固体物理学：第5章固体能带论

1、第5章 固体能带论,能带理论是单电子近似理论。把每个电子运动看成是独立的在一个等效势场中运动,原子结合成固体，价电子运动状态很大变化，内层电子变化小，把原子核和内层电子看成离子实,固体中电子不再束缚于某个原子，而在整个固体中运动共有化运动,5.2 布洛赫定理 一、周期性势场 1、周期性势场：把孤立原子当成一个带正电的点电荷，由于晶格原子周期性排列，内部原子的势场也具有周期性，边界处势能将提高,r,V(r,x,V(x,孤立原子,周期性势函数 V(r) 可展成傅立叶级数,傅立叶系数,一维周期性函数V(x)展成傅立叶级数,2、处于周期性势场中的电子,电子势函数,在已知周期性外场 V (r) ，可通过

2、解薛定格方程，求出电子的波函数和能量,r,A,B,二、布洛赫定理,1、布洛赫定理 周期性势场 中电子，波函数 具有 性质。说明 平移晶格矢量 ，波函数只增加相位因子 。 2、布洛赫函数的特点 一维布洛赫函数 由波恩卡曼边界条件 所以 uk（x）也是周期性函数（与晶格相同周期） 平面波因子,结论：周期性势场中的电子波函数为周期性函数 uk（x）和平面波 调制结果 调幅平面波,推广到三维，布洛赫函数,周期性势场中电子能带理论 3个理论模型,克龙尼克模型 近自由电子近似模型 紧束缚近似模型,克龙尼克模型,5.3 近自由电子近似,近自由电子近似模型：离子实形成的周期性势场较弱，电子近似认为是自由电子，

3、周期性势场看成微扰。 周期性势场展成傅立叶级数 其中 h = 1, 2,应用量子力学非简并微扰理论,一、一维定态非简并微扰 近似认为近自由电子处于一维无限深势阱中，再加上周期性势场的微扰V（x,1、能量二级近似,0,L,零级（无微扰,一级修正,能量二级近似值,2、波函数的一级近似,零级（无微扰,波函数一级近似,调幅平面波，Bloch函数,k前行平面波,k散射波,能量二级近似,波函数一级 近似,根据量子理论，上述非简并微扰只适用于 （或 ）比较大的情况，以便很快收敛,k,k,这时不能用非简并微扰处理,用简并微扰处理,K,0,a,2/a,/a,2/a,h/a,h/a,处于布区边界自由电子波函数和能

4、量为,二、一维定态简并微扰,简并,零级波函数为自由电子波函数组合 把 和 展式代入,等式两边分别乘 ，全空间积分,等式两边分别乘 ，利用积分、整理,等式两边分别乘 ，利用积分、整理,1,最后得,A、B不全为 0 的条件是 能量,2,当,即布里渊区的边界,此处能量相等 ，代入（2）式,微扰后，能级发生分裂， 分裂为,把 代入（1）式 选择原点，使 波函数为,三、近自由电子能量的讨论 自由电子 E K 关系 近自由电子 E K 关系讨论 1、当 k 和 k 远离布区边界时，即非简并情况，能量与波函数修正项 中 较大，修正项较小 电子近似认为是自由电子，E K 曲线是抛物线,2、 k 和 k处于布区

5、边界 令 能级分裂为 禁带宽度为 禁带（能隙）：各能带之间的间隙，不允许有电子状态。 能带分裂的位置和禁带宽度决定于晶体结构以及周期性势场,3、波矢趋于布区边界,代入（2）式得,h/a,T h=Ek(0,2 Vh,BZ边界,E,E,开口向上小抛物线,开口向下小抛物线,开口向上小抛物线,开口向下小抛物线,近自由电子近似下，电子的能量与波矢（E K）关系图,第一能带,第二能带,第三能带,第四能带,开口向上小抛物线 开口向下小抛物线,四、色散关系图（E K） 1、扩展区图,第一能带,第二能带,第三能带,第四能带,2.重复区图,K,0,3、简约图,E,K,电子能带结构的特征（结合E K图,1）在周期性

6、势场中，电子有带状结构的能谱，能带 与禁带交替排列；两能带之间出现能量不允许的 区域，称为禁带。 ( 2 ) E 是 K 的偶函数 E(K) = E(-K)； （3）能带的分界点出现在BZ边界； （4）能量越高，能带越宽； （5）能量E与波矢K是周期函数； （6）禁带宽度为 ，与周期性势场有关,五、能隙产生的物理解释（波函数的讨论,电子几率密度分布,a,x,平均势能,对应电荷分布，在原子实附近电子出现的几率密度最大，即负电荷大部分靠近原子实，势能比平均势能低 ，E- E 。 所以，形成两个态能量差,例：一维周期势场为,其中a=4b，W为常数，求平均势能和第一禁带宽度,x,2a,3a,五、三维情

7、况下的近自由电子近似,一维,三维,非简并微扰,简并微扰（布区边界,能带交叠在二、三维晶格中，K不同方向能量断开的取值不同，使不同能带发生重叠,二维正方晶格第一布区,思考题： 周期性势场指什么？ 布洛赫定理？ 布洛赫函数的特点？ 近自由电子近似模型？ 近自由电子近似中，禁带的成因？ 近自由电子近似中，晶体能带结构的特点？ 近自由电子近似中，能带发生分裂的位置和禁带宽度？ 近自由电子近似中，布区边界处电子能量特点,5.4 紧束缚近似,一、紧束缚近似模型： 当原子间距较大时，把电子处于很强的原子势场，近似看成孤立原子势场；把其它原子的周期性势场，当微扰来处理,二、运动电子的波函数和能量 第 n 个电

8、子在第 n 原子实附近 孤立原子形成的势场为 孤立原子中的电子（s态）的波函数 能量,e,其它原子的势场（微扰,电子总波函数,总能量,晶体周期 性势场,孤立原子势场,孤立原子束缚的电子薛定谔方程（本征方程,应具有布洛赫波函数的形式，归一化可以得出,加上其它原子势场，晶体中电子波函数为孤立原子波函数的线性组合,孤立原子+其它原子势场 薛定格方程, ,同乘 、全空间积分,令,Rn=0原点处，其它原子势场平均值,由于原子间距较大，只有相邻原子的电子波函数 交叠，即 ，其它为 0。由于S态的波函数 的球对称性，B（Rn）应与 Rn无关,S态电子的能量,例：利用紧束缚近似，求面心立方结构的晶体中S 态电

9、子的能量。并计算能量的极大值、极小 值和能带宽度。 解: 面心立方结构有12个最近邻，分别是 在XOZ面 同理在XOY面 在YOZ面,编号,编号：,编号：,X,Z,面心立方的倒格子为体心立方，第一布区为截角八面体,通过求极值的方法可求出能量极大值和极小值,16B,Esa,A,4B,12B,孤立原子时,周期性势场，紧束缚近似,孤立原子能级,晶体能带,三、原子能级与固体能带,1、运动电子的速度、加速度和有效质量,电子速度,电子动量,5.6 晶体中运动电子的准经典运动,电子EK关系,大小：能量梯度 方向：等能面的法线方向,加速度,对一维情况： 在EK曲线上，速度由曲线的斜率决定,电子有效质量为,对一

10、维情况，有效质量为标量,2、三维运动电子的速度、加速度和有效质量,适当选择坐标系,当等能面为椭球面， 当等能面为球面,2、三维运动电子的速度、加速度和有效质量,三维,一维,1）有效质量是一个张量，主要由电子能带结构决 定。当等能面为球面时，各向同性 （标量） （2）在能带不同位置，有效质量不同。 能带底，对应能量极小 能带顶，对应能量极大,E,v,m,Ek关系,m*k关系,vk关系,准自由电子,布区边界,布区边界,3、有效质量并不代表真正的质量，而是代表能带 中电子受外力时，外力与加速度的一个比例系 数。负的有效质量说明晶格对电子作负功， 即电子要供给晶格能量，而且电子供给晶格的 能量大于外场

11、对电子作功,4、引入有效质量的意义 概括了半导体内部势场作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及到半导体内部势场的作用。 5、布区边界，有效质量与真实质量有显著差别 * 晶格对电子的作用越弱，有效质量与真实质量差别越小； * 晶格对电子的作用越强，有效质量与真实质量差别越大。 * 当电子波矢在布区边界时，散射最强，晶格对电子的作用 大，有效质量与真实质量有显著差别,例：二维正方格子，晶格常数为a. 求： （1）S态电子的能量，能带宽度； （2）电子的速度； （3）能带底电子有效质量 ; 和能带顶空穴的有效质量； （4）第一布里渊区11方向的能带、速度和电子 有效质量,4

12、个最近邻，坐标,4）在11方向上,11,SC,倒格子是边长为 简立方格子,SC第一布区立方体,能量最小位置,能量最大位置,SC第一布区立方体,fcc,fcc第一布区十四面体（截角八面体,能量最小位置,及对称点,fcc第一布区十四面体（截角八面体,bcc,bcc第一布区十二面体,bcc第一布区十二面体,能量最小位置,能量最大位置,5.7 导体、绝缘体和半导体 固体导电是由于外电场作用下，电子定向运动的结果。 从能带论看，电子能量的变化是电子从一个能级跃迁到另一能级上。 1、满带：一个能带内的全部状态均被电子所填满,满带不导电,满带不导电 1、未加外电场 满带中尽管每个电子都带一定电流，但状态k、

13、-k的电子电流正好抵消。 2、加外场时,K轴上的各 k点以相同速度沿外场反方向运动，从第一布区一端移出，相当与从另一端进入。整个满带仍处于填满状态，所以不导电,A,满带： 无净电流，不导电,X,A,A,X,X,Y,Y,Y,E,k,k,k,Z,Z,Z,0,k1,k2,k3,k4,k5,电子运动没有改变布区中电子分布 不产生宏观电流,2、不满带：未被电子填充满的能带,不满带导电,在有外场时，在外力 F 作用下，整个电子分布向一边移动，破坏对称性，电子电流部分抵消，产生一定电流,电子受力,X,A,A,A,X,X,Y,Y,Y,E,k,k,k,Z,Z,Z,不满带，有净电流，导电,空电子状态,电子状态逆电场方向运动,引入空穴意义： 引入空穴后，可以把价带中大量电子对电流的贡献用少量空穴来描述，使问题简化,4、金属、半导体、绝缘体的能带 价带：电子一系列能带中，最上面的满带称为价带。 导带：价带上面，靠近价带的能带。 1、导体：导带是不满带，以下能带全满,不满带导电，所以导体的导电性能好,2、半导体：导带全空，以下能带全满。禁带宽 度较小（E g 约0.12 eV ) 。 在外界条件变化时，价带顶少数电子被 激发到导带底，同时价带有空的电子状态 （空穴）。导