中考数学 第11章 解答题 第50节 解答题 难题突破一（函数综合题）复习

1、第50节 解答题难题突破一 （函数综合题,第十一章 解答题,1（2016广东，23，9分）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k0）与双曲线y= （x0）相交于点P（1，m ） （1）求k的值； （2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（ ）； （3）若过P、Q二点的抛物线 与y轴的交点为N（0， ），求 该抛物线的函数解析式，并求 出抛物线的对称轴方程,分析】（1）直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可； （2）连接PO，QO，PQ，作PAy轴于A，QBx轴于B，于是得到PA=1，OA=2，根据点Q与点P关于直线y=x成轴对称，得到直线y=x垂直平分PQ，根据线段垂

2、直平分线的性质得到OP=OQ，根据全等三角形的性质得到QB=PA=1，OB=OA=2，于是得到结论； （3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，把P、Q、N（0， ）代入y=ax2+bx+c，解方程组即可得到结论,解答】解：（1）直线y=kx与双曲线y= （x0）交于点A（1，m），m=2. 把A（1，2）代入y=kx+1得k+1=2，解得k=1； （2）连接PO，QO，PQ，作PAy轴于A，QBx轴于B，则PA=1，OA=2， 点Q与点P关于直线y=x成轴对称， 直线y=x垂直平分PQ，OP=OQ， POA=QOB. 在OPA与OQB中， ， POAQOB， QB=PA=1，OB=O

3、A=2， Q（2，1）. 故答案为：2，1,3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c， 过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，,2.（2015广东，23，9分）如图，反比例函数（k0，x0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作ABx轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）在y轴上确定一点M， 使点M到C、D两点距离之 和d=MC+MD最小，求点M 的坐标,解：（1）A（1，3），AB=3，OB=1， AB=3BD，BD=1， D（1，1） 将D坐标代入反比例解析式得k=1,3.（2014广东，23，9分）如

4、图，已知A ， B（-1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m0，m0）图象的两个交点，ACx轴于C，BDy轴于D. （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ （2）求一次函数解析式及m的值； （3）P是线段AB上的一点，连接 PC，PD，若PCA和PDB面 积相等，求点P坐标,解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，-4x-1， 当-4x-1时，一次函数的值大于反比例函数的值； （2）设一次函数的解析式为y=kx+b,4. （2013广东，23，9分） 已知二次函数y=x22mx+m21 （1）当二次函数的图象经过坐标 原点O（0，0）时， 求

5、二次函数的解析式； （2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C， 顶点为D，求C、D两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由,解析：解：（1）二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）， 代入二次函数y=x22mx+m21，得出：m21=0， 解得：m=1， 二次函数的解析式为：y=x22x或y=x2+2x； （2）m=2，二次函数y=x22mx+m21得：y=x24x+3=（x2）21， 抛物线的顶点为：D（2，1），当x=0时，y=3， C点坐标为（0，3,3）当P、C、D共线时PC+PD最短， 过

6、点D作DEy轴于点E， PODE， 解得：PO= ， PC+PD最短时， P点的坐标为P（ ，0,5. （2012广东，23，9分）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE， 求CDE面积的最大值；此时，求 出以点E为圆心，与BC相切的圆的 面积（结果保留,考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】（1）已知抛物线的解析式，当

7、x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，进而确定AB、OC的长（2）直线lBC，可得出AED、ABC相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题干条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围（3）首先用m列出AEC的面积表达式，AEC、AED的面积差即为CDE的面积，由此可得关于SCDE、m的函数关系式，根据函数的性质可得到SCDE的最大面积以及此时m的值；过E做BC的垂线EM，这个垂线段的长即为与BC相切的E的半径，可根据相似三角形BEF、BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解,解答】解：（1）已知：抛物线 ；当x=0时，y=-9，

8、则C（0，-9）；当y=0时， =0，解得x1=-3，x2=6， 则A（-3，0）、B（6，0）；AB=9，OC=9（2）EDBC，AEDABC， ， 即 （0m9,3) SAEC= AEOC= m9= m，SCDE=SAEC-SADE= 0m9，当m= 时，SCDE取得最大值，最大值为 此时，BE=AB-AE=9- = SEBC= 如图2，记E与BC相切于点M，连接EM，则EMBC，设E的半径为r在RtBOC中，BC= SEBC= BCEM， 所求E的面积为,6. （2011广东，22，9分）如图，抛物线y= x2+ x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，

9、垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与 点O，点C重合的情况），连接CM，BN， 当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？ 问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否 菱形？请说明理由,考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；（2）由s=MN=NP-MP，即可得

10、s= 化简即可求得答案；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程： ，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可,解答】解：（1）当x=0时，y=1，A（0，1），当x=3时，y= ，B（3，2.5），设直线AB的解析式为y=kx+b， 直线AB的解析式为y= x+1；（2）根据题意得： s=MN=NP-MP,3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时， 有 ，解得t1=1，t2=2，当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形当t=1时，MP= ，NP=4，故MN=NP-MP= ，又在RtMPC中，MC= ，故MN=MC，此时四边形BC

11、MN为菱形，当t=2时，MP=2，NP= ，故MN=NP-MP= ，又在RtMPC中，MC= ，故MNMC，此时四边形BCMN不是菱形 【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用,1（2016东莞模拟）如图，反比例函数 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，2，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D （1）求一次函数的解析式； （2）对于反比例函数 ， 当y1时，写出x的取值范围； （3）在第三象限的反比例图象上 是否存在一个点

12、P，使得SODP=2SOCA？若存在，请求出来P的坐标；若不存在，请说明理由,分析】（1）由点A、B的横坐标分别为1，2，求得A（1，2），B（2，1），由于点A、B在一次函数y=kx+b的图象上，列方程组即可得到结论； （2）根据图象即可得到结论； （3）存在，根据一次函数的解析式得到D（1，0），C（0，1），设P（m，n），根据SODP=2SOCA，列方程即可得到结论 【解答】解：（1）点A、B的横坐标分别为1，2，y=2，或y=1，A（1，2），B（2，1）.点A、B在一次函数y=kx+b的图象上,， 一次函数的解析式为：y=x+1. （2）当y1时，写出x的取值范围是2x0. （3）

13、存在，理由如下： 对于y=x+1，当y=0时，x=1，当x=0时，y=1， D（1，0），C（0，1）， 设P（m，n），SODP=2SOCA， 点P在反比例图象上， m=1，P（1，2,2（2016黄冈）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y= 的图象上一点，直线y= 与反比例函数y= 的图象在第四象限的交点为点B （1）求直线AB的解析式； （2）动点P（x，0）在x轴 的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB之差达到最大时， 求点P的坐标,分析】（1）先把A（1，a）代入反比例函数解析式求出a得到A点坐标，再解方程组 得B点坐标，然后利用待定系数法求 AB的解析式； （2）直线AB交x轴于

14、点Q，如图，利用x轴上点的坐标特征得到Q点坐标，则PAPBAB（当P、A、B共线时取等号），于是可判断当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，从而得到P点坐标,解答】解：（1）把A（1，a）代入y= 得a=3，则A（1，3）， 解方程组 得 或， 则B（3，1）， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把A（1，3），B（3，1）代入得，解得， 所以直线AB的解析式为y=x4,2）直线AB交x轴于点Q，如图， 当y=0时，x4=0，解得x=4，则Q（4，0）， 因为PAPBAB（当P、A、B共线时取等号）， 所以当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，此时P点坐标为（4，

15、0,3（2016金华）如图，直线 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y= （k0）图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线 交该反比例函数图象于点E （1）求点A的坐标 （2）若AE=AC， 求k的值；试判断点E与 点D是否关于原点O成中心对 称？并说明理由,分析】（1）令一次函数中y=0，解关于x的一元一次方程，即可得出结论； （2）过点C作CFx轴于点F，设AE=AC=t，由此表示出点E的坐标，利用特殊角的三角形函数值，通过计算可得出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论； 根据点在直线上设出点D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特

16、征可得出关于点D横坐标的一元二次方程，解方程即可得出点D的坐标，结合中点E的坐标即可得出结论,解答】解：（1）当y=0时，得0= x ，解得x=3， 点A的坐标为（3，0） （2）过点C作CFx轴于点F，如图所示 设AE=AC=t， 点E的坐标是（3，t）， 在RtAOB中， tanOAB= = ， OAB=30 CF=t，AF=ACcos30 = t,点C的坐标是（3+ t， t）， （3+ t） t=3t， 解得：t1=0（舍去），t2=2 ，k=3t=6 点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下： 设点D的坐标是（x， x ）， x（x ）=6 ，解得：x1=6，x2=3， 点D的坐标是

17、（3，2 ） 又点E的坐标为（3，2 ）， 点E与点D关于原点O成中心对称,4（2016安顺）如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在 抛物线上是否存在一点N，使 以A，C，M，N四点构成的四 边形为平行四边形？若存在， 求点N的坐标；若不存在， 请说明理由,分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），再把A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点代入求出a、b、c的值即可； （2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），

18、连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可； （3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论,解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0）， A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点在抛物线上,5（2016德州）已知m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图 （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断BCD的形状,3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，PMQ的