中点四边形教学设计

1、中点四边形教案设计定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的面积为原四边形面积的一半。 证明：设有一任意四边形ABCD，AB中点为E,BC中点F，CD中点为G，AD中点H，连接四边形EFGH，则四边形EFGH为中点四边形ABD中，E，H是AB和AD中点EH是ABD的中位线EHBD，EH/2BD同理FGBD，FG/2BDEHFG，EHFG平行四边形EHGF任意四边形的中点四边形的形状都是平行四边形特殊情况： （1） 如果该四边形对角线互相垂直（可得出有一角为90度），则中点四边形为矩形，如菱形的中点四边形

2、是矩形。 （2） 如果该四边形对角线互相相等（可得出有一组邻边相等），则中点四边形为菱形，如矩形的中点四边形是菱形。（3） 如果该四边形对角线互相垂直且相等，则中点四边形为正方形，如正方形的中点四边形是正方形。探索：1. 当四边形对角线互相垂直时，中点四边形为矩形；例1. 如图1，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFCH为矩形，四边形ABCD应该具备的条件是（ ）A. 一组对边平行而另一组对边不平行B. 对角线相等C. 对角线相互垂直D. 对角线互相平分解：选C。证明：连结BD，点E、H分别是AB、AD的中点，EH是ABD的中位线。EHBD，同理：GFBD，。EHGF，EH

3、GF 四边形EFGH是平行四边形。ACBD，ACEF，BDEH，EFEH，即HEF90，平行四边形EFGH是矩形。2. 当四边形对角线相等时，中点四边形为菱形；例2. 如图2，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由。解：添加的条件：对角线相等理由：连结AC、BD，在ABC中，AEBE，BFCF，EF为ABC的中位线。同理可得又ACBD（添加条件），EFFGGHHE，四边形EFGH为菱形。说明：若添加的条件：对角线互相垂直，那么四边形为矩形；若添加的条件：对角线互相垂直且相等，则四边形为正方形。例3. 如图3，四

4、边形ABCD中，AC6，BD8，且ACBD。顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形；再顺次连结四边形各边中点，得到四边形如此进行下去得到四边形。（1）证明：四边形是矩形；（2）写出四边形和四边形的面积；（3）写出四边形的面积；（4）求四边形的周长。（1）证明：点、分别是AB、AD的中点，是ABD的中位线，同理：四边形是平行四边形。ACBD，即。平行四边形是矩形（2）连结AC，顺次连结四边形ABCD的各边中点得到四边形则同理可得：，四边形的面积四边形ABCD的面积 四边形的面积四边形的面积；（3）依次类推得：四边形的面积为；（4）由（1）得矩形的长为4，宽为3；矩形矩形；可设矩形的长为4x，

5、宽为3x，则解得矩形的周长说明：有关相似多边形的知识将在今后学习。对例3的再探索：（1）当n为奇数次时，四边形的形状是矩形；当为偶数次时，四边形的形状是菱形。（2）四边形的面积为原四边形ABCD的面积；由例3得矩形的长为4，宽为3；矩形的周长矩形矩形；可设矩形的长为4x，宽为3x，则解得：；矩形的长，宽矩形的周长由上可知：矩形的周长同理可得：矩形的周长矩形的周长因此得：（3）当n为奇数次时，四边形的形状是矩形；其周长的周长因矩形的长为4，宽为3，由勾股定理得对角线菱形的边长则菱形的周长由矩形的长为2，宽为，那么由勾股定理得对角线菱形的边长则菱形的周长菱形的周长菱形的周长当n为偶数次时，四边形的

6、形状是菱形；其周长的周长例4. O点是ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G依次连结起来，设DEFG能构成四边形。（1）如图当O点在ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形。（2）当O点移动到ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由。（3）若四边形DEFG为矩形，则O点所在位置应满足什么条件，试说明理由。证明：（1）（2）略，请同学们根据右图自己写出证明过程。（3）若四边形DEFG为矩形，则O点所在位置应在过A点且垂直BC的直线上（A点除外）。理由：如图过A点作BC的垂线MN交BC于K点。设O点是MN上任意一点（A点除外），连结O

7、B、OC，由（1）得四边形DEFG是平行四边形。在ABO中，DEOA，在ABC中，DGBC，AKBCDEDG，即EDG90 平行四边形DEFG是矩形。例5. 在四边形ABCD中，E为边AB上一点，ADE和BCE是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，求证：四边形PQMN为菱形。证明：连结AC、BD。DAE和CEB是等边三角形AECDEB（SAS）ACBD又P、Q、M、N是四边形各边中点（三角形中位线定理）PQQMMNNP，四边形PQMN为菱形。例6. 如果等腰梯形的两条对角线垂直，那么它的中位线的长和高相等已知：在等腰梯形ABCD中，MN是中位线，AEBC。求证：MNAE证明：取BC、AD的中点G、H，连结MG、GN、NH、HM（三角形的中位线定理）四边形MGNH是平行四边形又MG