重点高中自主招生数学模拟试题(含答案)[1]

1、2012 年重点中学自主招生数学模拟试题一答 注意 :1、 卷 分150 分 ;考 ： 120 分 .2、 卷共三大 ， 1道 。考 束后，将本卷及演算的草稿 一并上交。一、选择题（共 5 小题，每题 6 分，共 30 分. 以下每小题均给出了代号为a,b,c,d的四个选项 , 其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号内 . 不填、多填或错填均不得分）、如果关于x的方程 x2axa23 0至少有一个正根， 数a的取 范 是 （）1a 、 2 a 2b、 3 a 2c、3 a 2d 、3 a 22、如 ，已知：点e 、 f 分 是正方形abcd 的 ab、bc 的中点，

2、bd、 df 分 交 ce 于 点 g、h ， 若 正 方 形 abcd 的 面 积 是240 ， 则 四 边 形 b f hg的 面 积 等于（）aeba 、 26b、 28c、 24d、 30g3 、 x、 y、z 是两两不等的 数，且 足下列等式：f336 x3 ( y6x3 ( zy x6 xz ， 代数式x)x)6hx3y3z33xyz 的 是（）dca 、 0b 、1c、 3d、条件不足，无法 算4、如 ，四 形bdce 内接于以 bc 直径的 a ，已知：dbc10, cosbcd3 , bce 30 ， 段 de 的 5是（）bcaa 、89b、 73c、 4+33d、 3+4

3、35、某学校共有3125 名学生，一次活 中全体学生被排成e一个 n 排的等腰梯形 ，且 n 排学生数按每排都比前一排多一人的 律排列， 当n 取到最大 ，排在 等腰梯形 最外面的一周的学生 人数是（）a 、 296b 、 221c、225d、 6411二、填空题：（共 5 小题，每题 6 分，共 30 分）6、已知：实常数a、b、c、d 同时满足下列两个等式： a sinbcos c 0 ； a cosb sind0 （其中为任意锐角），则 a、 b、c、d 之间的关系式是：。7、函数 yx12 x2 3 x34 x4 的最小值是。8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆

4、在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是。9x3，则2可用含 x 的、已知：25有理系数三次多项式来表示为：2 =。10、设 p、 q、r为素数，则方程p3p 2q 2r 2 的所有可能的解p、q、 r 组成的三元数组 ( p,q, r) 是。三、解答题（共6 题，共 90 分）11、（本题满分12 分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告. 报告后三个人还出

5、了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a，b，c，z26个字母（不论大小写）依次用1，2，3， ，26 这 26 个自然数表示，并给出如下一个变换公式：x1(其中是不超过的正奇数）x26y2；已知对于任意的实数 x ，记号 x 表示x113(其中 是不超过的正偶数）x262不超过 x 的最大整数；将英文字母转化成密码，如8 8 113 17 ，即 h变成 q ，112再如 111 6 ，即 k变成 f 。他们给出下列一组密码：etwcvcjw ejncjw2wcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。212、（本题满分15 分

6、）如果有理数m 可以表示成2x26xy5 y 2（其中x、y 是任意有理数）的形式，我们就称 m 为“世博数” 。个“世博数”a、 b 之积也是“世博数”吗？为什么？证明：两个“世博数”a、b （ b0）之商也是“世博数” 。13、（本题满分15 分）如图，在四边形abcd 中，已知 abc 、 bcd 、 acd 的面积之比是 3 1 4，点e 在边 ad 上， ce 交 bd 于 gbgdek 。，设eagd求 3 7k 220 的值；若点 h 分线段 be 成 bh2的两段， 且 ah 2bh 2dh 2p2 ，试用含 p 的代数he式表示 abd 三边长的平方和。aehbgdc314、

7、（本 分 16分） 察下列各个等式：121,12225,12223214,1222324 230,。你能从中推 出 算12223242n2的公式 ？ 写出你的推 程； 你用中推 出的公式来解决下列 ：已知：如 ，抛物 yx22x3 与 x 、 y 的正半 分 交于点a、 b ，将 段 oan 等分，分点从左到右依次 a1、 a2、 a3、 a4、 a5、 a6、 、 an 1 ，分 n1 个点作 x 的垂 依次交抛物 于点b1、 b2、 b3、 b4、 b5、 b6、 、 bn 1 ， oba1 、a1 b1 a2 、 a2 b2 a3 、 a3 b3 a4 、 、 an 1 bn 1 a 的

8、 面 积 依 次 为s1、 s2、 s3、 s4、 、 sn 。当 n2010 ，求 s1s2s3s4s5s2010 的 ；4试探究：当n 取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？15、（本题满分16 分）有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：两直角边分别为3、 4 的直角三角形abc ；腰长为4、顶角为 36 的等腰三角形jkl ；腰长为5、顶角为 120 的等腰三角形omn ；两对角线和一边长都是4 且另三边长相等的凸四边形pqrs ；长为 4 且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形wxyz。它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、 2.7 的铁

9、圆环。我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作” ；否则，便称为“不可操作”。证明：第种塑料板“可操作”；求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。5jmpsacnoqrbklwzxy16、（本题满分16 分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。如图所示，已知：i 是 abc 的 bc 边上的旁切圆，e、f 分别是切点，adic 于点 d 。试探究：d、e、f 三点是否同在一条直线上？证明你的结论。设 ab ac 5, bc6, 如果 die 和 aef 的面积之比等于m ，den ，试作出分别以m 、n 为两根且二次项系数e

10、fn m为 6 的一个一元二次方程。dcie6abf2012 年重点中学自主招生数学模拟试题一参考答案与评分标准一、选择题（共 5 小题，每题 6 分，共 30 分. 以下每小题均给出了代号为 a,b,c,d 的四个选项 , 其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号内 . 不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x 的方程 x2axa230 至少有一个正根， 则实数 a 的取值范围是 （c）a 、2a2b、3a2c、3a2d 、3a22、如图，已知：点e 、 f 分别是正方形abcd 的边 ab、bc 的中点， bd、 df 分别7交 ce 于 点 g、h ， 若 正

11、方 形 abcd 的 面 积 是240 ， 则 四 边 形 b f hg的 面 积 等于（b）aeba 、 26b、 28c、 24d 、 30g3 、 x、 y、z 是两两不等的 数，且 足下列等式：f6 x3 ( yx)36 x3 ( zx) 366 xy xz ， 代数式hx3y3z33xyz 的 是（a ）dca 、 0b 、1c、 3d 、条件不足，无法 算4、如 ，四 形bdce 内接于以 bc 直径的 a ，已知：dbc10, cosbcd3bce30， 段 de 的 ,5b是（d）caa 、 89 b、 73c、 4+3 3d、 3+435、某学校共有 3125 名学生，一次活

12、 中全体学生被排成e一个 n 排的等腰梯形 ，且 n 排学生数按每排都比前一排多一人的 律排列， 当n 取到最大 ，排在 等腰梯形 最外面的一周的学生 人数是（b ）a 、 296b 、 221c、225d 、 641二、填空题：（共 5 小题，每题 6 分，共 30 分。不设中间分）6、已知： 常数a、b、c、d 同 足下列两个等式：a sinbcosc0 ； a cosb sind0 （其中 任意 角）， a、 b、c、d 之 的关系式是：a 2b2c 2d 2。7、函数 yx12 x23 x34 x4 的最小 是8。8、已知一个三角形的周 和面 分 是84、210，一个 位 在它的内部沿

13、着三 匀速无摩擦地 一周后回到原来的位置（如 ）， 个三角形的内部以及 界没有被 位 的部分的面 是84。9x3， 2可用含 x 的、已知：52有理系数三次多 式来表示 ：2 =81 x 311 x。6610、设 p、 q、r为素数，则方程p3p 2q 2r 2 的所有可能的解p、q、 r 组成的三元数组 (p, ,) 是(3,3,3)。q r三、解答题（共6 题，共 90 分。学生若有其它解法，也按标准给分）11、（本题满分12 分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，后来

14、三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a，b， c，z26 个字母（不论大小写）依次用1，2，3， ，26 这 26 个自然数表示，并给出如下一个变换公式：x1(其中是不超过的正奇数）x26y2；已知对于任意的实数x ，记号 x 表示x113(其中 是不超过的正偶数）x262不超过 x 的最大整数。将英文字母转化成密码，如8 8 113 17，即 h变成 q，2再如 11 11 1 6 ，即 k变成 f 。他们给出下列一组密码：etwcvcjw ejncjw2wcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻

15、译出来，并简单地写出翻译过程。略解：由题意，密码 etwcvcjw对应的英语单词是 interest,ej 对应的英语单词是is, ncjw 对应的英语单词是best, wcabqcv 对应的英语单词是teacher.(9 分 )所以，翻译出来的一句英语是interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师”。（ 3 分）12、（本题满分 15分）如果有理数 m 可以表示成 2x26xy5 y 2 （其中 x、y 是任意有理数）的形式，我们就称 m 为“世博数” 。 个“世博数”a、 b 之积也是“世博数”吗？为什么？ 证明：两个“世博数” a、b （ b0）之商也是“世

16、博数” 。9略解：m2x26xy5 y 2 = ( x2 y) 2( xy) 2 ，其中 x、y 是有理数，“世博数” mp 2q2 （其中 p、q 是任意有理数） ，只须 px2 y,q x y即可。（ 3 分）对于任意的两个两个“世博数”a、b ，不妨设 aj 2k 2 ,br 2s2 , 其中 j、k、 r、 s 为任意给定的有理数，（ 3分）则 ab( j 2k 2 )( r 2s2 ) ( jrks)2( jskr ) 2 是“世博数” ；（ 3 分）aj 2k2( j 2k 2 )(r 2s2 )(3分） ( jrks)2( jskr ) 2br 2s2(r 2s2 ) 2(r 2

17、s2 ) 2=(jrks ) 2(jskr )2 也是“世博数” 。（ 3 分）r 2s2r 2s213、（本题满分 15分）如图，在四边形 abcd 中，已知 abc 、 bcd 、 acd 的面积之比是3 1 4，点e 在边 ad 上， ce 交 bd 于 g ，设bgdek 。gdea求 3 7k 220 的值；若点 h 分线段 be 成 bh2 的两段， 且 ah 2bh 2dh 2p2，试用含 p 的代数he式表示 abd 三边长的平方和。略解： 不妨设abc 、 bcd 、 acd 的面积分别为3、 1、 4， bgdek ， abd 的面积是6， bde 的面积是6k，gdeak

18、110 cdg 的面 是11， cde 的面 4k，deg 的面 是(k6k。kk11) 2（ 3 分）由此可得：1+(k6k=4k，即4k 23k10 ， k1（ 3 分）k11) 2k 1 3 7k 220 =3（ 1 分）由知： e、g 分 ad、 bd 的中点，又点h 分 段 be 成 bh2的两段，点 h 是 abd 的重心。he（ 2 分）而当延 be 到 k ，使得 beek ， ak、dk 后便得到平行四 形abdk ，再利用“平行四 形的四 平方和等于两 角 的平方和”就可得：22ad22， 似地有2(bd 2ad 2 )ab24dm22( abbd )4be2( ab2ad

19、 2 )bd 2，4ag 2其中点 m 为边 ab 的中点。 3( ab2bd 2ad 2 )4( be 2dm 2ag 2 ) 。（ 3 分） ah2 ag, bh2 be, dh2 dm， ah 2bh 2dh2p 2 ，3933 be 2dm 2ag 2p 2 ， ab 2bd 2ad 23 p 2 。（ 3 分）414、（本 分16 分） 察下列各个等式： 121,12225,12223214,1222324 230,。你能从中推 出 算12223242n2 的公式 ？ 写出你的推 程； 你用中推 出的公式来解决下列 ：已知：如 ，抛物 yx22x3 与 x 、 y 的正半 分 交于点

20、a、 b ，将 段 oan 等分，分点从左到右依次 a1、 a2、 a3、 a4、 a5、 a6、 、 an1 ，分 n1 个点作x 的垂 依次交抛物 于点b1、 b2、 b3、 b4、 b5、 b6、 、 bn1 ， oba1 、 a1 b1 a2 、 a2 b2 a3、 a3 b3 a4 、 、 an 1 bn 1 a 的 面 积 依 次 为s1、 s2、 s3、 s4、 、 sn 。11当 n2010 ，求 s1s2s3s4s5s2010 的 ； 探究：当n 取到无 无尽 ， 中所有三角形的面 和将是什么 ？ 什么？略解： n3(n1)3n23n1，当式中的n 从123、依次取到 n ，

21、就3、 、可得下列 n 个等式：（ 2 分）1303331,2313322321,3323332331,n 3(n1) 33n23n1，将 n 个等式的左右两 分 相加得：n33 (122232n2 ) 3 (1 2 3n) n （ 2 分）即 12223242n 2= n33(123n)nn( n1)(2n1) 。（3 分）36先求得 a、 b 两点的坐 分 (3,0)、(0,3) ，点 a1、 a2、 a3、 a4、 a5、 a6、 、 an 13693(n1)，点 b1、 b2、 b3、 b4、 b5、 b6、 、 bn 1 的 坐的横坐 分 n、 、 、 、nnn 分 323、626、

22、 、3(n1)223(n1)3 。( )2( ) 3( )2( ) 3nnnnnn（ 3 分）1299(n22n3)9(n 24n12)9n 22(n 2n)3(n 1) 2 s12n , s22n3, s32n3, , sn2n3s1s2s3sn9 n 32n(123n1)3122 232(n 1) 2 2n39 n32nn(n 1)3n(n1)(2n 1)9(2n2n1) 。=22n36（ 3 分）4n2当 n2010 时，s1s2s3s4s5s2008 = 9(22010 22009)72739881 ；42010216160400 s1s2s39(2n2n1)999sn4n224n4n

23、 2当 n 取到无穷无尽时，上式的值等于9 ，即所有三角形的面积和等于9 。 （ 3 分）2215、（本题满分16 分）有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：两直角边分别为3、 4 的直角三角形abc ；腰长为 4、顶角为 36的等腰三角形jkl ；腰长为 5、顶角为 120的等腰三角形 omn ；两对角线和一边长都是4 且另三边长相等的凸四边形pqrs ；长为 4 且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形wxyz。它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、 2.7 的铁圆环。我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作” ；否则，便称为 “不可操作”。证明：

24、第种塑料板“可操作”；求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作” 的概率。13略解： 由题意可知四边形pqrs 必然是等腰梯形， （ 2 分）不妨设qs pr qr 4, pqps rs = x ，分别过点s、 q 作 qr、 rs 的垂线，垂足为4xrirs2x ，解得 x 2 5 2 。i、 f ，则由 qrf rsi 得到，即rfqrx42 sirs2ir 2x2(4x) 210 2 5 2.4,2第种塑料板 “可操作”。（5 分）如上图所示， 分别作直角三角形abc 斜边 bc 上的高 ah 、等腰三角形 jkl 的腰 jl 上的高 ke 、等腰三角形 omn 底边上的高 mg ，易求得： ah =2.4,mg =2.5. (2 分)又由可得等腰梯形pqrs 的锐角底角是72， jkl pq