历年中考数学动点问题题型方法归纳

1、动点问题题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特 殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位 置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点1、（2009 年齐齐哈尔市）直线y =-34x +6与坐标轴分别交于 a、b 两点，动点 p、q 同时从o点出发，同时到达a点，运动停止点q沿线段oa运动，速度为每秒 1 个单位长度，点

2、p 沿路线 o b a 运动（1）直接写出a、b两点的坐标；（2）设点 q 的运动时间为 t 秒， opq 的面积为 s ，求出 s 与 t 之间的函数关系式；（3）当s =485时，求出点 p 的坐标，并直接写出以点o、p、q为顶点的平行四边形的第四个顶点 m 的坐标 ybpo q ax提示：第（2）问按点 p 到拐点 b 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点 o、p、q ，探究第四点构成平行四边形时按已知 线段身份不同分类-op 为边、oq 为边，op 为边、oq 为对角线，op 为对角 线、oq 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。12、（2009 年衡阳市）

3、如图，ab 是o 的直径，弦 bc=2cm，abc=60（1） 求o 的直径；（2） 若 d 是 ab 延长线上一点，连结 cd，当 bd 长为多少时，cd 与o 相切； （3）若动点 e 以 2cm/s 的速度从 a 点出发沿着 ab 方向运动，同时动点 f 以 1cm/s 的速度从 b 点出发沿 bc 方向运动，设运动时间为 为直角三角形注意：第（3）问按直角位置分类讨论ct ( s )(0 t 2)cf，连结 ef，当 t 为何值时 befcfaob daeob aoeb图（1）图（2）图（3）3 、（2009 重庆綦江）如图，已知抛物线y =a ( x -1)2 +3 3( a 0)经

4、过点a( -2，0)，抛物线的顶点为 d ，过 o 作射线 om ad 过顶点 d 平行于 x 轴的直线交射线 om 于点 c ， b 在 x 轴正半轴上，连结 bc （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点p从点o出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线om运动，设点p运动的时间为t ( s )问当 t 为何值时，四边形 daop 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 oc =ob ，动点 p 和动点 q 分别从点 o 和点 b 同时出发，分别以每秒 1 个长度单 位和 2 个长度单位的速度沿 oc 和 bo 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动ydmc的时

5、间为t ( s)，连接pq，当t为何值时，四边形bcpq的p2ao q b x面积最小？并求出最小值及此时pq的长注意：发现并充分运用特殊角dab=60当opq 面积最大时，四边形 bcpq 的面积最小。二、 特殊四边形边上动点4、（2009 年吉林省）如图所示，菱形 abcd 的边长为 6 厘米，b =60从初始时刻开始，点p、q同时从a点出发，点p以 1 厘米/秒的速度沿a c b的方向运动，点q以 2 厘米/秒的速度沿a b c d的方向运动，当点q运动到d点时，p、q两点同时停止运动，设p、q运动的时间为x秒时， apq与 abc重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为o

6、 的三角形），解答下列问题：（1）点p、q从出发到相遇所用时间是秒；（2）点p 、q 从开始运动到停止的过程中，当 apq 是等边三角形时 x 的值是秒；（3）求 y 与 x 之间的函数关系式dcpaqb提示：第(3)问按点 q 到拐点时间 b、c 所有时间分段分类 ； 提醒- 高相等的两个三 角形面积比等于底边的比 。5、（2009 年哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 o 是坐标原点，四边形 abco 是菱形，点 a 的坐标为（-3，4），点 c 在 x 轴的正半轴上，直线 ac 交 y 轴于点 m，ab 边交 y3x图（2）轴于点 h（1） 求直线 ac 的解析式；（2） 连接 b

7、m，如图 2，动点 p 从点 a 出发，沿折线 abc 方向以 2 个单位秒的速度向终点 c 匀速运动， pmb 的面积为 s（s 0），点 p 的运动时间为 t 秒，求 s 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时 mpb bco 互为余角，并求此时直线 op 与直 线 ac 所夹锐角的正切值ya h bmya h bmo cxo c图（1）注意：第（2）问按点 p 到拐点 b 所用时间分段分类；第（3）问发现mbc=90，bco 与abm 互余，画出点 p 运动过程中， mpb=abm 的两种情况，求出 t 值。利用 obac,再

8、求 op 与 ac 夹角正切值.6、(2009 年温州)如图，在平面直角坐标系中，点 a( 3 ，0)，b(3 3 ，2)，c（0，2)动点 d 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 oc 向终点 c 运动，同时动点 e 以每秒 2 个单位的 速度从点 a 出发沿 ab 向终点 b 运动过点 e 作 ef 上 ab，交 bc 于点 f，连结 da、df设运 动时间为 t 秒(1) 求abc 的度数；(2) 当 t 为何值时，abdf；(3) 设四边形 aefd 的面积为 s1 求 s 关于 t 的函数关系式；2 若一抛物线 y=x2+mx 经过动点 e，当 s2 3 时，求 m 的取值范围

9、(写出答案即可)注意：发现特殊性，deoa47、（07 黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 abco 是菱形，且aoc=60，点 b 的坐标是 (0,8 3) ，点 p 从点 c 开始以每秒 1 个单位长度的速度在线段cb 上向点 b 移动，同时，点 q 从点 o 开始以每秒 a（1a3）个单位长度的速度沿射线oa 方向移动，设 t (0 t 8)秒后，直线 pq 交 ob 于点 d.（1） 求aob 的度数及线段 oa 的长；（2） 求经过 a，b，c 三点的抛物线的解析式；（3）当a =3, od =433时，求 t 的值及此时直线 pq 的解析式；（4）当 a 为何值时，以 o

10、，p，q，d 为顶点的三角形与 doab相似？当 a 为何值时，以o，p，q，d 为顶点的三角形与 doab不相似？请给出你的结论，并加以证明.ybpc d aqox8、（08 黄冈）已知：如图，在直角梯形coab 中， oc ab ，以 o 为原点建立平面直角坐标系，a，b，c三点的坐标分别为a(8，0)， b (810)， ，c (0，4) ，点d为线段bc的中点，动点p从点o出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线oabd的路线移动，移动的时间为t秒（1）求直线bc的解析式；（2）若动点 p 在线段 oa 上移动，当 t 为何值时，四边形 opdc 的面积是梯形 coab 面积的27？（3

11、 ）动点p从点o出发，沿折线oabd的路线移动过程中，设opd的面积为s，请5直接写出 s 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围；（4）当动点 p在线段 ab上移动时，能否在线段 oa上找到一点 q，使四边形 cqpd为矩形？请求出此时动点 pb的坐标；若不能，请说明理由bycdycdo p a xo a（此题备用）x9 、(09 年黄冈市 )如图 , 在平面直角坐标系 xoy中,抛物线y =1 4x 2 - x -10 18 9与 x 轴的交点为点 a,与 y 轴的交点为点 b. 过点 b 作 x 轴的平 行线 bc,交抛物线于点 c,连结 ac现有两动点 p,q 分别从 o,

12、c 两点同时出发,点 p 以每秒 4 个 单位的速度沿 oa 向终点 a 移动,点 q 以每秒 1 个单位的速度沿 cb 向点 b 移动,点 p 停止运动 时,点 q 也同时停止运动,线段 oc,pq 相交于点 d,过点 d 作 deoa,交 ca 于点 e,射线 qe 交 x 轴于点 f设动点 p,q 移动的时间为 t(单位:秒) (1)求 a,b,c 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当 t为何值时,四边形 pqca 为平行四边形?请写出计算过程;(3)当 0t92时pqf 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由;(4)当 t为何值时pqf 为等腰三角形?请写出解答

13、过程提示：第（3）问用相似比的代换， 得 pf=oa（定值）。第（4）问按哪两边相等分类讨论 pq=pf,pq=fq,qf=pf.6三、直线上动点8、（2009 年湖南长沙）如图，二次函数 y =ax2+bx +c （ a 0 ）的图象与 x 轴交于 a、b两点，与y轴相交于点c连结ac、bc，a、c两点的坐标分别为a( -3，0)、c (0，3)，且当x =-4和 x =2 时二次函数的函数值 y 相等（1）求实数a，b，c的值；（2）若点 m 、n 同时从 b 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 ba、bc 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连

14、结mn，将bmn沿mn翻折，b点恰好落在ac边上的p处，求t的值及点p的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点q ，使得以 b，n，q为项点的三角形与 abc相似？如果存在，请求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由ycpn提示：第（2）问发现a m o b x特殊角cab=30,cba=60 特殊图形四边形 bnpm 为菱形；第 (3) 问 注 意 到 abc 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与abc 相似的bnq ，再判断是否在对称轴上。9、（2009 眉山） 如图，已知直线1y = x +12与y轴交于点 a，与x轴交于点 d，抛物线1y = x22+bx

15、 +c与直线交于 a、e 两点，与 x 轴交于 b、c 两点，且 b 点坐标为 (1，0)。1 求该抛物线的解析式；2 动点 p 在 x 轴上移动，当pae 是直角三角形时，求点 p 的坐标 p。在抛物线的对称轴上找一点 m，使| am -mc |的值最大，求出点 m 的坐标。提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形-p 为直角顶点 ae 为斜边时，以 ae7为直径画圆与 x 轴交点即为所求点 p，a 为直角顶点时，过点 a 作 ae 垂线交 x 轴于点 p， e 为直角顶点时，作法同；第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（2009 年兰州）如图，正方形

16、abcd 中，点 a、b 的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点 c 在第一象限动点 p 在正方形 abcd 的边上，从点 a 出发沿 abcd 匀速运动，同时动 点 q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当 p 点到达 d 点时，两点同时停止运动，设运动的时 间为 t 秒(1)当 p 点在边 ab 上运动时，点 q 的横坐标 x（长度单位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图所示，请写出点 q 开始运动时的坐标及点 p 运动速度；(2) 求正方形边长及顶点 c 的坐标；(3) 在（1）中当 t 为何值时 opq 的面积最大，并求此时 p 点的坐标；(4) 如果点 p、q 保持原速度不变，

17、当点 p 沿 abcd 匀速运动时，op 与 pq 能否相等， 若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由注意：第（4）问按点 p 分别在 ab、bc、cd 边上分 类讨论；求 t 值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。11、（2009 年北京市）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，abc 三个顶点的坐标分别为a (-6,0)，b(6,0)，c(0,43)，延长ac到点 d,使 cd=12ac,过点 d 作 deab 交bc 的延长线于点 e.（1） 求 d 点的坐标；（2） 作 c 点关于直线 de 的对称点 f,分别连结 df、ef，若过 b 点的直线y =kx +b将四边形

18、cdfe 分成周长相等的两个四边形，确定此直 线的解析式；（3）设 g 为 y 轴上一点，点 p 从直线y =kx +b与ya轴的交点出发，先沿 y 轴到达 g 点，再沿 ga 到达 点，若 p 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 ga 上8b（q）图 3运动速度的 2 倍，试确定 g 点的位置，使 p 点按照上述要求到达 a 点所用的时间最短。（要 求：简述确定 g 点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（）问，转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小；发现（） 中直线与轴夹角为.见“最短路线问题”专题。12、(2009 年上海市)apd a dpad

19、p已知abc=90，ab=2，qb c图 1 图 上的动点，点 q 在射线 ab 上，且满足pq2 ad=pc abc（如bq图 1 所示）bc=3 ，ad bc ， c p 为线段 bd（1）当 ad=2，且点 q 与点 b 重合时（如图 2 所示），求线段 pc 的长；3（2）在图 8 中，联结 ap 当 ad= ，且点 q 在线段 ab 上时，设点 b、q之间的距离为 x ，2apq=y，其中s apq表示apq 的面积，spbc表示pbc的面积，求y关于x的函数pbc解析式，并写出函数定义域；（3）当ad 2）与x轴交于点d（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x =m（m 2）上有一

20、点e（点e在第四象限），使得e、d、b为顶点的三角形与以a、o、c为顶点的三角形相似，求e点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点f，使得四边形abef为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形abef的面积；若不存在，请说明理由提示：第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（3）问，四边形 abef 为平行四边形时，e、f 两点纵坐标相等，且 ab=ef，对第（2） 问中两种情形分别讨论。四、抛物线上动点16 、（2009 年湖北十堰市） 如图， 已知抛物线y =ax 2 +bx +3（a 0）与 x 轴交于点a(1，0)和点 b (3，0)，

21、与 y 轴交于点 c(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 m ，问在对称轴上是否存在点 p， cmp 为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 p 的坐标；若不存在，请说明理由 (3) 如图若点 e 为第二象限抛物线上一动点，连接 be、ce，求四边形 boce 面积的最 大值，并求此时 e 点的坐标注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 p 坐标-c 为 顶点时，以 c 为圆心 cm 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 p，m 为顶点时，以 m 为圆 心 mc 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 p，p 为顶点时，线段 mc

22、的垂直平分线与对 称轴交点即为所求点 p。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方 法二，先求与 bc 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。112d17、（2009 年黄石市）正方形 abcd 在如图所示的平面直角坐标系中，a 在 x 轴正半轴上，d在y轴的负半轴上，ab交y轴正半轴于e，bc交x轴负半轴于f，oe =1，抛物线y =ax2+bx -4过a、d、f三点（1） 求抛物线的解析式；（2） q 是抛物线上 d、f 间的一点，过 q 点作平行于 x 轴的直线交边 ad 于 m ，交 bc 所在直线于n3，若 s = 四边形afqm fqn，则判断四边形afqm的形状；（3）在射线db上是否存在动点p，在射线cb上是否存在动点h，使得ap ph且ap =ph，