重点增分专题五三角恒等变换与解三角形讲义理

1、重点增分专题五 三角恒等变换与解三角形全国卷3年考情分析年份全国卷I全国卷n全国卷川2018正、余弦定理的应用717二倍角公式及余弦定理-T 6二倍角公式-T 4同角三角函数关系及两角和的正弦公式-T 15三角形的面积公式及余弦定理-T 92017正、余弦定理、三角形 的面积公式及两角和的 余弦公式-T 17余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式-T 17余弦定理、三角形的面积公式-T仃2016正、余弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦公式-T仃诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题-T 9冋角三角函数的基本关系、二倍角公式-T 5正弦定理的应用、诱导公式-T13利用正、余弦定理解三角形-T

2、8(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现.(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形,难度一般，一般出现在第 49或第1315题位置上.(3)若以解答题命题形式出现,主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等.考点一三角恒等变换保分考点练后讲评大稳定一一常规角度考双基1.给角求值2sin 47 晶in 17 =(cos 17A.-C.eB.2Xsin 47 sin 17 cos 30cos 17sin 17cos 30cos 17=2sin 30= 1.故选D.12.给值求值(2018 全国卷川)若

3、sin a = 3 则cos 2 a =()A.9b.77解析：选/sin a=3,3.给值求角已知sin(X5nA. 12C. 7解析：选Cn0a 28D 飞- cos 2 a = 1 2sin a = 1 一 2X L=.故选 B.W 9,Sin( a 3 )=电0, a , 3均为锐角，则角3等510c n3 等于3丿等于sin a cos 3 + cos a sin1n aasin 3=祛所以ton所以log 乂3= ggJ5= 4.故选C.2.与不等式交汇已知tan 2(X=4, anr J,函数f (x) = sin( x+ a ) sin(a ) 2sin a ,且对任意的实数不

4、等式f (x) 0恒成立，则sin (a 冷)的值为(A.解析:选 A 由 tan 2 a = 4,2tan(X1 tan23 1 、=4，得 tan a = 3或 tan a = 3.又 f (x)4 3=sin( x+a ) sin(x a ) 2sina = 2cosxsina 2sin a 0 恒成立，所以 sin a 0,tana =3, sin a故选A.而os所以sin ( a -4 = sin a cos-4 cos a sin -7V 4 /443.与向量交汇设向量a= (cos7t1), b= (2 , sin a )，若 a丄 b,则 tan la 4解析： a= (co

5、s a， 1), b= (2 , sin a ), a丄b,； 2cos a sin a = 0, tan a=2,f n 、42 11tan a tan n4tan r 4 厂=iT2i=3.1 + tan a tan 41答案：3考点二利用正、余弦定理解三角形增分考点广度拓展分点研究题型一利用正、余弦定理进行边、角计算例1（2018 石家庄质检）已知 ABC的内角ABC的对边分别为a,b,c,且暮=tan A+ tan B求角A的大小; 设D为AC边上一点，且 BD= 5, DC= 3, a= 7,求c.解.在 ABC中,暮=tan A+tan B,&sin Csin A sin Bsin

6、 Acos B cos A cos Bcos Acos B（3sin C sin Acos B+ sin Bcos A 即 sin Acos B=si?f=盘A,则 tan Ah,由 BD= 5, DC= 3, a= 7,25+ 9 49得 cos / BDC=云k一2 n又 0/ BDCn,./ BD（=-.3c= 5.n又A=， ABD为等边三角形，变式1 若本例 变为：a=73,求b + c的取值范围.A,解：由余弦定理 a32即（b+ c）2 3= 3bc4（b + c）2,当且仅当b= c时取等号,= b2 + c2 2bccos2 2可得 b + c 3= bc,二 b+ cW2

7、23,又由两边之和大于第三边可得b+ cr/3 ,变式2若本例 变为：ADI BC且a=3 ,求AD的取值范围.解：$ ABC= AD- BC= gbcsin A ,/ AD= 2bc.2 2 2人1 b + c 一 a 2bc一 3由余弦疋理得cos A= 2=2bcA云-, 0bc 3(当且仅当b= c时等号成立)， 0A併 3 ,即AD的取值范围为 (0 , 3解题方略正、余弦定理的适用条件(1) “已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.注意应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.

8、题型二利用正、余弦定理进行面积计算例2(2018 郑州第二次质量预测)已知 ABC内接于半径为 R的圆，a , b , c分别. 2 2是角 A, B, C 的对边，且 2R：sin B sin A = ( b c)sin C c = 3.(1)求 A; 若AD是 BC边上的中线，AD=p ,求 ABO的面积.=(b c)sinC,2 2解对于2尺sinB sin A由正弦定理得,bsinB一 asin A= bsin C csinC,即 b2 a2= bc c2 ,所以因为0A180 所以 A= 60,2 2 2 .b + c a 1cos A=-.2bc2ABEC连接DE易知A, D E三

9、点共线.以AB AC为邻边作平行四边形在 ABE中 , / ABE= 120 , AE= 2AC=V ,由余弦定理得 aE=aB + bE 2AB BECos 120 即 19= 9 + aC 2X 3X ACX ( 2解得 AC= 2. 故 Smb= fbcsin / BAC=解题方略三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S= gabs in g gacs in B= gbcsi n A, 般是已知哪一个角就使用含 该角的公式.(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.题型三 正、余弦定理的实际应用例3如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的a, B两点处进行

10、测量，在点 a处测得塔顶C在西偏北20。的方向上，仰角为 60在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上，仰角为 30若a B两点相距130 m,则塔的高度CD=m.h解析设 CD= h,则 AD=, BD=*h.在 ADB,/ ADB= 180 2O 40 = 120 则由余弦定理 aB= bD+ aD 2BD- ad- cos 120 , 可得1302 = 3 h2+等2 回 缶-卜2) 解得h= 1039,故塔的高度为10倔 m.答案10(39解题方略解三角形实际应用问题的步骤_1酬巔；筛隔号茹；丽蘇飯馬廊口药黍莊丽 耳葆：範知圧E 丽g巨頁蕪】 世至也送世三如空上遲些二竺?匪爭黑电燮理 炳

11、帀乏:黍駆囁巨鬲示:黍袖硕季羅两鬲ST检验上述所求出的解是*具有实际盍义,从而得出实际同邇的解i4./多练强化C躬1. (2018 全国卷n )在 ABC中, COST =七，BC= 1, AC= 5,贝U AB=()25B.V30D . 25解析：选 A / cosCu*5,31 =5. cos C= 2cos2C 1= 2X在 ABC中，由余弦定理,得 AB= aC+ bC一 2AC BC cos C= 5 + 1 一 2 x 5 x 1 x ( 5= 32, - AB= 4jf2.2甲船从位于海岛 B正南10海里的A处，以4海里/时的速度向海岛 B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/时的速度

12、向北偏东 60。方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为小时.解析：如图，设经过X小时后，甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，则AC= 4x,BC= 6x，贝U BC= 10 4x，由余弦定理得，CD= (10 4x)2 + (6x)2 2X (10 4x) X6XCOS 120 = 28x2 20x + 100 = 28 14j+ 竽 若甲船行驶 2.5 小时，则甲 船到达海岛 B,因而若x2.5，则BO6X2.5 = 1515，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间5为护时.答案：碁3. (2018 南宁摸底)在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c(1+ cosB)=b(2

13、 cos C .(1)求证：2b= a+ c;若B=n,A ABC的面积为4羽，求b.3解：证明： c(1 + cos B) = b(2 cos C),由正弦定理可得sinC+ sinCcosB=2sinB-sinBcosC可得 sin Ccos B+sin B cos C+ sin C= 2sin B,sin( B+ C + sin C= 2sin B, sin A+ sin C= 2sinB,- a+ c= 2b./ B=y, ABC的面积 S= 2acsin B= ac= 16. 2 2 2 2 2 2由余弦定理可得 b = a + c 2accos B= a + c ac= ( a+

14、c) 3ac. a+ c= 2b,.b2= 4b2 3x 16,解得 b= 4.增分考占 考点三解三角形与三角函数的交汇问题讲分考点典例如图，在 ABC中，三个内角 B, A, C成等差数列，且=10, BC= 15.(1)求 ABC勺面积; 已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0)，若函数f(x) = MSin(+ 0 )M0,3 0, | 0 | n的图象经过A,C,D三点，且 AD为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f (x)的解析式.解(1)在 ABC中，由角 B, AC成等差数列，得 B+ C= 2A,又 A+ B+ C= n，所以 A=-3.3设角A B, C的对边分别为a,

15、 b,c,2 2 2由余弦定理可知 a = b + c 2bccos匸-所以 C2 10c 125= 0，解得 c = AB= 5 + 裁.因为 CO= 10X sin n = 53,125所以 &AB= -X (5 + 5晶 X5 萌=(32 + 羽).n因为 AC= 10X cos = 5,3所以函数f (x)的最小正周期 T= 2X (10 + 5) = 30,因为 f( 5) = Min IX5 + 0 = 0,n所以一+ 0 = k n , k 乙因为丨0 | y，所以0 =n3.因为 f(0) = MSin n = 5诉，所以 M= 10,所以 f (x) = 10sin + 专丿

16、解题方略解三角形与三角函数交汇问题一般步骤转化!问遛-j理地将M题转化拘三供頤&的问题IQ 腿宦理U利用止、余弦定理、倍曲公成、辅助角公式答J行三曲;用公武;形屮边曲关聚的互化：闻用三狗帚导公击、三和形S石和定琛&知识亲!多练强化(2019届高三辽宁五校协作体联考)已知函数f (x) = cos2x + 羽sin( n x)cos( n +1X) 2.(1)求函数f(x)在0 , n 上的单调递减区间;在锐角 ABC中,内角A B, C的对边分别为a, b, c,已知 f(A) = 1, a= 2, bsing asin A求 ABC的面积.解：(1) f(x) = cos2x /3sin x

17、cos=sin(2x-f J,丄nn.n由 2kn 2x 2 k n + =,26 2k Z,解得 kn 才 x k n + 才,k Z,又 x 0 ,函数f(x)在0 , n 上的单调递减区间为0,由(1)知 f(x) = sin(2x 訂 f(A) = sin A yj = 1, ABC为锐角三角形， 0A专,n n 5 n評A-$ 2A訂专，即A=.2又 bsin C= asin A,. bc= a = 4,二 &abc= bcsin A=y3.素养落地-功在平时C典例为了应对日益严重的气候问题， 某气象仪器科研单位研究出 一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测.

18、如图所示，A, B, C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点 A, B两地相距100 m / BA(= 60 在A地听到弹射声音的时间比 B地晚善S,在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30求A, C两地间的距离;(2)求这种仪器的垂直弹射高度HQ已知声音的传播速度为340 m/s)2解(1)设 BC= X m,由条件可知 AC= x+ 石X 340= (x + 40)m.在 ABC中，由余弦定理，可得bC= aB + aC 2AB- AC- cos / BAC2 2 2即 x = 100 +(x+ 40) 2X 100X( X+ 40) X解得x= 380.所以 AC= 380 + 40= 420(m),故A, C两地间的距离为 420 m. 在 Rt