多边形的边数为360，所660以正六边形的中心角的度数为360606例 2.1.3正六边形的边心距与边长之比为（）a3 ： 3b3 ： 2

5、c 1： 2d2 ： 2【答案】 b【解析】此题考查了正多边形和圆的关系此题难度不大， 注意掌握数形结合思想的应用首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得oc 的长，继而求得答案如图：设六边形的边长是a，则半径长也是a；经过正六边形的中心o 作边 ab 的垂线 oc，1 1则 ac= ab= a，2 2oc=22=3oaaca，2正六边形的边心距与边长之比为：故选 b 3a： a=3 ： 22例 2.1.4 如图，有一个圆 o 和两个正六边形 t1， t2 t 1 的 6 个顶点都在圆周上， t2 的 6 条边都和圆 o相切（我们称 t1， t2 分别为圆 o的内接正六

6、边形和外切正六边形） （ 1）设 t1， t2 的边长分别为 a， b，圆 o的半径为 r ，求 r ： a 及 r ： b 的值；（ 2）求正六边形 t1， t2 的面积比 s1：s2 的值【答案】（ 1）3 ： 2（ 2）3： 4【解析】（ 1）连接圆心 o 和 t1 的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形所以 r： a=1： 1；连接圆心 o 和 t2 相邻的两个顶点，得以圆o 半径为高的正三角形，所以 r： b=ao ：bo=sin60=3 ： 2；（2） t 1： t2 的边长比是3 ： 2，所以 s1： s2=（ a：b） 2=3 ： 4题模二：相关计算例 2.2.1如图， o是

7、 abc的内切圆，若 abc=70， acb=40，则boc=_【答案】125【解析】 o 是 abc 的内切圆，第 2页ob 平分 abc ， oc 平分 acb ， obc= abc=35 ， ocb= acb=20 ， boc=180 obc ocb=180 35 20=125例 2.2.2已知正六 形的 2， 它的内切 的半径 （）a1b3c2d23【答案】 b【解析】如 ， 接oa 、 ob， og；六 形 abcdef 是 2 的正六 形， oab 是等 三角形， oa=ab=2 ，og=oa?sin60=23= 3 ，2 2 的正六 形的内切 的半径 3例 2.2.3如 1、 2

8、 、3、 . 、 n ， m 、 n 分 是 o 的内接正三角形abc 、正方形 abcd 、五 形 abcde 、 . 、正 n 形 abcde .的 ab 、 bc 上的点，且 bm cn ， 接 om 、 on （1）求 1中 mon 的度数；（ 2） 2 中mon 的度数是 _ ， 3中mon 的度数是_；（3） 探究mon 的度数与正 n 形 数 n 的关系（直接写出答案） 【答案】（ 1） 120；（ 2） 90 ， 72 ；（ 3） 360解：分 接 ob 、 oc ，（1 ）n【解析】abacabcacboc ob ， o 是外 接 圆 的 圆 心 ，co平分 acbobcoc

9、b30obmocn 30bm cn ， ocob（2）同（ 1）可得mon 的度数是 90 ； 3中 mon 的度数是 72（ 3 ）由（ 1 ）可知，mon = 360 =120 ；在（2 ）中，mon = 360 =90；在（ 3）中34mon = 360=72 .，故当 n ， mon3605n随堂练习随 2.1如 ，正五 形abcde内接于 o， cad=_度【答案】36【解析】五 形abcde 是正五 形， ab = bc = cd = de = ea =72， cad=172=362随 2.2 边长为 a 的正六 形的 心距等于（）a3 aac ad3 a2b222【答案】 a第

10、3页【解析】该题考查的是正多 边 形 与 圆 ambo连 接 oa 、 ob 作 om ab与 m;可 知 aob是 等 边 三 角 形 ， om ab ，在 oam中 ， 由 勾 股 定 理 得 ：故 选 a随练 2.3已知 o的周长等于6cm，则它的内接正六边形abcdef的边长为 _cm【答案】3cm【解析】本题考查圆内的多边形边长计算 o 的周长等于6 cm，圆的半径 r 3 ，又圆内接正六边形六条边相等，故每条边对的圆心角为60 ，圆内接正六边形的边长等于半径，正六边形 abcdef 的边长为 3 cm随练 2.4如图， abcd 是 o 的内接正方形，pqrs 是半圆的内接正方形，

11、那么正方形pqrs 与正方形 abcd 的面积之比为 _【答案】2 :5【解析】随练 2.5已知圆内接正方形的面积为2 ，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积【答案】8 3【解析】如图，设 ab 是圆内接正方形的边长，cd 是外切正三角形的边长，ef 是外切正六边形的边长，连结 oa、 ob、 oc、 oe ab 是内接正方形的边长，内接正方形面积为2 ， ab2 ，oaob ， aob 90，oa ob1 cd 是外切正三角形的边长，oa cd ， aoc60 ， oc2oa2 ef 是 外 切 正 六 边 形 的 边 长 ， ocef ， oef 60，oe ef2ce ， 323ceoc，33随练 2.6等边三角形的周长为 18，则它的内切圆半径是（）a 2 3b 3 3c3d32【答案】 c【解析】该题考查的是内切圆与内心，等边三角形的