北京理工大学级数学专业最优化方法期末试题A卷MT

1、北京理工大学2007-2008学年第二学期 3号: 0700020 课程编2005级数学专业最优化方法终考试卷（A卷） 1(20分)某化工厂有三种资源A、B、C，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为x,x,x,其数学模型为：321maxz?3?2?5xxx321?2?430(A资源限制)?xxx321?(B2?460资源限制)3? xx?31t.s?(C?4?420资源限制)xx?21?0,?,xxx?321请回答如下问题： （1）给出最优生产方案； （2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？ xx3x?2800问最优解有何变化？（3）假定增加一种添加剂可显

2、着提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为： 321222Tminf(x)?4x?x?2xxx?(1,1)，迭代一步。2(12分)用Newton法求解，初始点取为 21210Tp2)1,(1,?p?)xf(做精确线搜，沿)用FR共轭梯度法求解三个变量的函数的极小值，第一次迭代的搜索方向为3(10分00?f(x)?f(x)T11111?2,2xp)x?(x,x,x。索，得， 设出发的搜索方向，求从 31211111?x?x21TTTsyssysTkkkkkkH?(I?)H(I?)?，矩阵修正公式： 4(15分) 给定下面的BFGS拟Newton k1k?TTTysysyskkkkkks?x?x,y

3、?g?g 其中kkkkkk?1?122TIH?(0,0)x?x?4xf(x)?x?2x?2xmin ，法求解：。，初始点取为用对应的拟Newton1112200 )写出问题5(15分 Lagrange乘子。条件求出问题KT点及相应Kuhn-Tucker取得最优解的（KT）必要条件，并通过KT )求约束问题6(12分TT(1,0)x?(0,0)x? 及在处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来21 分）考察优化问题7（8minf(x)， s.t.x?Df(x)f(x)DDD上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。 上凸函数，证明：设为为凸集，在1TTx(?x*)c?bxf

4、(x)?xAx?min)(xf*xA可表示为8为对称正定矩阵，为的极小值点，又设（8分）设，其中 021?p?x*x?xR?pA出发，沿最速下降方向做精确一维搜索，是的特征向量，证明：若从，其中，对应于特征值00则一步达到极小值点。 北京理工大学2008-2009学年第一学期 课程编号:07000203 2006级数学专业最优化方法终考试卷（A卷） 分) 用单纯形法求解线性规划问题1(15 分)写出线性规划问题2(10 的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。T221)?1,?x2xx(minf(x)?）2）采用精确一维搜索；（， (153分)考虑用最速下降法迭代一步初始点取为。（1012?0.

5、1,0.9?。采用Wolfe条件进行不精确一维搜索，其中 121?22minf(x)?x?2xx?H初始点取为，初始矩阵 。 DFP(154分)用拟牛顿法求解?21001?11?6x?2x?x?Sx|2?4,x?(0,0)S 分5(15)的最短距离。证明集合是凸集，并计算原点到集合21216(15分?) 考虑问题 15T)(, 处的下降可行方向集。 ）用数学表达式写出在点（1 33T(0,0)处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。）假设当前点在2 （ 分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。7（7Lax?x?bax?a?12111121nn?

6、Lax?x?bax?a?22221221nn?b,bL,b?0.，给出一种判断该不等式组是否相容（即8分）已知线性不等式组其中8（?m21?Lax?bax?ax?m1nm1m22mnL?,xx?0x,?n21是否有解）的方法并说明理由。 北京理工大学2009-2010学年第一学期 课程编号:07000203 2007级数学专业最优化方法终考试卷（A卷） 1（8分）将优化问题 化为标准形式的线性规划问题。 2(10分) 给出一个判断任一线性不等式组是否相容（即是否有解）的一般条件，并利用其判断以下不等式组是否相容。 3(12分)对于下面的线性规划 （1）利用对偶单纯形法求解；（2）写出其对偶线性

7、规划问题并利用对偶理论求出对偶问题的最优解。 22T1)?1,xxx?(x)?x?2x?2minf 。，初始点为分4(10)考虑用最速下降法迭代一步0112211T?2221,1,1x?x?x(xmin)?xf。 共轭梯度法求解 初始点取为5(15分)用FR 03212222?x?1)x)?(xminf(21 分?) 考虑问题6(1020x?t.x?s.21写出问题取得最优解的Kuhn-Tucker（KT）必要条件，并通过KT条件求出问题KT点及相应Lagrange乘子。 22minf(x)?x?x?2x?4x2121s.t.2x?x?1,21T2)(0, ，初始点取为7(15分?) 用简约梯

8、度法求解问题。2,?x?x210.?x?0,x218（10分）基于单纯形算法，试给出一个判定线性规划问题具有唯一最优解的条件，并且举例说明之。 minf(x)xxq个约束为有效约束，记为，设处前分)考虑优化问题为问题可行域中任一点，在9(10kknnm?R,s.tAx?b,A?Rx?TT?1P?I?A(AA)AAbx?AP，证明：（1，其中）为行满秩矩阵，令为投影阵。 qkqqqqqqqqp?P?f(x)?0，则为问题的下降可行方向。 （2）若kkq北京理工大学2010-2011学年第一学期 课程编号:07000203 2008级数学专业最优化方法终考试卷（A卷） 求解线性规划1(15分) 给

9、定一个线性规划问题(12分)2T75?, 2）假设已知该对偶规划的最优解为，试求出原始问题的最优解。（1）写出其对偶规划。（? 33?222)x(1?x?x)?f(x)?100()xf( 3(15分的驻点，并判断驻点的最优性。函数(1) 求出)给定Rosenbrock1211T2)1,x?(?)xf( (2) 求出处的最速下降方向在点?1?g?Gx?xB法的思想可以是构造一个对称正定阵Newton，拟分4(20)无约束优化问题阻尼Newton法迭代公式为kk?1kKkky?B?gB?IspBBBBG，要满足拟Newton，则搜索方向由，由方程修正得到，求出。近似替代初始kk0kkk?1kk1k

10、1k?k?nTT?g?ys?x?x?gBvvB?B?uuR?,vu，试推导出是秩,，2其中修正的，即。假定正定阵kkk?kk1k?1kk?1k?,u,v,的一种取法满足拟Newton方程， 31T220)?(0,xx2xx?x?(minfx)?x?。并用相应拟Newton法计算 初始点取为 011212225(12分?) 考虑问题 写出问题取得最优解的Kuhn-Tucker（KT）必要条件，并通过KT条件求出问题KT点及相应Lagrange乘子。 TH?x|?2x?x?x?107)5,y?(2,上的投影向量。利用投影矩阵求出向量分?) 在超平面 6(8321T(1,0) 利用简约梯度法求解以下

11、问题，初始点取为，迭代一步。7(10分)H 正定，则拟牛顿法得到的搜索方向（非零向量）是下降方向。8（8分）证明：在拟牛顿法中，若矩阵k2010-2011北京理工大学学年第二学期 : MTH17085 课程编号2009级数学专业最优化方法终考试卷（A卷） maxf(x)?2x?x?x312s.t.x?x?x?6312 分)求解线性规划1(154?2x?x?210?,xx,x321?x?2x?2x)?2x?3x?maxf(x。（2不用重新计算，给出发生下列变化后新的最优解。（1）增加一个新约束 3123122T0)x?(0,2?2x?x?1minf(x)?4x?4xx针对初始点处的负梯度方 。2

12、(18分)给定极小化问题初始点取为(1)022211?0.90.1,? 用PRP共轭梯度法求解上述问题。向求出满足不精确一维搜索Wolfe条件的步长区间，其中 (2) nT?Ru?u,uuH?H，给出法对称秩1公式，即的取法满足拟Newton，3(15分) 试推导无约束优化问题拟Newtonkk?1Hy?ss?x?xy?g?g。并用相应拟,，其中Newton方程法计算 k?k1kk?1kk?1kkk22T0)(0,x?x?2x)?4x1?4xx?2minf(x。 初始点取为022211minf(x)?x?x21 分?) 用外罚函数法求解4(1020?xs.t.x21x?x(x)?minf2122T.t4?0xs?x?0)(2, 5(12分)利用广义简约梯度法求解问题。初始点取为，迭代一步。21x?0,x?0.21n?)xx,L,f(xR?D为实数，证明水平集上的凸函数，6（8分）设 为凸集n12?,x)x,x,L)x,x,L,x?D,f(,L(;f)?x,x,Lx)|(为凸集。 nn1n22112Tyb)?maxf(xTxc)?minf(xTs.t.Ay?cxyb?.st.Ax为对偶为原始问题的可行解，其对