201x-201x学年高考数学第四章圆与方程4.3.1-4.3.2空间直角坐标系空间两点间的距离公式新人教A版必修2

1、第四章4.3空间直角坐标系,4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式,学习目标,1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.掌握空间两点间的距离公式,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴： ，这样就建立了一个 . 相关概念： 叫做坐标原点， 叫做坐标轴.通过_ 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面,答案,zOx,x轴、y轴、z轴,空间直角坐标系Oxyz

2、,x轴、y轴、z轴,点O,每两,个坐标轴,xOy,yOz,2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 2.空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用 来表示，_ 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 .其中 叫做点M的横坐标， 叫做点M的纵坐标， 叫做点M的竖坐标,答案,z,x轴,y轴,z轴,有序实数组(x，y，z,有序实数组,x，y，z,M(x，y，z,x,y,知识点二空间两点间的距离 1.空间两点间的距离公式 (1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP| . (2)在空间中，

3、P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离 |P1P2| . 2.空间中的中点坐标公式 在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点 坐标是,答案,返回,题型探究 重点突破,题型一求空间中点的坐标 例1如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标,解析答案,反思与感悟,解如图，过点M作MM1BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1. 由|BM|2|MC1,因为M1MDD1,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,建立空间直角坐标系的技巧 (1

4、)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1如图所示，在单位正方体OABCO1A1B1C1中，M是B1B的中点，N是CC1的中点，AP2PA1，Q是OA反向延长线上的一点，且OA2OQ，求点B，C，A1，O1，B1，C1，M，N，P，Q的坐标,解析答案,解由于点B在xOy平面内，竖坐标为0， B点坐标为(1，1，0). C点在y轴上且OC1，

5、横坐标、竖坐标均为0， C点坐标为(0，1，0)， A1点在xOz平面内，纵坐标为0， A1点的坐标为(1，0，1)， O1点在z轴上，且OO11， O1点的坐标为(0，0，1). B1点所在平面A1B1C1O1与xOy平面平行，竖坐标为1， B1点的坐标为(1，1，1,C1点在yOz平面内，横坐标为0，纵坐标为1， C1点的坐标为(0，1，1,N点为CC1的中点,解析答案,题型二求空间中对称点的坐标 例2在空间直角坐标系中，点P(2，1，4). (1)求点P关于x轴的对称点的坐标,解由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点为P1(2，1，4

6、,2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标,解由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点为P2(2，1，4,解析答案,3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标,反思与感悟,解设对称点为P3(x，y，z)， 则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6， y2(1)13，z2(4)412， 所以P3(6，3，12,反思与感悟,任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(x，y，z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，y，z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(x，y，z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(x，y，z

7、)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，z)；关于yOz平面对称的点是P6(x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，y，z). 求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆,解析答案,跟踪训练2求点A(1，2，1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标,解如图所示，过点A作AM坐标平面xOy交平面 于点M，并延长到点C，使AMCM，则点A与点C 关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1). 过点A作ANx轴于点N并延长到点B，使ANNB， 则点A与B关于x轴对称且点B(1，2，1). 点A(1，2，1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1，2，1)； 点A

8、(1，2，1)关于x轴对称的点为B(1，2，1). (本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出,解析答案,题型三空间中两点之间的距离 例3已知ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5). (1)求ABC中最短边的边长,解由空间两点间距离公式得,解析答案,2)求AC边上中线的长度,反思与感悟,反思与感悟解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键,解析答案,跟踪训练3在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为面A1B1C1D1的中心，求证：APB1P,由空间两点间的距离公式，得,证明建立如图所示的空间直角坐标

9、系Dxyz,所以|AP|2|B1P|2|AB1|2，所以APB1P,转化思想,数学思想,解析答案,解后反思,分析因为平面ABCD平面ABEF，且交线为AB，BEAB，所以BE平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直.因此可以通过建立空间直角坐标系，先利用空间两点间的距离公式把|MN|表示为参数a的函数，再利用函数求最值,解析答案,解后反思,解取B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为|BC|1，|CM|a，点M在坐标平面xBz内，且在正方形ABCD的对角线上,因为点N在坐标平面xBy内，且在正方形ABEF的对角线上，|BN|a,解后反

10、思,1)由空间两点间的距离公式，得,解后反思,由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此可建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题求解.利用空间两点间的距离公式求得MN的长度，并利用二次函数求MN长度的最小值,解析答案,解后反思,例5已知在三棱柱ABCA1B1C1中，所有的棱长都是1，且侧棱AA1底面ABC，建立适当的坐标系，并写出各顶点的坐标,返回,建系选取位置错误,易错点,分析由于所有棱长都是1，则ABC是等边三角形，而AA1垂直于底面，因此可选取适当位置建系. 解如图，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BOAC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

11、因为三棱柱各棱长均为1,解析答案,解后反思,因为点A，B，C均在坐标轴上,解后反思,又因为点B1在xOy平面内的射影为点B，且|BB1|1,又因为点A1，C1，在yOz平面内,解后反思,在此题中易出现以点A作为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立坐标系，由于BAC90，故这种建系的方法是错误的.建系时应该选取从一点出发的三条两两垂直的直线作为坐标轴,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.点P(2，0，3)位于() A.y轴上 B.z轴上 C.xOz平面内 D.yOz平面内,解析因为点P在y轴上的坐标为0，所以点P位于xOz平面内,C,解析答案,1,2,3,4,5,解析因为点P在x轴上， 所以设点P的坐标为(x，0，0). 由题意，知|PP1|2|PP2,1,2,3,4,5,解得x1. 所以所求点为(1，0，0)或(1，0，0). 答案D,1,2,3,4,5,解析答案,3.已知A(1，2，7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为() A.(1，2，7) B.(1，2，7) C.(1，2，7) D.(1，2，7,A,解析点A关于x轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数，故选A,解析答案,1,2,3,4,5,D,解得x2或x6,解析答案,5.已知A(3，2，4)，B(5，2，2)，则线段AB中点的坐标为_,解析设中点坐标为(x0，y0，z0,中点坐