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1、第2章 解线性方程组的直接法,计算方法,2.1 消元过程与矩阵的三角分解,1.3 基本的三角分解法(Doolittle法,上式可记为,同样,由,综合以上分析,有,因此可以推导出,U的第一行,L的第一列,(1,(2,U的第r行,L的第r列,(3,(4,称上述(1) (4)式所表示的分解过程为Doolittle分解,对于线性方程组,系数矩阵非奇异,经过Doolittle分解后,线性方程组可化为下面两个三角形方程组,上述解线性方程组的方法称为 直接三角分解法的 Doolittle法,例1. 用Doolittle法解方程组,解,由Doolittle分解,Doolittle法在计算机上实现是比较容易的,

2、第2章 解线性方程组的直接法,2.2 Gauss列主元消去法,计算方法,2.2 Gauss列主元消去法,例1,用Gauss消去法解线性方程组(用3位十 进制浮点数计算,解,本方程组的精度较高的解为,用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算,一、Gauss列主元消去法的引入,9999,回代后得到,与精确解相比,该结果相当糟糕,究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数,主元,如果在求解时将1,2行交换,即,0.9999,回代后得到,这是一个相当不错的结果,例2,解线性方程组(用8位十进制尾数的浮点数计算,解,这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有 小数作除数的现象,若

3、采用换行的技巧,则可避免,经过回代后可得,事实上,方程组的准确解为,例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法,第2章 解线性方程组的直接法,2.4 平方根法,计算方法,2.4 平方根法,一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解,记为,(1,因此,Diagonal:对角,为非奇异下三角阵,为非奇异上三角阵,(2,(3,因此,所以,综合以上分析,则有,(4,(5,定理1. (Cholesky分解,且该分解式唯一,这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解,(6,(7,(8,二、对称正定线性方程组的解法,线性方程组,(10,(11,则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组,(12,(13,(14,(15,对称正定方程 组的平方根法,例1,用平方根法解对称正定方程组,解,即,所以原方程组的解为,本例中出现了大量的根式运算,原因为,考虑改变分解方式,请求解例1,三、平方根法的数值稳定性,用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元,由,可知,因此,平方根法是数值稳定的,第二章 解线性方程组的直接法,2.5 追赶法,计算方法,其中,(1,2.5 追赶法,以下以Doolittl

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