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1、06.03.2021 18:29,近世代数,第四章 环与域 4 模n剩余类环,06.03.2021 18:29,定义1（同余）整数a关于模正整数m同余于整数b，是指 mab, 并写ab (mod m). 整数模m同余类共有m个，他们分别为mk+0, mk+1, mk+2,mk+(m-1); kz，每一个算一类，每一类都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称0,1,2,m-1为标准完全剩余系,06.03.2021 18:29,定义2：模 m 的剩余类环模 m的剩余类，规定 R中的加法和乘法如下： 如何证明 R 是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与代表元的选择无关。封闭性是显

2、然的。然后证明R关于加法是一个Abel群，关于乘法是一个（含幺，可交换）半群。然后证明分配律成立,06.03.2021 18:29,2. 剩余类环的性质,定理1 设,则,为,的零因子,1,2,为,的可逆元,证：(1)若,为,的零因子,则存在,使得,故,若,则,所以,矛盾.于是,反之,如果,设,则,所以,但,于是,是零因子,06.03.2021 18:29,2)若,为,的可逆元,则,即,于是,使得,也就是,所以,反之, 如果,则,因此,故,可逆,剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子,06.03.2021 18:29,例 1,解 (1,2,直接计算可知,相应的逆元为,全部零因子,全部可逆元,3,全部子环,4,各子环特征,06.03.2021 18:29,定理2,为无零因子环,为素数,为素数，若,则,或者,即,若,不是素数，则,证：设,为无零因子环,为有零因子环,06.03.2021 18:29,推论,为域,为素数,有限无零因子环是除环,06.03.2021 18:29,例2 Z5是域，Z6不是域,定理3 设m,n是两个正整数,则ZmZn当且仅当nm,证：令,06.03.2021 18:29,定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环,注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构,例 Z6的子环,都

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