微积分总结材料下册

1、标准文档 实用文案 微积分（B II）总结 chapter 8 多元函数微分学 8.1 多元函数的极限 先看极限是否存在（一个方向组(y=kx)或两个方向趋近于极限点（给定方向必须当x满足极限过程时,y也满足极限过程）。如果存在，能先求的先求，能用等价无穷小替换的就替换，最后考虑夹逼准则。 8.2 偏导数 点导数定义（多用于分段函数的分界点） 例：求,就是求分段函数的点偏导数 在连续，但偏导数不一定存在（如：锥） 8.3 全微分 函数可微，则偏导数必存在（逆否命题可证明函数不可微, 证明时，把右边前两项移到左边，看它是不是 的高阶无穷小） fx(x,y)=limDx?0f(x0+Dx,y0)-

2、f(x0,y0)D xfxx(x0,y0)=limDx?0fx(x0+Dx,y0)-fx(x0,y0)D xf(x,y)= xy,fx(0,0)f(x,y)(x0,y0)rDz=?z? xDx+?z? yDy+o(r)dz=?z? xdx+?z? ydy标准文档 实用文案 例： 对于某一点处的全微分，也可能要用到点导数。 8.4多元复合函数求导 8.4.1链式求导法则 z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)?z? x=?f?u?u? x+?f?v?v? x标准文档 实用文案 链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导，乘以中间变量对自变量求偏导。而所谓函数对第一中间变量求偏导就是说另外把两

3、个中间变量看做不变。 小心：中间变量要带入，例： （在计算z对u的偏导时，相当于把v,t看做不变） 这里的u,v要带入（第三行），并且z是具体的函数，所以在对中间变量求偏导数时，偏导数可以求出来 8.4.2隐函数求偏导 全微分性质的不变性 例： 用全微分形式的不变性 两边同时取全微分，相当于（-xy）为中间变量，求出全微分后，直接出偏导 标准文档 实用文案 想象z=z(x,y)即z是复合函数，两边对x,y求导也能的出来（较慢） 8.5 隐函数求导公式 8.5.1 一个方程 分母上的做函数，分子上的做一个自变量，对分子上的求偏导 如： 若求偏x，那就把方程看成z=z(x,y)对z求导。注意，x,

4、yy独立，然而z对x，y求导不是 0 F(x,y)=0=dy dx=-FxF yF(x,y,z)=0=?z? x=-FxF z,?z? y=-FyF z标准文档 实用文案 8.5.2 方程组 观察方程组，4个变量，两个等式，那么说有两个自由变量。让求,就是把方程组看成u=u(x,y),v=v(x,y), 上下对y求导。（把分母上的变量看做函数） 8.6空间曲线的几何应用 8.6.1空间曲线的切线与法平面 特殊地， 无论方程如何给出，弄出对x或对t的导数十分关键。注意，在某点处的切线方程在看方向向量时要把那个点带入 8.6.2曲面的切平面与法线 ,特殊地 8.6.3 方向导数与梯度 即梯度与所给

5、方向l的方向向量的点F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0?u? yxt,yt,zt1,yx,zxF(x,y,z)=0=Fx,Fy,Fzz=f(x,y)=fx,fy,-1?z? l=?z? xcosa+?z? ycosb标准文档 实用文案 积 记住，如果求某一点的方向导数，要求的两个偏导数就是点偏导数 如果用此公式，需要z有一阶连续偏导数。 当l的方向与梯度的方向一致时，方向导数的值最大，为梯度的摸 8.7 多元函数的极值 8.7.1多元函数极值 极值取在驻点处，或者在不可微的点处 ?f? l=limr?0f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y) r标准文档 实用文案 如果出现（3）的

6、情况，需要回归定义， 8.7.2多元函数最值 加上定义域边界上的值，与函数的极值比较 对于定义域无界的情况，要考虑x,y逼近于无穷 标准文档 实用文案 8.7.3拉格朗日乘数法（条件极值） 构造方程，其中(x,y) 为驻点 记住：相当于构造,每一个方程就是对每个自变量求导，然后再加上约束条件（也就是对lambda求偏导）。求导时，一定要对也求偏导。 至于这里的驻点如何为极值点，需要人为验证（回归定义） 如何解方程: 对于只有一个约束条件的方程前几个不带约束条件的方程对称性很好，因此先通过第一个方程解出lambda，然后带入后面几个方程(不包含带有约束条件的方程)，可以解出x,y,z的关系（一般

7、是比例关系）。可以把y和z都用x表示。然后带入含有约束条件的方程。（稳赚不赔的傻瓜解法） 对于由两个约束条件的方程，可以通过前面（不包含约束条件的）方程解出lambda1与2的关系，然后削去其中一个，然后再按只有一个约束条件处理。(但这样的问题更需要具体分析) z=f(x,y)j(x,y)= 0F(x,y,l)=f(x,y)+lj(x,y)j标准文档 实用文案 chapter 9 重积分 9.1二重积分 判断二重积分的符号：如果被积函数在D中处处小于0，那么积分值小于0 二重积分相当于求平面片的质量，而被积函数相当于某一点处的密度。这样，根据被积函数的对称性和积分区域的对称性很容易理解二重积分

8、的对称性。如果被积函数为1，相当于求平面片的面积。 （直角坐标） 极坐标 ds=dxdyds=rdrdq标准文档 实用文案 9.2二重积分的应用 9.2.1求曲面的面积 如果可以投影到xoy面，即可以有函数z=z(x,y) 如果偏导数不好求，直接求法向量，直接求方向角带入第一个等式即可。 其他面同理，求曲面面积时，一定要把曲面所在的卦限想全。如下图，曲面在一二五六卦限都有。如果只是用上面公式向xoy投影，就只能得出一半的答案。这两个面围成的曲面并不是z的函数，分成上下两片每一片才是z的函数，这就是错误的原因。 A=1cos gdxdyD= 1+zx2+zy2Ddxdy标准文档 实用文案 对于用

9、参数方程表示的区域的二重积分 先设y对于x的函数为y(x)，把二重积分用直角坐标表示出来。把二重积分化为定积分后，再用二重积分换元法，换成t，记住，换元必换限。 9.2.2转动惯量 标准文档 实用文案 9.3 三重积分 解三重积分考虑几个问题： 直角坐标、柱面坐标、球坐标？通过积分区域和被积函数选择 直角坐标: Step1:先一后二还是先二后一？先二后一：一般情况下当被积函数只有一个变量，积分采用先二后一。含谁，谁就作为“一”。然后即可解出。对于先一后二，进入下一步。 Step2 :对称性有没有？看被积函数整体有没有，或者整理后某一项有没有（如果有且这一项积出来是0，那很好）,如： ，打开后如

10、果被积区域是关于yoz面对称，那么含x的交叉项就为0. 记住，如果积分变得复杂，那么可能是刚开始没有考虑对称性。被积函数只要出现了加减法，就对每一个部分考虑对称性。 Step3:选择一个投影面，最好这个投影面上的每一点引出这个面的垂线与区域边界面相交不多于两点。 Step4:画出投影面 直角坐标： 画出xoy或yoz或xoz投影，在确定另一个变量的范围。另一个变量如果范围在投影区域内不相同，那么要把投影面分片 柱面坐标: 先,后定下来了，看r的范围，如果对于不同的.r有不同的值，那么就要把分段。对于其他变量也是，d了它，它就定了。 r:投影面上点距坐标原点的距离 球坐标: r:空间上的点距坐标

11、原点距离 与柱坐标相同，球坐标先,再，最后dr，注意，如果对于每个前面的变量，后面的变量的范围不同，就需要分段 chapter 10 曲线积分和曲面积分 记住，曲线积分，关键是找曲线的参数方程。方法论 (x+y+z)2dxdydzDdV=rdrdqdzdqdqqdqqdV=r2sinjdrdjdqdqdj标准文档 实用文案 尤其是当曲线由两个三元方程组甚至三个四元方程组给出时，除了要想通过其中一个方程把积分表达式化繁为简以外，还要想到用参数方程。 10.1 第一类曲线积分 求曲线弧段的质量，求准线为曲线的柱面的面积 f(x,y)为曲线的线密度 一代二定限，上界一定大于下界 所谓代，可以全换成x

12、，可以全换成y，可以曲线的直角坐标方程化为以t为自由变量的参数方程，可以在一般式（方程组）中带入一个方程。 一代二定限三ds 标准文档 实用文案 10.2 第二类曲线积分 基本计算法：一代（代参数方程，代y与x的关系方程，代一般式方程），二定向，三定限 两类曲线积分也有关系，如果曲线与的每一点的有向曲线元为定值或者特别好算，就可以直接把第二类曲线积分化为第一类曲线积分。 标准文档 实用文案 10.3 格林公式 格林公式沟通了封闭曲线的第二类曲线积分与二重积分 前提：封闭的在坐标平面上的曲线 用格林公式时，必保证P,Q有定义，否则要扣除无定义的点。以此为考点很容易出分类讨论，此类问题中，所给曲线

13、一般不固定。 标准文档 实用文案 如：（L不经过原点），就要讨论原点在区域内的情况。 应用格林公式还能计算平面的面积 第二类曲线积分与路径无关的条件： G为但连通区域，函数P、Q在G内有一阶连续偏导数。 标准文档 实用文案 又因为曲线积分与路径无关，所以求u的最简单方法就是选取一条路径，求曲线积分的值（L起点为(0,0),终点为（x,y），求出来的原函数要+C 10.4 第一类曲面积分 一代（比如，如果向xoy面投影带入z），二投，三dS（这一步一定要记住，这不是平面积分） 10.5 第二类曲面积分 P(x,y)= ?u?xQ(x,y) =?u? y标准文档 实用文案 曲面的侧：非封闭曲面向坐

14、标轴正向的一面为正侧。如：上正下负,正负在曲面积分被化为二重积分时取。注意，如果在这里认为取正负号，那么在算法向量时，z的系数一定为-1（一代二投三定侧） 第二类曲面积分的物理意义是以被积区域为曲面的流量。P,Q,R为流速场向量。 两类曲面积分之间的关系 此后，dS可以只用dxdy或dydz或dxdz表示，于是把混合型的曲面积分化成了单一型。 10.6 高斯公式 通量与散度 这里暗取了曲面的外侧，如果取内侧，需要加负号 散度： 标准文档 实用文案 某一点的散度是一个数 称为向量场向正向穿过的通量 10.7 斯托克斯公式、环流量与旋度 封闭空间曲线（当然包含平面曲线）的曲线积分与曲面的曲面积分之

15、间的关系 S标准文档 实用文案 等式左右两边就表示向量场(P,Q,R)沿曲线C所取方向的环流量 标准文档 实用文案 旋度是一个向量 10.8几种曲面积分的解题方法 第一类曲面积分 第一类曲面积分就是再求一个以密度为被积函数的曲面的质量，那么，解法如下： 如果被积函数是两种形式相加，看其中一个，有可能它是0（对称性）. 把曲面看成是以其中两个变量为自变量，另外一个是因变量的函数。如果不能看成函数或者这个函数很复杂，再考虑对称性，只取这个曲面的一个重复单元，变成函数。 求面积元素带入，化为二重积分，完成。 第二类曲面积分 如果曲面封闭或者接近封闭，直接进入下一步。否则进入第五步。 曲面是否封闭？如

16、果不封闭要添加辅助曲面 用高斯公式，小心符号 还没有完!！再算辅助曲面的曲面积分！相加减完成。 用对称性或可加性，把曲面变成函数 如果看成z=z(x,y)，那么要投影并带入z，而且把组合形式化成dxdy的形式，此时，再看符号。（再算法向量时，不考虑符号，令 F(x,y,z)=z-z(x,y) ） 标准文档 实用文案 chapter 11无穷级数 11.1常数项级数 11.1.1 几个常见的常数项级数 等比级数 否则发散 p级数 p1收敛 11.1.2 级数收敛性质 收敛，则收敛 收敛，则收敛，且逆亦真 没括号收敛，则加括号收敛；加括号发散，则没括号发散 收敛必要条件=(反过来不对，调和级数一般

17、项为0，但发散) 11.2 常数项级数审敛法 操作方法，直到判断完成： 是正项级数吗？如果是交错级数或任意项级数可不可以加一个绝对值来证明绝对值收敛？ 可以拆分吗？如果一般项由两项之和相加形成，且预期两项都可以使级数发散或收敛，把他们拆开。审敛法一般审单项式 对于每一个单项式，要进行以下操作： 收敛级数的必要条件 比值审敛法，根值审敛法 qnn=0￥?=11- q(q1)1n p=n=1￥?1+12 p+13 p+14 p+1n p+unn=1￥?vnn=1￥?kun+lvnn=1￥?unn=1￥?unn=k+1￥?limn?￥un=0标准文档 实用文案 有阶乘的，有不带多余项的指数项的都好用

18、 如： 根值适合有指数项的一般项 极限审敛法 乘以n，乘以n的p次方，对于：这种形式非常有用 放缩、比较审敛法 比较审敛法的极限形式 考虑多项式中当n趋于无穷时的主要项，与主要项做比值 如：与做比值 比较审敛法放缩： 在这里，把n换成与n相关的结果大于等于0的多项式，依然要会用 放缩技巧，想证明发散就往小了放： ，亦然 k0改成小于号就行了 如果从某项（有限项）之后，这个不等式才成立，那么扔掉前面那些项 继续进入第步 11.2.1 正项级数 正项级数收敛?部分和数列有界 13 nsinnn,(k0)ln(n+1)nen-1标准文档 实用文案 级数收敛的必要条件 比较审敛法 放缩级数，大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散 比较审敛法极限形式： limn?￥un= 0标准文档 实用文案 极限审敛法 比值审敛法（达郎贝尔判别法） 根值审敛法 、 11.2.2交错级数 交错级数是指一正一负，如果一般项并不单调减小，而是在某个n之后单调减小，那么把前面的那些项扔掉 标准文档 实用文案 11.2.3 任意项级数 同样，若去掉绝对值发散，加上绝对值发散 加上绝对值后看敛散性，可以用正项级数审敛法 11.3函数项级数 看发散域 求发散域 nnnnnnuu?￥=￥=-111)1()1(或(un0)limn?￥ xnxn-11标准文档 实用文案 求收敛域 边界处带入x，转化为常数