初一数学第12讲数与式的规律教师版

1、 数与式的规律 第十二讲 常见的数列有 等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。 混合数列 探索规律的一般步骤：观察、比较、归纳、验证。 1.利用代数式表示规律 2.探索规律的方法 1声扑通跳下水。只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，例1 1 声扑通跳下水。2只青蛙张嘴，4只眼睛8条腿，22 声扑通跳下水。3张嘴，6只眼睛12条腿，33只青蛙 只青蛙张嘴，只眼睛条腿，声扑通跳下水。n 腿的条数是青蛙只解析：有几只青蛙就有几张嘴和跳水声，眼睛的只数是青蛙只数的2倍， 数的4倍。 、5、61 、2

2、、3、4 8、10 2、4、6、 这些都是等差数列 、12、16、20 4、8 声扑通跳下水。条腿， n 2n n 张嘴， 只眼睛 4n 答案：n只青蛙 （出示某年某月的日历） 例2 星期星期星期星期星期星期星期六 五 日 一 二 三 四5 1 3 2 4 12 10 7 9 11 8 6 19 18 14 16 17 13 15 26 25 23 20 22 24 21 31 30 29 28 27 1.请看看日历中的数字有什么特征？ 2.在日历中随意选取一个数，观察该数的前后两个数，上下两个数，左下右上两个数及左上右下两个数与这个数分别有什么关系？ 3.在日历中的某一天设定为a，能用a表示

3、相邻的日期吗？ 的方框，这九个数的和与该框正中间的数有什么关系？334.在日历中圈出一个 让学生亲自进行这一探索，给学生留出一定的空间，让学生不急于将规律告诉学生，解析： 去发现、认识、归纳出这一规律。 的整数构成，是等差数列；1.由一些大于等于1而小于等于31答案： ， 2.一行中的后一个数比前一个数大1，一列中从上到下的两数，依次比上一个大7 ；每一斜列，左下的比右上的数大6，右下的比左上的大8 同行，下一数为a+7，与a 3.把日历中的某一天设为a，则与a同列的上一数为a-7 ，左上的数为斜列右上的为a-6，左下的为a+6的前一数为a-1，后一数为a+1，与a a+8a-8，右下的数为，

4、即：列表可表示为： a-6 a-8 a-7 a+1 a-1 a a+8 a+6 a+7 9个数的和等于9a。4.如果用a表示中间的数，那么这 例3 按下列程序计算，把答案写在表格内： （1）填写表格： （2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简1 2对应的值，进而可以探索出运解析：按照运算程序可以直接计算出当n和分别等于2 算的一般规律1 ；2时，答案为答案：（1）当n1时，答案为1，当n22 n，化简结果为：1n）n2 （）代数式为：（n+ 222222，王华接着8271582，93784例4 老师在黑板上写出三个算式：5，32222 ，75812，15822又写了两个具有同样规律的

5、算式：11 ）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （1 ）用文字写出反映上述算式的规律； （2 3）证明这个规律的正确性（ 分析：观察分析已知条件中老师和王华的四道式子的数字特点，可以发现相邻的两个奇数 的整数倍，于是要解答的三个问题容易获解的平方差是82222 等15，13答案：（1）答案不唯一如：13118786 的倍数）任意两个奇数的平方差是8 （2 +1、2nn）证明：设m、为整数，则两个奇数可表示为2m+13 （22 ）+n+1mmn+1）4（n）（2+12 则（m）（8 ）一定是nm（4）一定为偶数，所以nm同是奇数或偶数时，（n、m当 的倍数； 当m、n一奇一偶

6、时，（m+n+1）一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍 数 综上：任意两个奇数的平方差是8的倍数 12345131，2，17，2归纳各计算结果12例5 计算：11，21513，22 0061的个位数字是（ 中的个位数字规律，猜测2 ） A1 B3 C7 D5 12345131，我们可以发现，个115，21，213，2 17，2分析：由21位数字呈1，3，7，5周期性循环，于是问题即可获解 123456712 163115，2，131，答案：因为211，213，217，2281255，2， 127 所以个位数字呈1，3，7，5周期性循环 2 0064501+22 0061的个位数是3故应

7、选B 而22 ，所以2 例6 观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： （1）请你在和后面的横线上分别写出相对应的等式： （2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式 分析：通过观察分析顺着已知三个式子的书写规律即可写出式和式，进而可以推出 其一般规律 答案：（1）因为401413；11423；421433，所以可 以类似地推得431443和441453 （2）由已知条件结合（1）可得第n个图形相对应的等式是：4（n1）1=4n3 A档 5432xxxxx，根据其中的规律，得出16，,84，2，观察下面的一列单项式：1. ）的第10个代数式是（ 9999910910x2x?22x

8、2?x A. B. C. D. B 答案： 个图中平行四根据如图所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第n2. 边形的个数是（ ） （2） （3） （1） 1） C. 6n D. 6n（nA. 3n B. 3n（n1）A 答案： 3. 小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：. . 1 2 3 4 5 输入 54123 . . 输出 26105217那么，当输入数据是8时，输出的数据是（ ） 8888 B. C. D. A. 67656163nC 时，选，当n=8分析：可列式为21?n答案：C 4. 如图，是2009年9月的日历表，任意圈出一竖列上相等的三个

9、数，这三个数的和不可能是（ ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A. 27 B. 36 C. 40 D. 54 分析：设这三个数为n，n+7，n+7+7，则其和为3n+21，代入验证即可 答案：C 5. 观察下列等式： 1 3=4行1第第2行 5=94 第3行 7=169 第4行 9=2516 . . 按照上述规律，第n行的等式为 ?22n?n?1 2n+1=答案： 6. 根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空。 531 8356415

10、32 答案： 7 63 8 个图形中有个圆。7. 观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8 21n? 规律为分析： 65个答案： f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：8. 符号“. ，（4）=33=0 f（2）=1 f（）=2 f1（1）f（）1111（f（. 2）（）=4 f（）=5，（）=2 f）=3 f 53421 （2009）的值。f利用以上规律计算f（） 200911=2009-2009）（）-f（f）可得由n）答案：由（1可得f（）=n-1，（2）f（=n，所以 2009n=1 ）（2009-1 档 B 9. 观察下列顺序排列的等式： 2=11，901=1，19 ，4=31

11、39，3=2129945=41，. 猜想：第n个等式（n为正整数） ?（n-1）+n=10n-1 答案：9 223344aa2222?10?2?103?4?4?2?3?若，.，10. 已知：， 33881515bba?bba,得值？（为正整数），求 nn2?n?n?a+b=109 b=99，所以答案：规律为a=10， 22n?1n?1 22226?48?45?64?473?4?15?432，请你， ，11. 观察下列算式：250?_?_?_? 个式子呢第在观察规律之后并用你得到的规律填空：n, 4=50252答案： 48 4）4=（n2）2n（n 人，按下列方式讲桌子拼在一起。一张长方形桌子可

12、坐12. 6 张桌子拼在一起可坐2张桌子拼在一起可坐_人，张桌子拼在一起可坐3_n人。 _人。4 8 10 2n答案： 档C 将这条边分为相(分别连结这个三角形三边的中点图是一个三角形如图13. 1-29所示,按此方等的两部分的点)得到图得到图,;再分别连结图中间的小三角形三边的中点: ,完成下列问题请你根据图中三角形个数的规律,法继续下去 1-29 图 . (1) 将下表填写完整 . 5 3 4 2 1 图形符号 . 三角形个数 1 5 9 . (2) 在第n个图形中有几个三角形?(用含n的代数式表示) 答案： （1）13 17 （2）4（n1）1 123221?1?1?， 14. 4133

13、223?22?91， 41333224?3?3?136?2?， 4 1333322 ?1?2n?3?( )( )(1)猜想填空： 4123333240n?1?2?3?,试求n的值(2)若. 4答案： （1）n n1 （2）15（由于240=1516） 15. 探索规律：用棋子按下面的方式摆出正方形 按图示规律填写下表： 图形编号）（1 ）（2 3（）4（） （5） 6）（棋子个数 n个正方形需要多少个棋子？按照这种方式摆下去，摆第 答案： 4 9 16 25 36 49 2n 1. 观察下面的几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， ，1+2+

14、3+4+5+4+3+2+1=25 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 。1+2+3+99+100+99+3+2+1=_ _ 10000 答案： 2. 已知下列等式：23 1； 1233 ； 123 2333 ；236 123333 410 ； 123 由此规律知，第个等式是 。23333315?3?4?512? 答案： 观察下列等式：3. 2）2?211?（11 2）222?（222? 2）32（32?33? 则第n个等式可以表示为。2)n?n?(n?2n?2 答案： n根火柴棍时，3根火柴棍时的正方形，当边长为、如图是用火柴棍摆成边长分别是4. 1、2nSSn为正 的代数式表示

15、， 若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则（用含 整数） ）（答案： 2nn1 如图是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形。照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形5. ） 是（ D B C A A 答案： n 36. 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、条“金鱼”，则搭需要火柴根。条“金鱼” 1条 2条 3条 2 答案： 6n 1. 黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋 子（ ）枚（用含有n的代数式表示） 答案：4（n1） 2. 在计算机程序中，二杈树是一种表示数据结构的方法。如图，一层二杈树的结点总数是15四层二杈树的结点总数是，7三层二杈树的结点总数是，3二层二

16、杈树的结点总数是，1 照此规律七层二杈树的结点总数是。 n12? 答案：3691625?、?中得到巴尔末公式，从而打3. 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 3212521 _。开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第n个数据是?22?n 答案： 2n? 4. 观察下列数表： 第一行3 4 1 2 4 3 5 第二行 2 3 4 第三行6 5 第四行 4 5 7 6 ? 第 第 第 第 四三 一 二 列列 列 列 为正n，第n行（根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为_ 列的交叉点上的数应为_。整数）与第n1 答案：11 2n 11111?表示），设计如在数学活动中，小明为了求5. 的值（结果用n n32422222 图所示的几何图形。 请你利用这个几何图形求11111? 。的值为_ n432222221?1 答案： n2 DBABCDAC 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；已知小正方形6. 如图（1），1111DBCAABCD（如图（把正方形2）；以此下去， 边