复变函数及积分变换第二章.ppt

1、解析函数,第二章,2.1 复变函数的概念、极限与连续性,1. 复变函数的概念,定义2.1 设E为一复数集.若对E中的每一个复数 ,按照某种法则f有确定的一个或几个复数 与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数（简称复变函数），记作 . 通常也称w=f(z)为定义在E上的复变函数，其中E称为定义域，E中所有的z对应的一切w值构成的集合 称为f(z)的值域，记作 f(E) 或G,若z的一个值对应着w的一个值，则称复变函数 f(z)是单值的；若z的一个值对应着w的两个或两个以上的值，则称复变函数 f(z)是多值的,复数z=x+iy与 w=u+iv分别对应实数对 (x,y)和 (u,v)，对于函数w=

2、f(z)，u、v为x、y 的二元实数函u(x,y)和v(x,y)，所以w=f(z)又常写成w=u(x,y)+iv(x,y,函数w=z2+1.令z=x+iy，w=u+iv，那么 w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi, w=z2+1对应于两个实函数 u=x2-y2+1和v=2xy,对于复变函数w=f(z)即u+iv=f(x+iy)，可以理解为两个复平面上的点集之间的映射，具体地说，复变函数w=f(z)给出了z平面上的点集E到w平面上的点集f(E)(或G)之间的一个对应关系,其中w称为z的像， z称为w的原像,例2.1 函数 将z平面上的直线 x=1变成w 平面上的何种曲线,解

3、,z平面上的直线x=1对应于w平面上的曲线,设函数w=f(z)定义在E上，值域为G.若对于G中的任一点w,在E中存在一个或几个点z与之对应，则在G上确定了一个单值或多值函数，记作z=f-1(w)，它就称为函数w=f(z)的反函数,2.复变函数的极限,定义2.2 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|r内，若存在常数A，对于任意给定0的,都存在一正数 (0r),使得当0|z-z0| r时,有 , 则称函数f(z)当zz0时的极限存在，常数A为其极限值.记作 或,几何意义,当变点 z 进入z0的充分小的去心邻域时，它的象点 f(z) 就落入A的一个预先给定的邻域内,定义中zz0的方式

4、是任意的，也就是说，z在z0的去心邻域内沿任何曲线以任何方式趋于z0时，f(z)都要趋向于同一个常数A,定理2.1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib，则,证明：先证必要性,再证充分性,当 时，有,因此,即,若两个函数f(z)和g(z)在点z0处有极限，则其和、差、积、商(要求分母不为零)在点z0处的极限仍存在，并且极限值等于f(z)、g(z)在点z0处的极限值的和、差、积、商,例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存在，试求出极限值,解： (1)方法一,因为,所以 ，取 ，当 时，总有,根据极限定义,方法二,设z=x+iy,则,根据定理2.1

5、，有,2)方法一,设z=x+iy,则,让z沿直线y=kx趋向于0，有,方法二,则,设,3.复变函数的连续性,定义2.3 若 ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连续. 如果函数f(z)在区域D 内每一点都连续，那么称函数f(z)在区域D内连续,定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、商（要求分母不为零）在点z0处连续,1)多项式 在整个复平面上连续； (2)任何一个有理分式函数 在复平面上除去使分母为零的点外处处连续,定理2.4 若函数h=g(z)在点z0连续，函数=f(h)在h0=g(z0)连续，则复合函数=f(g(z)在z0处连续,定理2.5 设函数 ,则f(z)

6、在点z0连续的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y) 均在点(x0,y0)连续,例2.3 讨论函数argz的连续性,解：当z=0时, arg z无定义，因而不连续,当z0为负实轴上的点时，即z0=x00,则,arg z在负实轴上不连续,若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点,arg z在除去原点和负实轴及虚轴的复平面上连续,当z0为正、负虚轴上的点z0=iy0(y00)时,arg z在虚轴上也连续,因此arg z在复平面上除了原点和负实轴外连续,设 为复平面上的有界闭区域，函数w=f(z)在 上连续，则函数f(z)在 上有界，即存在常数M,使对于 ，都有|f(z)|M,在闭曲线

7、或包含曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)在曲线上有界，即|f(z)|M,2.2 解析函数的概念,1.复变函数的导数,例2.4 求函数f(z)=zn（n为正整数）的导数,解,说明zn(n为正整数)在整个z平面上处处可导,例2.5 考察函数f(z)= 在整个z平面上的可导性,解：当z0 时,函数在整个z 平面上除去原点外处处可导,例2.6 研究函数f(z)= 在整个z平面上的可导性,解：令z=x+iy,让 沿着平行于x轴的直线趋于z，此时,让 沿着平行于y轴的直线趋于z，此时,函数在整个z平面上处处不可导,若函数f(z)在点z0可导，根据导数的定义，用极限语言来表达，即:对于 , 必定 ,使

8、得当 时，有,令,于是,则有,又因为,所以,即f(z)在z0连续,常用的求导公式与法则,1) (C)=0其中C为复常数; (2) (zn)=nzn-1,其中n为正整数; (3) (f(z)g(z)=f(z)g(z); (4) (f(z)g(z)=f(z) g(z) +f(z) g(z) ; (5) ; (6) (f(g(z)=f(w)g(z),其中w=g(z); (7) 若两个单值函数w=f(z)与z=h(w)互为反函数，且h(w)0,则有,2.解析函数的概念,定义2.6 若函数f(z)在点z0及z0的邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0解析.若函数f(z)在区域D内每一点都解析，则称函数

9、f(z)在区域D内解析，或称f(z)是D内的解析函数,若f(z)在点z0不解析，但在z0的任一邻域内总有f(z)的解析点，则称z0为f(z)的奇点,例2.7 研究函数f(z)=zRe(z)的解析性,解：设z=x+iy, z0=x0+iy0.当z00时，则,令x=x0,yy0, 则,令y=y0,xx0, 则,说明f(z)=zRe(z)当z0时不可导,当z0=0时，有,例2.8 研究分式线性函数 的解析性,式中a,b,c,d为复常数，且ad-bc0,解：由导数的运算法则，除了使得分母为零的点z=-d/c外，这个函数在复平面上处处可导.因此，除了点z=-d/c外，它在复平面上处处解析，且,函数仅在z

10、=0处导数存在. 它在z平面上处处不解析,定理2.6 (1)在区域D内解析的两个函数f(z)和g(z)，其和、差、积、商（要求分母不为零）在区域D内解析. (2)设函数h=g(z) 在 z平面上的区域D 内解析，函数=f(h)在h平面上的区域D*内解析.若对于D内每一点z，g(z)的对应值h落在D*内，则复合函数=f(g(z)在区域D内解析,2.3 函数可导与解析的充要条件,定义2.6 对于二元实函数u(x,y)和v(x,y)，方程 称为柯西-黎曼方程（简记为C-R方程,定理2.7 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在区域D内一点z=x+iy可导的充要条件

11、是 (1) 二元实函数u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微； (2) u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程,证明：先证必要性,设f(z)在区域D内一点z=x+iy可导,令,根据二元实函数微分的定义可知，u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微，并且有,再证充分性,已知u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，即有,都是关于 的高阶无穷小量,是无穷小量,由于u(x,y)、v(x,y)满足柯西-黎曼方程，故有,说明函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导,函数导数公式有如下四种形式,定理2.8 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在

12、区域D 内解析的充要条件是 (1) 二元实函数u(x,y)和v(x,y)在D内可微； (2) u(x,y),v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程,推论2.1 若u(x,y)与v(x,y)的一阶偏导在点(x,y)（或区域D内）存在而且连续，并满足柯西-黎曼方程，则f(z)在点(x,y)可导（在区域D内解析,例2.9 讨论下列函数的可导性与解析性. (1) f(z)= Im(z) ; (2) f(z)=|z|2z,解：(1) 设z=x+iy,则f(z)= Im (z)=y,u(x,y)=y, v(x,y)=0都在复平面上可微,在复平面上u(x,y),v(x,y)不满足柯西-黎曼方程. 所以f(z)

13、=Im(z)在复平面上处处不可导,处处不解析,2)设z=x+iy,则f(z)=(x2+y2)x+i(x2+y2)y,u(x,y)=(x2+y2)x,v(x,y)=(x2+y2)y都在平面可微,整个复平面上仅在(0,0)点满足柯西-黎曼方程， 所以f(z)=|z|2z仅在点(0,0)处可导，处处不解析,例2.10 试证函数f(z)=ex(cosy+isiny)在z平面上解析，且f(z)=f(z,证明：u(x,y)=excosy, v(x,y)=exsiny在平面上可微,u(x,y),v(x,y)在平面上每一点都满足柯西黎曼方程，所以f(z)在复平面上解析,f(z)=ux+ivx=excosy+i

14、exsiny=f(z,2.4 初等函数,1.指数函数,复指数函数ez的性质,2) 在复平面上ez 0 ; (3)当Im(z)=y=0时，则ez=ex; (4)当Re(z)=x=0时，则ez=eiy=cosy+isiny, 此为欧拉公式; (5) ez在z平面上处处解析，且(ez)=ez,6)加法定理成立，即,7) ez是以2pi为基本周期的周期函数,8)极限 不存在，即 无意义,z1=x1+iy1, z2=x2+iy2,2.对数函数,定义2.8 规定对数函数是指数函数的反函数，即若 则称函数w=f(z)为z的对数函数，记作w=Lnz,w=u+iv,则eu+iv=eueiv=|z|eiArgz.

15、 u=ln|z|,v=Argz,w=u+iv=ln|z|+iArgz Lnz,w=Lnz=lnz+2ki=ln|z|+iargz+2ki, k=0,1, 2,例2.12 Ln3=ln3+2ki (k=0,1, 2,); Ln(-1)=ln(-1)+ i= i; Ln(-1)=ln(-1)+2ki=i+2ki=(2k+1)i (k=0,1, 2,复对数函数的性质,对于等式左边的多值函数的任一个值，等式右边的两个多值函数一定各有一个适当的值与之对应，使等式成立，反之亦然.也就是说，等式两端可能取值的函数值的全体是相同的,等式 Lnzn=n Lnz, 不再成立，其中n 2,为正整数,以n=2时为例进

16、行说明,可见2Lnz与Lnz2的实部相等，但虚部的取值不完全相同,2Lnz可能取值是Lnz2可能取值的一部分,所以等式Lnzn=nLnz不成立,对数函数的解析性,对数函数 w=Lnz 的主值分支lnz=ln|z|+iargz，其实部ln|z| 在复平面上除去原点外都是连续的，虚部argz在负实轴和原点不连续,因为z=ew在区域 内的反函数w=lnz是单值的，所以由反函数的求导法则，有,lnz在复平面上除去原点和负实轴外处处解析. 同理可知，Lnz的各个分支在复平面上除去原点和负实轴外也是处处解析的,3.幂函数,定义2.9 函数w=za=eaLnz （z0,a为复常数）称为z的一般幂函数,当a为

17、正整数n时,w=zn;当a为分数 (n正整数)时， 与 即为通常的幂函数,它是复平面内的单值解析函数,对每个确定的k,函数对应着的一个分支. 函数的各个分支在除去原点和负实轴的复平面上也是解析的，并且具有相同的导数,对于一般的幂函数 ，它也是多值函数，并且其各个分支在除去原点和负实轴的复平面上也是解析的. 当一般的幂函数 的底数z为一确定复常数b(b0)时，则ba=eaLnb称为乘幂.由于Lnb=ln|b|+iargb +2ki，所以乘幂ba也是多值的,例2.13 求下列各数的实部和虚部,解： (1,k=0,1,2,k=0,1,k=0,1,3,4.三角函数与反三角函数,定义2.10 规定 分别

18、称为z的正弦函数与余弦函数,性质,1)周期性：sinz与cosz是以2为基本周期的周期函数,2)奇偶性：sinz为奇函数，cosz为偶函数,3)欧拉公式在复数域中eiz=cosz+isinz也成立,4)三角恒等式成立,5) 解析性：sin z与cosz在平面上处处解析，且 (sinz)=cosz, (cosz)=-sinz,6) 无界性：复变函数sinz,cosz在复平面上是无界函数,取z=iy(y0,只要y充分大，cosy就可以大于一个预先给定的正数,其它三角函数定义如下,例2.14 求函数cosz在z=1+i的值,解,三角函数可以用指数函数表示，由于对数函数是指数函数的反函数，所以反三角函数作为三角函数的反函数可以用对数表示,z=sinw,定义反正弦函数为,反余弦函数,反余切函数,反正切函数,