函数与导数专题复习(教师版)精编

1、 函数与导数专题复习 编写：杨志明【知识网络】集合映射概念元素、集合之间的关系运算：交、并、补数轴、Venn图、函数图象性质确定性、互异性、无序性定义表示解析法列表法三要素图象法定义域对应关系值域性质奇偶性周期性对称性单调性定义域关于原点对称，在x0处有定义的奇函数f (0)01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、打钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数.幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应

2、用建立函数模型使解析式有意义导数函数基本初等函数的导数导数的概念导数的运算法则导数的应用表示方法换元法求解析式分段函数几何意义、物理意义单调性导数的正负与单调性的关系生活中的优化问题定积分与微积分定积分与图形的计算注意应用函数的单调性求值域周期为T的奇函数f (T)f ()f (0)0复合函数的单调性：同增异减三次函数的性质、图象与应用一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换最值极值【命题趋势】函数与导数既是高中数学最重要的基础知识，又是高中数学的主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中占有举足轻重的地位，其考查的内容和形式也是丰富多彩的

3、对于函数，高中数学各章节的知识都渗透有函数的思想与方法，函数的影子几乎闪现于每个问题之中对于函数内容的备考，首先要掌握基本概念和基本运算，牢记基本函数的图象与性质，重视函数与方程，数形结合，转化与化归，分类讨论等数学思想与方法在解题中的应用导数属于新增加的内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为函数的考查提供了广阔天地，处于一种特殊的地位主要考查点有与导数有关的概念、计算和应用，利用导数的工具性研究函数的有关性质，把导数应用于函数的单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与

4、方法，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处第1课时 客观题中的函数常见题型函数考查的方式是灵活多变的，既有以选择题、填空题形式出现的中低档试题，也有以解答题形式出现的中高档试题，更有以综合了函数、导数、不等式、数列而出现的压轴题在试卷中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，以解答题的形式考查函数的综合应用【考点扫描】参看导与练P64考纲导航【辅教导学】导与练P64-67精典例题有考题定位中的3、5，考向聚焦中的例1、例3.【典例分析】题型一、函数的解析式例1（2010年高考陕西卷理科5）已知函数，若=4，则实数=（ ）（A） （B） (C) 2 (D) 9【答案】

5、C【解析】，.于是，由得.故选.题型二、函数的定义域与值域例2（2010年高考广东卷理科9）函数=lg(-2)的定义域是 .【答案】(1,+)。【解析】，例3（2008年江西卷）若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A，3 B2， C， D3， 解：.令，则，题型三、函数的性质（奇偶性、单调性与周期性）例4（2010年高考山东卷理科4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3【答案】D【解析】因为为定义在R上的奇函数,所以有,解得,所以当时, ,即,故选D.【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函

6、数的基础知识是解答好本题的关键.例5（2010年高考江西卷理科9）给出下列三个命题：函数与是同一函数；若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；若奇函数对定义域内任意都有,则为周期函数其中真命题是ABCD【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，错误；排除A、B，验证, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C题型四、函数图像的应用例6（2010年高考山东卷理科11）函数y=2x -的图像大致是【答案】A【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A【命题意图】本题考查

7、函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力题型五、函数的最值与参数的取值范围例7（2010年高考江苏卷试题14）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_【答案】解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是（方法二）利用函数的方法求最小值令，则：故当时，S的最小值是例8（ 2010年高考全国卷I理科10）已知函数F(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是（ ）(A) (B

8、) (C) (D)答.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+2b=又0ab,所以0a1f(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+).题型六、函数方程与函数不等式例9. (2010年高考重庆市理科15)已知函数满足：，则_【答案】解析：取x=1 y=0得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+

9、1)=f(n+2)+f(n)， 联立得f(n+2)= f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= .例10（2010年高考江苏卷试题11）已知函数,则满足不等式的x的范围是_【答案】 解析 考查分段函数的单调性。题型七、函数的零点例11（2010年高考福建卷理科4）函数的零点个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想题型八、函数的应用例12（2010年高考陕西卷理科10）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时

10、再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x（x表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）(A) y= (B) y= (C) y= (D) y=【答案】B.【解析】（方法一）当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时.当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时.故综上知，必有.故选.（方法二）依题意知：若，则，由此检验知选项错误；若，则，由此检验知选项错误.故由排除法知，本题应选.【跟踪训练】【跟踪训练1】(2010佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是 ()Ayx1与y By与yCy4lg x与y2lg x2 Dylg x2与ylg 解析：yx1与y

11、|x1|的对应法则不同，故不是同一函数；y (x1)与y (x1)的定义域不同，它们不是同一函数；又y4lg x (x0)与y2lg x2(x0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而ylg x2(x0)与ylg lg x2 (x0)有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数答案D【跟踪训练2】(2009年江西卷)函数的定义域为（ ）ABCD解.由.故选C【跟踪训练3】（2007年浙江卷）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）ABCD 解：令, 注意到为二次函数，的值域是连续的单个区间，结合图象可知要使 的值域为，只能取，故选 C【跟踪训练4】（2010年高考广东卷理科3）若函数f

12、（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（ ）Af（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数Cf（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数【答案】B【解析】【跟踪训练5】（2009年山东卷）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.【跟踪训练6】（2010年高考安徽卷理科6）设，二次函数的图象

13、可能是答.D【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.【跟踪训练7】（2008年浙江卷）已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则t=_解：结合图形，可知函数，的最大可能在或时取到，若时取到的最大值2，则有，解得，此时，函数的解析式为，符合题意，若时取到的最大值2，则有，也得【跟踪训练8】(2010年高考天津卷理科8)设函数f（x）= 若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是 （ ）（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【答案】C【解析】当时，由f(a)f(-a)得：，即，即，解得；当时

14、，由f(a)f(-a)得：，即，即，解得，故选C【命题意图】本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识，考查同学们分类讨论的数学思想【跟踪训练9】(2008陕西)定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x，yR)，f(1)2，则f(3)等于()A2 B3 C6 D9解析：f(1)f(01)f(0)f(1)201f(0)f(1)，f(0)0.f(0)f(11)f(1)f(1)2(1)1f(1)f(1)2，f(1)0.f(1)f(21)f(2)f(1)2(2)1f(2)f(1)4，f(2)2.f(2)f(31)f(3)f(1)2(3)1f(3)f(1)6，f(

15、3)6.答案：C【跟踪训练10】（2009年辽宁卷）已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是（ ）（A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】由已知有，即，【答案】A【跟踪训练11】(2010年高考天津卷理科2)函数的零点所在的一个区间是（A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）【答案】B【解析】因为，所以选B【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属基础题。【跟踪训练12】（2010年高考江西卷理科12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图

16、形面积为()，则导函数的图像大致为 A BCD【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力.最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A.第2课时 客观题中的导数常见题型在近几年的高考试卷中有关导数应用的试题所占的比重都很大，且大多以解答题的形式出现导数是高考命题的一个重要载体，通过导数可以实现函数与不等式、方程、试题渗透着各种重要的数学思想方法解析几何等多个知识点的综合考查求解导数

17、应用方面的，如数形结合、分类讨论、等价转化等思想，所以导数的应用是高考的一个热点对于导数的应用，高考中主要考查以下几个方面的内容：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值或最值；利用导数研究曲线的切线；证明不等关系【考点扫描】参看导与练P67、70考纲导航【辅教导学】导与练P67-69精典例题有考题定位中的2、4，考向聚焦中的例1、例3.P70-73精典例题有考题定位中的1、2、3，考向聚焦中的例1、例3、例4.【典例分析】题型一、导数的定义与运算例1. (2009年湖北卷)已知函数则的值为 .【答案】1.【解析】因为所以故题型二、导数与切线问题例2. (2010年全国高考宁夏卷）曲线

18、在点（-1，-1）处的切线方程为（ ）（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2【答案】A解析：，所以，故切线方程为另解：将点代入可排除B、D，而，由反比例函数的图像，再根据图像平移得在点处的切线斜率为正，排除C，从而得A题型三、函数与导数的图像间的关系例3(2009年广东卷)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A在时刻，甲车在乙车前面 B时刻后，甲车在乙车后面C在时刻，两车的位置相同D时刻后，乙车在甲车前面【解析】由图像可知，曲线比在0、0与轴所围成

19、图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m题型四、函数的单调性例4. (2009年江苏卷)函数的单调减区间为 .【答案】【解析】，由得单调减区间为题型五、函数的极值与最值例5（2008年广东卷）设aR，若函数，xR有大于零的极值点，则（ ）A. B. C. D. 答选B. ,.当时,则,即.此时无解.当时, ,此时函数无极值点.当时,则,即,解得.综上可知, .题型六、求参数的取值范围例6（2008年江苏卷）对于总有0 成立，则= 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若x0，则不论取何值，0显然成立；当x0 即时，0可化为，设，则， 所以 在区间

20、上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而4；当x0 即时，0可化为， 在区间上单调递增，因此，从而4，综上4.【答案】4.题型七、定积分的计算例7. (2010年高考湖南卷理科5)等于（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，所以【命题意图】来本题为选修2-2P53例1第一小题改编而来,原题：计算定积分：.来【跟踪训练】【跟踪训练1】是的导函数，则的值是 . 解析：，所以. 答案：3. 【跟踪训练2】(1)设函数在处可导，且，则= .(2)已知，求= .解(1)由已知条件和导数的定义，可得： ，当时，.(2)解法一：解法二：令，则从而由导数乘法的计算公式得，所以.【跟踪训练3】(2010年高

21、考全国2卷理数10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则来（A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.【解析】，切线方程是，令，令，三角形的面积是，解得.【跟踪训练4】（2010年高考辽宁卷理科10）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是（ ） (A)0,) (B) (D) 【解析】因为，即tan a-1,所以。【跟踪训练5】（2008年全国卷I）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作

22、时间的函数，其图像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD解A根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶，结合函数图象可知.【跟踪训练6】(2009年天津卷)设函数则A在区间内均有零点 B在区间内均无零点C在区间内有零点，在区间内无零点D在区间内无零点，在区间内有零点w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D【跟踪训练7】已知P(x，y)是函数yexx图象上的点，则点P到直线2xy30的最小距离为_解：.设P(x，exx),则点P到直线的距离为.记，则，易知当时，达最小值.故当时，达到最小值.【跟踪训

23、练8】函数的极小值是 .解：的定义域为R. f(x).令y=0，解得x=1或x=1.当x变化时，y、y的变化情况如下：x(, 1)1(1, 1)1(1,+)y0+0y极小值3极大值1当x=1时，y有极小值3，当x=1时，y有极大值1.【跟踪训练9】（2008年湖北卷）若上是减函数，则b的取值范围是 （ ）A.-1，+） B.（-1，+） C.（-，-1 D.（-，-1） 解：，而，则，故，即恒成立，而当时，故【跟踪训练10】（2008年山东卷）设函数f(x)=ax2+c(a0).若，0x01,则x0的值为 .解：， 【跟踪训练11】（2008年宁夏卷）由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面

24、积为（ ）（A） （B） （C） （D）2ln2解： 第3课时 解答题中的函数与导数综合题（1）导数是新教材的新增内容它是学习高等数学的基础作为解决数学问题的一种工具在近年的高考中己占有突出的地位，是高考和各地摸拟考试的热点.2006年全国各地高考试卷中均有与导数有关的综合问题从不同的角度对导数知识灵活考查了综合利用所学知识解决数学问题的能力；导数与不等式、方程、解析几何、数列、函数等其他知识的交汇进行命题考查应用数学知识解决综合问题的能力已成为近年来高考的一大亮点一直是高考命题的热点与焦点.因此在复习时要增强运用导数知识解决数学问题的意识.【考点扫描】参看导与练P67、70考纲导航【辅教导学

25、】导与练P67-69精典例题有考题定位中的1、2、3，考向聚焦中的例1、例3、例4.P77-80精典例题有考题定位中的1、2、3、4，考向聚焦中的例2、例3、例4.【典例分析】一、与导数的定义、几何意义的交汇【例1】 ( 2006年重庆卷)已知函数f(x)=(x2+bx+c) ex,其中b,cR为常数.（）若b24(c -1),讨论函数f(x)的单调性；（）若b24(c-1),且=4,试证：6b2.解：（）求导得f2(x)=x2+(b+2)x+b+cex.因b24(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；x1=x2=令f（x）0，解得xx1或xx1；又令f（x）0

26、，解得x1xx2.故当x（-, x1）时，f(x)是增函数，当 x（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当x（x1 ， x2）时，f(x)是减函数.（）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此.所以，由已知条件得 b+e=4 b24(e-1),因此b2+4b-120.解得-6b2.【点评】 本题（2）以导数定义为背景通过定义建立b、c间的等量关系，借助已知条件得出结论二、与不等式的交汇【例2】(2009年全国卷II)设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解: （I） 令，其对称轴为由题意知是方程的两个均大于的不相等的实

27、根，其充要条件为，得当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则当时，在单调递增；当时，在单调递减故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【点评】构造辅助函数是证明不等式的常用方法. 三、与向量的交汇【例3】 (2005年湖北卷理)已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t) .若函数=ab在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围.解法一：依定义.则，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0。0在（-1，1）上恒成立.考虑函数，由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使在（-1，1）上恒成立，即t5.而当t5时，在（-1，1）上满

28、足0，即在（-1，1）上是增函数.故t的取值范围是t5.解法二：依定义，.若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0.的图象是开口向下的抛物线，当且仅当，且时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数.故t的取值范围是t5.【点评】本题考查了平面向量的数量积、导数的运算、函数和不等式有关知识，同时又运用了转化化归思想，逻辑性强，是一道典型的融向量、导数、函数和不等式为一体的综合性题目，符合高考在知识交汇处设计试题的原则.四、与函数的交汇【例4】（2011年东城7校联考）已知函数（）当时，求函数的单调区间；（）求函数在区间上的最小值（）解：当时, ,由得, 解得或注意到,所以

29、函数的单调递增区间是由得,解得,注意到,所以函数的单调递减区间是（1,3） 当时，由得,解得，注意到,所以函数的单调递增区间是（-1,1）由得,解得或，由,所以函数的单调递减区间是综上所述，函数的单调递增区间是（-1,1），；单调递减区间是，（1,3） （）当时, ，所以 设.当时，有, 此时,所以,在上单调递增所以 当时, 令,即,解得或 (舍);令,即,解得若,即时, 在区间单调递减，所以若,即时, 在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以若,即时, 在区间单调递增，所以综上所述,当或时, ; 当时, ;当时, 五、与数列的交汇【例5】（山东省青岛市2009届高三第一学期期中练习）已知函数

30、，将满足的所有正数从小到大排成数列，记（1）证明数列为等比数列;（2）设,求;（3）若,试比较与的大小解（1）令, ,且是以为首项,为公比的等比数列 （2） ,是以为首项,为公差等差数列（3），【点评】本题以函数为载体综合考查数列、导数、数列等知识，具有较强的综合性六、与三角的交汇【例6】 已知，若函数在区间上单调递增，且恰能取到的最小值2.(1)求、的值；(2)求的对称轴方程解：（1）在处有最小值2，则，即又，即，又，即，（2）由（1）得：令，可得其对称轴方程为【点评】利用导数求三角函数最值问题，常求三角函数的导数，令得出极（最）值点，进而求出极（最）值；或已知三角函数最值求所含参数的取值范

31、围或最值【跟踪训练】【跟踪训练1】（江苏省泰州中学2011届高三上学期期中考试）函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11). (1)求a、b的值； (2)方程f(x)=c有三个不同的实数解，求c的取值范围.解：(1)f(x)=x3-3ax2+3bx，f(x)=3x2-6ax+3b，f(1)=3-6a+3b=-12，f(1)=1-3a+3b=-11，a=1，b=-3. (2)f(x)=x3-3x2-9x，f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，当x(-,-1)，f(x)0； x(-1,3)，f(x)0. f(x)在x= -1取极大值5，在

32、x=3时取极小值-27. 根据三次函数f(x)的图象得f(x)=c有三个不同的实数解时，c的取值范围是(-27,5).【跟踪训练2】(2010年高考湖南卷)已知函数对任意的（）证明：当（）若对满足题设条件的任意b,c，不等式恒成立，求M的最小值【 解析 】 ( I ）易知 ，由题设，对任意， 即恒成立，所以，从而于是，且，因此故当时，有，即 ( II)由（I）易知，当,有令则,而函数的值域是因此，当时，的取值集合为当时，由（I）易知，此时或0，从而综上所述，M得最小值为【跟踪训练3】已知向量、及实数x、y，且|=|=1，=+(x23)，=y+x，若，且|.（1）求y关于x的函数关系y=f(x)

33、及定义域；（2）求函数f(x)的单调区间.【分析】利用向量垂直的充要条件建立函数关系式,再用导数来处理.【解析】： (1),=0, +(x23) （y+x）=0，y（）2+ x (x23)（）2+ y (x23) +x =0，y+ x (x23) =0，. (2) ,.令,得.当时, ;当时, .增区间,; 减区间. 【点评】：本题主要考查了向量的有关概念和向量的垂直,函数的单调区间,导数的应用,以及分析问题和解决问题的能力.这类问题主要利用“若向量，则”来建立函数关系式【跟踪训练4】（2011.12清华附中第二次月考）已知函数的图象在上连续不断，定义：，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在

34、上的最大值若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”（1）已知函数，试写出，的表达式，并判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，请求对应的的值；如果不是，请说明理由；（2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.解：（1）由题意可得，于是若是为上的“阶收缩函数”，则在上恒成立，且成立.令,，则，所以在单调递减，,，即，于是在恒成立;又成立故存在最小的正整数，使是为上的“阶收缩函数” （2）,令得或.函数,的变化情况如下：x(-,0)0(0,2)2(2,+)y-0+0-y减极小增极大减）时，在上单调递增，因此，.因为是上的2阶收缩函数，所以，对恒成立；存在，使得成立.即：

35、对恒成立，由，解得：或，要使对恒成立，需且只需.即：存在，使得成立.由得：或，所以，需且只需.综合可得：.）当时，显然有，由于在上单调递增，根据定义可得：，可得 ，此时，不成立. 综合）可得：. 注：在）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已.【跟踪训练5】（2011年东城区期末理18）已知函数（）求函数在上的最小值；（）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式成立，求实数的取值范围解：（）由，可得， 当时，单调递减；当时，单调递增所以函数在上单调递增又，所以函数在上的最小值为 （）由题意知，则若存在使不等式成立，只需小于或等于的最大值设，则当时，单调递减；当时，

36、单调递增由，可得所以，当时，的最大值为故 【跟踪训练6】（2008年江苏卷）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短【分析】求可用解直角三角形的知识来处理,而求三角

37、函数的最小值可借助导数来处理.【解析】：（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP，所以， 所求函数关系式为若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为（）选择函数模型，令0 得sin ，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，.这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处.【点评】：本小题主要考查解三角形和三角函数最值的应用,以及分析问题和解决问题的能力第4课时 解答题中的函数与导数综合题（2）七、与二项式定理和不等式的交汇【例7】 已知为正整数，（1）设，求证；（2）设，对任意，求证证明 （1），

38、（2），当时，是关于的增函数，当时，即对任意，【点评】本题是利用导数判断函数单调性及运用放缩法证明不等式的综合题，综合考查二项式定理，复合函数的求导、导数与函数单调性的综合运用和基本运算能力八、与解析几何的交汇【例8】 (2006年广东卷)设函数分别在处取得极小值极大值，平面上点A、B的坐标分别为、该平面上动点P满足=4，点Q是点P关于直线的对称点求：()点A、B的坐标；()动点Q的轨迹方程分析 题解的难点在于() 在()中，用求导的方法得出极小值点A(-1,0)，极大值点B(1,4)后，我们可以用数形结合的方法巧妙的得到Q的轨迹方程解: ()令解得当时, 当时, ,当时,所以,函数在处取得极

39、小值,在取得极大值,故,所以, 点A、B的坐标为.() 解法一 设，所以，又PQ的中点在上，所以消去得解法二 设动点P，则， 故由=4 得 即点P的轨迹方程为，即以C(0,2)为圆心，3为半径的圆C(0,2)到直线的垂足为(4,0)， (垂线：)由图象得C(0,2)的对称点为于是Q的轨迹是以为心，3为半径的圆，即【点评】本题以函数的导数与极值为载体，利用向量设计点的轨迹，借助对称建立相关点间的联系，是典型的解析几何中求轨迹的问题.九、与函数和方程的交汇【例9】（2011年东城7校联考）已知函数（）当时，求曲线处的切线方程；（）设的两个极值点，的一个零点，且证明：存在实数按照某种顺序排列后构成等

40、差数列，并求.6()解：当a=1,b=2时，因为f(x)=(x-1)(3x-5)，故，f(2)=0, 所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x - 2.（）证明：因为f（x）3（xa）（x），由于ab.故a.所以f（x）的两个极值点为xa，x.不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f（x）的零点，故x3b. 又因为a2（b），x4（a），所以a，b依次成等差数列， 所以存在实数x4满足题意，且x4.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 十、与函数、不等式的交汇【例10】 （浙江省温州市十校联合体2006学年第一学期高三期中联考）已知函数（1）若在和处取得极值，试求；（2）

41、若在上单调递增且在上单调递减，又满足；（3）在（2）的条件下，若，试比较的大小，并加以证明解、(1)，据题意知和3是方程的两根，14，3，即3，3（2）在上单调递增，0，又在上单调递减，是方程的两根，故有，从而（3）在（2）的条件下，是方程的一根，则又，即，又，故【点评】本题综合考查了运用导数研究函数性质及分析推理证明不等式的能力十一、与数列、函数、不等式的交汇【例11】 已知函数，且的图象关于原点对称，其图象在（3,6）处的切线的斜率为8.（1）求函数的解析式；（2）若数列满足，试比较与1的大小，并说明理由解：（1）的图象关于原点对称，恒成立，即，又在处的切线方程为.，而，（2）由（1）得，而在上递增，由知，于是猜想， （A）1当时，当时，（A）成立；2假设时，（A）成立，即；当时，当时，（A）成立综上可知，时，成立当于是有【点评】 本题将函数数列数学归纳法不等式证明和导数等知识融合交汇，进行探索推证，很好地考查应用知识的创新能力和应用基本数学思想方法解决数学问题的能力.【跟踪训练】【跟踪训练7】（2007年四川卷）设函数.()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明()是否存在,使得an恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由. （）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（）证法一：因证法二：因而，故只需对和