高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 31 数系的扩充和复数的概念 312 复数的几何意义

1、第三章,数系的扩充与复数的引入,3.1,数系的扩充和复数的,概念,3,1.2,复数的几何意义,学习目标,1,了解复平面,实轴,虚轴等基本概念,理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用,重点,2,理解,复数的模的概念并会求复数的模,了解复数的模与实数绝,对值之间的区别和联系,重点、难点,1,复平面,建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x,轴,叫做,实轴,y,轴叫做,虚轴,实轴上的点都表示实数，除了,原点,外，虚轴上的点都表示纯虚数,温馨提示,注意表示纯虚数的点都在虚轴上,虚轴上,的点除了原点才表示纯虚数,2,复数的几何意义,1,复数,z,a,b,i,a,b,R,复平面内的点,Z,a,b,2,

2、复数,z,a,b,i,a,b,R,平面向量,OZ,O,为,坐标原点,3,复数的模,1,定义：复数,z,a,b,i,a,b,R,对应的,_,的模叫复数,z,的模，记为,z,2,公式,z,a,b,i,r,a,2,b,2,r,0,且,r,R,向量,OZ,1,思考判断,正确的打“”，错误的打“,1,在复平面内，虚轴上的点对应的复数都是纯虚,数,2,复数的模一定是正实数,3,若,z,1,z,2,则,z,1,z,2,4,若,OZ,0,3,则向量,OZ,对应的复数,z,3i.,解析,1,错，虚轴上的点除原点外对应的复数是纯,虚数,2,错，复数的模是正实数或零,3,错，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等,

3、4,正确，由复数的几何意义，知,z,3i,正确,答案,1,2,3,4,2,已知复数,z,的实部为,1,虚部为,2,则,z,A,5,B,2,C,5,D,2,解析,z,1,2i,1,2,2,2,5,答案,A,3,2016,全国卷,已知,z,m,3,m,1)i,在复平,面内对应的点在第四象限,则实数,m,的取值范围是,A,3,1,B,1,3,C,1,D,3,解析,复数,z,所对应的点为,Z,m,3,m,1,又点,Z,在第四象限,所以,m,30,m,10,解之得,3,m,1,答案,A,4,设,z,a,b,i,a,b,R,和复平面内的点,Z,a,b,对,应，当,b,_,时，点,Z,位于实轴上,解析,当,

4、b,0,时，复数,z,a,b,i,a,是实数,所以复数对应的点,Z,在实轴上,答案,0,5,若复数,z,m,2,9,m,2,2,m,3)i,是纯虚数，其,中,m,R,则,z,_,解析,因为,z,是纯虚数，所以,m,2,9,0,且,m,2,2,m,3,0,得,m,3,所以,z,12i,所以,z,12,答案,12,类型,1,复数与复平面内的点的关系,自主研析,典例,1)(2017,全国卷,复平面内表示复数,z,i,s,2,i,的点位于,A,第一象限,B,第二象限,C,第三象限,D,第四象限,2,在复平面内，若复数,z,m,2,m,2,m,2,3,m,2)i,m,R,的对应点分别满足如下条件，求复数

5、,z,在虚轴上,在实轴负半轴上,1,解析,z,i,2,i,1,2i,所以,z,对应点的坐标是,1,2,在第三象限,答案,C,2,解,若复数,z,对应点在虚轴上,则,m,2,m,2,0,所以,m,1,或,m,2,此时,z,6i,或,z,0,若复数,z,对应点在实轴负半轴上,则,m,2,m,20,m,2,3,m,2,0,解得,m,1,所以,z,2,归纳升华,1,复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对,应关系，每一个复数,z,a,b,i,a,b,R,都对应着一个有序,实数对,a,b,这是求解该类问题的依据,2,在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就,可根据点的位置建立实部和虚部应满足的条件，

6、解方程,不等式,组判定实部和虚部的取值,变式训练,实数,x,分别取什么值时，复数,z,x,2,x,6,x,2,2,x,15)i,对应的点,Z,在,1,第三象限,2,直线,x,y,3,0,上,解,易知点,Z,x,2,x,6,x,2,2,x,15,1,当点,Z,在第三象限，则,x,2,x,60,x,2,2,x,150,解之得,3,x,2,所以当,3,x,2,时，点,Z,在第三象限,2,若点,Z,在直线,x,y,3,0,上,则,x,2,x,6,x,2,2,x,15,3,0,所以,x,2,故当,x,2,时，点,z,在直线,x,y,3,0,上,类型,2,复数与复平面内的向量的关系,典例,1,已知平面直角

7、坐标系中,O,是原点，向,量,OA,OB,对应的复数分别为,2,3i,3,2i,那么向量,BA,对应的复数是,A,5,5i,B,5,5i,C,5,5i,D,5,5i,2,在复平面内，把复数,3,3i,对应的向量按顺时针,方向旋转,3,所得向量对应的复数是,_,解析,1,向量,OA,OB,对应的复数分别记作,z,1,2,3i,z,2,3,2i,根据复数与复平面内的点一一对应，可,得向量,OA,2,3,OB,3,2,由向量减法的坐,标运算可得向量,BA,OA,OB,2,3,3,2,5,5,根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量,BA,对,应的复数是,5,5i,2)3,3i,对应向量为,3,3,与

8、,x,轴正半轴夹角,为,30,顺时针旋转,60,后所得向量终点在,y,轴负半轴上,且模为,2,3,故所得向量对应的复数是,2,3i,答案,1)B,2,2,3i,归纳升华,1,以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对,应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移,前后起点、终点对应的复数要改变,2,解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以,复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数,复平面,内的点、向量之间的转化,变式训练,在复平面内,O,是原点,向量,OA,对应的,复数为,2,i,1,如果点,A,关于实轴的对称点为点,B,求向量,OB,对,应的复数,2,如果,1,中的点,B,关于虚轴

9、的对称点为点,C,求点,C,对应的复数,解,因为,OA,对应的复数为,2,i,所以点,A,的坐标为,2,1,1,由于点,A,和点,B,关于实轴对称,所以点,B,的坐标为,2,1,因此,OB,对应的复数,z,B,2,i,2,因为点,B,2,1,与点,C,关于虚轴对称,所以点,C,的坐标为,2,1,故,OC,对应的复数,z,c,2,i,类型,3,复数的模及其几何意义,互动探究,典例,3,在复平面内画出复数,z,1,1,2,3,2,i,z,2,1,z,3,1,2,3,2,i,对应的向量,OZ,1,OZ,2,OZ,3,并求出各复数的,模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系,解,根据复数与复平面

10、内的点的一一对应，可知点,Z,1,Z,2,Z,3,的坐标分别为,1,2,3,2,1,0,1,2,3,2,则向量,OZ,1,OZ,2,OZ,3,如图所示,z,1,1,2,2,3,2,2,1,z,2,1,1,z,3,1,2,2,3,2,2,1,如图，在复平面,xOy,内，点,Z,1,Z,3,关于实轴对称,又,z,1,z,2,z,3,1,所以复数,z,1,z,2,z,3,对应点,Z,1,Z,2,Z,3,在以原点,O,为,圆心，以,1,为半径的圆上,迁移探究,1,变式条件，变换问法,已知复数,z,3,a,i,且,z,4,求实数,a,的取值范围,解,因为,z,3,a,i,a,R,且,z,4,所以,z,3

11、,2,a,2,4,由已知得,3,2,a,2,4,2,所以,a,2,7,因此实数,a,的取,值范围是,7,7,迁移探究,2,改变条件，变换问法,已知复数,z,1,3,i,z,2,1,2,3,2,i,1,求,z,1,与,z,2,的值，并比较它们的大小,2,设复平面内，复数,z,满足,z,2,z,z,1,复数,z,对,应的点,Z,的集合是什么,解,1),z,1,3,2,1,2,2,z,2,1,2,2,3,2,2,1,因为,21,所以,z,1,z,2,2,由,1,知,z,2,z,z,1,则,1,z,2,所以满足,1,z,2,的点,Z,的集合是以原点,O,为圆心,以,1,与,2,为半径的两圆所夹的圆环,

12、包括边界,如图所示,归纳升华,求解复数的模及其几何意义应注意的问题,1,计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小,2,解决复数模的几何意义问题,需把握两个关键点,一是,z,表示点,Z,到原点的距离,可依据,z,满足的条件判断,点,Z,的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模,的问题转化为几何问题，体现了数形结合的思想方法,1,复数的两种几何意义,1,复数与复平面上的点：复数,z,a,b,i,a,b,R,的,对应点的坐标为,a,b,而不是,a,b,i,2,复数与向量的对应：复数,z,a,b,i,a,b,R,的对,应向量,OZ,是以原点,O,为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与,OZ,相等的向量有无数个,由复数的几何意义架起了复数与解析几何之间的