华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案

1、第 11 章（之1）（总第59次）教材内容：11.1多元函数1解下列各题：*（1）. 函数连续区域是 _ 答：*（2）. 函数 ， 则（ ）(A) 处处连续(B) 处处有极限，但不连续(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续答：（A）*2. 画出下列二元函数的定义域：（1）； 解：定义域为：，见图示阴影部分： （2）； 解：，第二象限双曲线的上方，第四象限双曲线的下方（不包括边界，双曲线用虚线表示）（3）解：*3. 求出满足的函数.解：令， ，即 *4. 求极限：解： （） *5. 说明极限不存在解：我们证明沿不同的路径趋于时，极限不同首先，时，极限为，其次，时，极限为，

2、故极限不存在*6. 设，试问极限是否存在？为什么？解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在点的任一去心邻域内函数并不总有定义的，轴与轴上的点处函数就没有定义*7. 试讨论函数的连续性解：由于是初等函数，所以除以外的点都连续，但在上的点处不连续 *8. 试求函数的间断点解：显然当时，没定义，故不连续又是初等函数所以除点（其中）以外处处连续第 11 章（之2） （总第60次） 教材内容：11.2 偏导数 11.2.1*1.解下列各题：（1）函数在点处 （ ）（A）和都存在； （B）和都不存在；（C）存在，但不存在； （D）不存在，但存在答：（D）（2） 设，那么 （ ）(A) 0 ； (B) 1；

3、 (C) ； (D) 答：(D)（3）设，则_，_解：由于，同理 *2. 设， 求 解：， *3. 求函数对各自变量的偏导数.解：*4. 设，求解：，*5. 求曲线在点处切线与y轴的夹角解：由于曲线在平面内，故由 ，得切线与y轴的夹角为 也可求出切向量为夹角=*6. 设函数在点连续，已知函数在点偏导数 存在，（1）证明； （2）证明也一定存在解：（1），因为存在，所以 即， 故（2）由于在点连续，且，所以时，是无穷小量，而是有界量，所以，即第 11 章（之3） （总第61次）教材内容：11.2 偏导数 11.2.2 11.2.4*1. 求函数的全微分，并求出其在点处的梯度向量解： ，*2.求函

4、数的全微分：解： *3. 设，求解：*4. 利用，可推出近似公式：，并利用上式计算的近似值解：由于，设，于是 ， ，*5已知圆扇形的中心角为，半径为，如果增加了，减少了1cm，试用全微分计算面积改变量的近似值解：， ， *6. 计算函数在点处沿给定方向 的方向导数解：， *7. 函数在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值解：，其中为与的夹角，所以时，即与同向时，方向导数取最大值*8. 对函数 求出 以及 .解： ，*9. 求函数在点处的梯度解：，*10. 讨论函数在点（0，0）处的连续性，可导性和可微性解：因为 ，所以在点（0，0）连续因为 ，极限不存在，在（0，0）处不

5、可导，从而在（0，0）处不可微第 11 章（之4）（总第62次）教材内容：11.3 复合函数微分法；11.4 隐函数微分法*1.解下列各题：（1） 若函数可微，且有及，则= ( )(A) (B) (C) (D) 答：(A)（2）设函数由方程所确定，则=_答： （3）方程，在变量代换，下，可得新方程为_.答：*2. 设求解：，*3. 一直圆锥的底半径以3的速率增加，高h以5的速率增加，试求r=15，h=25时其体积的增加速率解：， *4. 设而，求 解：*5. 若，证明：解：，则 *6. 设 ，求 解： ，*7. 求由方程所确定的函数的偏导数解：，*8. 设 试求解： 两边对求导，得 ，解得 ，

6、两边对求导，得 解得 ，所以*9. 函数由方程所确定，其中具有连续一阶偏导数，求和解：， *10. 求由方程所确定的隐函数在坐标原点处沿由向量所确定的方向的方向导数解：当时， *11. 设求解： 类似地 第 11 章 （之5）（总第63次）教材内容：11.5 多元函数微分法在几何上的应用*1. 曲面在点处的切平面方程为 （ ）（A） （B）（C） （D）答：(A)*2.设函数可微，曲面过点，且.过点作曲面的一个法向量，已知与轴正向的夹角为钝角，则与轴正向的夹角=_ 答：*3. 设曲线在对应点处的法平面为，则点到的距离_ 答：2*4. 求曲线在点处的切线和法平面方程解： 切线方程为：，法平面方程

7、为：*5. 求曲线在点处的切线和法平面方程解：设 ，切线方程为 ，法平面方程为 ，即 *6. 求曲面在点)处的法线在平面上投影方程解：曲面在点）处的法线方向向量，法线方程为： 法线在平面上投影方程为*7.求曲线上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面解：设所求的点对应于，则对应的切线方向向量为： 因为垂直于平面法向量，所以，解得：和所求点为：和*8求曲面上平行于平面的切平面方程解：，由条件，得：切平面方程为：即 *9.求函数在点沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数解：等值线方程为,在处的法线斜率为 ，即法线方向向量为 或，方向余弦为：, *10. 求函数在点沿方向的方向导数，其中为曲线在处的切

8、向量（指向增大的方向）解：，所以 *11. 设都是可微函数，求曲线在对应于点处的切线方程和法平面方程解：对应点， 对应的切线方向向量： 切线方程：，法平面方程： *12. 在函数的等值线中哪些曲线与椭圆相切？解：对等值线 两边微分得 ， 即 ，同样对两边微分，有 ，令，得 ，代入，得 ， *13. 试证明曲面上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之积为定值解：由， 得 ， 在点处法向量为：，切平面为：，又 ， 切平面方程化为：， 截距之积为： （定值）*14. 证明曲面的所有切平面都通过一个定点，这里具有一阶连续偏导数解：曲面上点处的切平面法向量： 切平面方程为： 易知满足上述方程，即曲面的所有

9、切平面都通过定点第 11 章 （之6）（总第64次）教学内容：11.6泰勒展开1填空：*（1）设，则=_ 答：*（2）设，则= _答：*（3）设，则= _ 答： *（4）设，则=_ 答：0*（5）设，则= _答：0*2设具有连续的二阶偏导数，而，求解:， *3设，求解一：， 解二： ， ，*4设解：， *5函数由方程所确定，求解：，.*6求方程 所确定的函数z=z(x,y)的所有的二阶偏导数.解：， ，因为 ， 则 ，*7对于由方程确定的隐函数，试求 解：由公式两边对求偏导数，得 *8设解：, 第 11 章 （之7）（总第65次）教学内容：11.7.1 多元函数的极值1选择题：*(1) 设函数

10、，则点是函数的 ( )（A）极大值点但非最大值点； （B）极大值点且是最大值点；（C）极小值点但非最小值点； （D）极小值点且是最小值点答：(B)*(2) 设函数具有二阶连续偏导数，在点处，有 ，则( )（A）点是函数的极大值点； （B）点是函数的极小值点；（C）点非函数的极值点； （D）条件不够，无法判定答：(C)*（3）“同时是一元函数与的极大值”是“是二元函数的极大值”的 （ ）（A）充分条件，非必要条件； （B）必要条件，非充分条件；（C）充分必要条件； （D）既非必要条件，又非充分条件解：（B）*2. 设函数由方程确定，则函数的驻点是 _ 答：（，）*3.求函数的极值答：由，得驻点

11、，所以函数在点处取极小值*4. 求函数 的极值解：， ， 令，解得驻点： ，为极小值点，类似可求其他各点处的H值： 为鞍点*5求方程 所确定的函数的极值：解：两边对、求偏导： 代入原式得 将（1）对求偏导： ，将（2）对求偏导： ，将（2）对求偏导： ， ， 当时， 故时，函数有极大值7，故时，函数有极小值*6. 试证函数有无穷多个极大点而没有极小点解： ， ， ， 时， 时，所以函数有无穷多个极大值点， 无极小值点第 11 章（之8）（总第66次）教学内容：11.7 11.7.2-11.7.3 最值，条件极值，拉格朗日乘子法*1. 函数在条件下的极大值是 （ ）(A) (B) (C) (D)

12、答：(C).*2.求函数在指定约束条件下的极值.解：，令， ， ，代入， 得，为极小值，为极大值*3.求函数在区域 上的最小值，最大值解： ， ， 临界点为（1，2）， 以下求边界上的最值（1）： 由 可知： 当，取最大值 ，当，取最小值 （2）：当，取最大值 ，当，取最小值 (3) 当： 当，取最大值 ， 当，取最小值 综合得：当时取最小值，当时取最大值*4.求函数在闭域上的最大值和最小值.答：由得内驻点，且 在边界上， ，得驻点， 时 时, 比较后可知,函数在点取最小值 ， 在点取最大值 *5. 求表面积为S，而体积为最大的圆柱体的体积解：设圆柱体的底圆半径为，高为则圆柱体的体积 ， 且令， 由，得 由于实际问题必定存在最大值，因此当圆柱体的底圆半径与高分别取时， 有最大体积*6. 周长为6p的长方形，绕其一边旋转得一旋转体，试证明其体积不超过证：设长方形的长为 ，宽为 ， 令， ， *7. 在椭球体位于第一卦限的部分内，作各侧面平行于坐标面的内接长方体，问长方体的尺寸如何，方能使其体积为最大？（）解：设长方体的长、宽、高分别为，则长方体与椭球的交点为 ，所以长方体的体积 ， 且令由得，于是，由于实际问题的最大值必定存在，因此当内接长方体的长、宽、高分别取 时，其体积最大*8. 在抛物面 与平面 的交线上，求出到原点距离最大和最小的点解：目标函数