课时分层作业20导数在实际生活中的应用

1、课时分层作业 (二十 )导数在实际生活中的应用(建议用时： 45 分钟 )基础达标练 一、填空题4 321一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s3t 2t ，那么速度为 24 的时刻是 _秒末 .【导学号： 95902250】【解析】由题意可得t0，且 s4t24t，令 s24，解得 t 3(t 2舍去 )【答案】32已知某生产厂家的年利润y(单位：万元 ) 与年产量 x(单位：万件 )的函数关系式为y 13x3 81x 234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件【解析】令 y x2 ，解得x9或 9(舍去f(x)在区间(0,9)810x)内是增函数，在区间 (9， )

2、上是减函数， f(x)在 x 9 处取最大值【答案】93已知某矩形广场面积为 4 万平方米，则其周长至少 _米【解析】设广场的长为x米，则宽为40 000米，于是其周长为yx2x40 0000)，x(x所以y2140 000，令y ，x20解得 x 200(x 200 舍去 )，这时 y800.当 0 x200 时， y0；当 x200 时， y0.第 1页所以当 x200 时， y 取得最小值，故其周长至少为800 米【答案】8004要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为_.【导学号： 95902251】【解析】设圆锥的高为h cm(0 h20)，则圆锥的底面半径

3、r 202 h2 400h2(cm)，VV(h) 13r2h13 (400h2)h 13 (400hh3)， V13 (4003h2)，令V12 3 (400 3h )0，20 3解得 h 3 .由题意知V 一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点20 3【答案】3 cm5要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm3 ，其底面两邻边边长之比为1 2，则它的长为 _、宽为 _、高为 _时，可使表面积最小【解析】设底面的长为 2x cm，宽为 x cm，则高为36363622162cm，表面积 S22xx2x 22x 4x(x 0)，22xxxx216S 8xx2 ，

4、由 S0，得 x 3，x(0,3)时， S 0， x (3， )时， S 0， x3 时， S 最小此时，长为 6 cm，宽为 3 cm，高为 4 cm.【答案】6 cm3 cm4 cm第 2页设直线1，l 2 分别是函数 f(x)ln x， 0x1切线， l 1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则 PAB 的面积的取值范围是 _.【导学号： 95902252】【解析】由图象易知 P1，P2 位于 f(x)图象的两段上，不妨设P1(x1， ln x1)(0x11)，2222则函数 f(x)的图象在 P1处的切线 l1 的方程为 yln x11(xx1

5、)，x1x1即 y x11ln x .1x则函数 f(x)的图象在 P2处的切线 l2 的方程为 yln x2 x2(xx2)，即 yx21ln x .21 1由 l1 l2，得 x1 x2 1，x1x2 1.由切线方程可求得A(0,1ln x1)，B(0，ln x2 1)，2 ln x1ln x22由 知 l 1 与 l 2 交点的横坐标 xP11.xxx1x212S PAB1(1 ln x121)22ln xx x122 2 x1 x2x1 1 . x11又 x1 (0,1)， x1x12，02，即 PAB110S1.x1x1第 3页【答案】(0,1)7内接于半径为 R 的球且体积最大的圆

6、柱体的高为_.【导学号： 95902253】【解析】设圆柱的高为 2h，则底面圆的半径为R2 h2，222322则圆柱的体积为 V(Rh ) 2h2R h2h ， V2R 6h .3令 V 0，解得 h 3 R.h 0，333 R 时， V 单调递增， h3 R，R 时， V 单调递减，323故当 h3 R时，即 2h3R 时，圆柱体的体积最大2 3【答案】3 R8某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q，则销售量 Q(单位：件 )与零售价 p(单位：元 )有如下关系： Q 8 300 170pp2.则最大毛利润 (毛利润销售收入进货支出 )为_【

7、解析】设毛利润为 L(p)，由题意知L(p) pQ 20Q Q(p 20) (8 300 170pp2)(p20) p3 150p211700p166 000，所以 L(p) 3p2 300p11 700.令 L (p)0，解得 p30 或 p 130(舍去 )因为在 p30 附近的左侧 L(p) 0，右侧 L (p)0，所以 L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时， L(30) 23 000.即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000 元【答案】23 000 元二、解答题第 4页9.某制瓶厂要制造一批轴截面如图3-4-3 所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设

8、计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3设.圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S.图 3-4-3(1)写出 S 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；(2)如何设计瓶子的尺寸 (不考虑瓶壁的厚度 )，可以使表面积 S 最小，并求出最小值 .【导学号： 95902254】【解】2 ，得3(1)据题意，可知 x 2，h 3hx12232S 4x x 2x23x2x6(2)S 6x x2 ，6x ， (x0)令 S 0，得 x1，舍负x(0,1)1(1， )S(x)0S(x)极大值 9当 x1 时， S 取得极小值，且是最小值答：当圆柱的底面半径为1 时，可使表

9、面积 S 取得最小值 9.10某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15 元，销售价是 20 元，月平均销售 a 件通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为 x(0 x1)，那么月平均销售量减少的百分率为 x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元).(1)写出 y 与 x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大 .第 5页【解】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1x)，月平均销售量为a(1x2)件，则月平均利润ya(1x2)20(1x)15元

10、，所以 y 与 x 的函数关系式为 y5a(14xx2 4x3)(0x1)2121(2)由 y5a(42x 12x ) 0得 x12或 x23(舍)，当 0x2时，y0；1231当2x 1时， y 0，所以函数 y5a(1 4xx 4x )(0x1)在 x2处取得最大值1故改进工艺后，产品的销售价为20 12 30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大 .能力提升练 1用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形， 然后把四边折起， 就能焊成铁盒， 所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 _【解析】设四角截去的正方形边长为x.

11、所以铁盒容积V4(24x)2x，所以V4(24x)2 8(24x)x4(24x)(243x)，令 V0，得 x 8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.【答案】8 cm2某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为 k(k 0)已知贷款的利率为 0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为 x， x(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则 x 的取值为 _.【导学号： 95902255】23是 0.0486kx2，其中 x(0，0.0486)所以银行的收益是y 0.0486kx2kx3(0x第 6页 0.0

12、486)，则 y 0.0972kx3kx2. 令 y 0，得 x0.0324 或 x 0(舍去 ).当 0 x0.0324 时， y0；当 0.0324 x 0.0486 时， y0.所以当 x0.0324 时， y 取得最大值，即当存款利率为0.0324 时，银行获得最大收益【答案】0.03243如图 3-4-4，内接于抛物线 y1x2 的矩形 ABCD，其中 A，B 在抛物线上运动， C， D 在 x 轴上运动，则此矩形的面积最大值是 _图 3-4-4x的坐标为 xx2【解析】设CD ，则点C的坐标为，0，点B.x22， 12x2x3矩形 ABCD 的面积 S f(x) x1 2 4 x(

13、x (0,2)3 2220，2由 f(x) 4x 10，得 x 3(舍去 )，x 3，当 x3时，f (x)12 0， f(x)是递增的，当 x2时， f(x)0，f(x)是递减的，23当 x243时， f(x)取最大值9.34 3【答案】94甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得一定净收入 在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量 t(吨)满足的函数关系是x 2019 t，乙方每年产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称 s 为赔付价格 ).(1)将乙方的年利润W( 元)表示为年产量t(吨) 的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？第 7页【导学号： 95902256】1032106【解】(1)由题意，得 W2019tst st s s (t0)，10366当 t ，即 t1010，s2 时， W 取得最大值，为2ss乙方获得最大利润时的年产量为1062s 吨(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索