概率论与数理统计-二维随机变量函数的分布

1、概率论与数理统计,4 两个随机变量的函数的分布,第三章,二维随机变量及其概率分布,退出,知识点、考点举要,一基本概念,二常用重要函数分布的求法,退出,范例选析,思考与练习,两个随机变量之和的分布,4 两个随机变量的函数的分布,两个随机变量最大与最小取值的分布,退出,退出,返回,在离散量的分布列中, 对X , Y 所有能 使函数 Z 取同一值的全部取值概率进行 归并 ( 例如, 固定一个变量的取值, 然后 寻找另一变量与其之和为同一值的取值 概率), 所得之和即是函数 Z 在同一可取 之值上的取值概率.,1. 离散变量之和的分布列可用归并法求之,Z = XY,一、和的分布,试求 的分布列,退出,

2、返回,例1 设随机变量 ( X, Y ) 的联合分布列如下,在联合分布列中对使 Z,解 Z 所有可能的取值显然为 0，1，2, , 8 .,可取同一值的X 与Y的取值概率进行归并, 即得Y 的分布律如下,0,0.02,0.24,0.19,0.13,0.06,0.19,0.12,0.05,一、和的分布,退出,2. 连续变量之和的概率密度可用卷积公式求之,利用分布函数转化法可以证明: 将联合概率密度中的任一变量改写成 和变量与另一变量的差, 然后关于另一 变量在 ( , ) 上积分, 即得和的 概率密度:,返回,或,Z = XY,一、和的分布,退出,证 Z 的分布函数, Z 的概率密度,返回,例2

3、-1 设随机变量( X，Y )的联合概率密度为 f ( x，y ) . 证明 Z = XY 的概率密度,或,一、和的分布,退出,证, Z 的概率密度,返回,例2-1 设随机变量( X，Y )的联合概率密度为 f ( x，y ) . 证明 Z = XY 的概率密度,或,类似地, ,一、和的分布,退出,例2-2 两标准正态量 X 与Y 相互独立, 求其和,的概率密度.,解,返回,于是, 依卷积公式即得,且相互独立 , 联合概率密度,即,一、和的分布,3. 若干重要独立量的和的分布可加性,换言之, 如果相互独立的随机变量 Xi N ( i ,i2 ), i = 1, 2, , k 那么, 其任意的线

4、性组合量 Z = b 1 X1+ b 2 X2+ b k X k 也是正态量，且有,退出,返回,Z = XY,一、和的分布, 有限个相互独立的正态量的线性组合仍然,是正态量.,3. 若干重要独立量的和的分布可加性,换言之, 如果相互独立的随机变量 Xi B ( ni , p ), i = 1, 2, , k 那么, 其和变量 Z = X1 + X2 + + X k 也是二项分布量，且有,退出,返回,Z = XY,一、和的分布,是二项分布量.,因此, 服从B ( n , p )的二项分布量是 n 个相互独立的 0-1量之和., 有限个相互独立的同类二项分布量之和仍然,3. 若干重要独立量的和的分

5、布可加性,退出,返回,Z = XY,一、和的分布, 有限个相互独立的泊松量之和仍然是泊松量.,换言之, 如果相互独立的随机变量 Xi P ( i ), i = 1, 2, , k 那么, 其和变量 Z = X1 + X2 + + X k 也是泊松量，且有,退出,例2-4 两 0 ,1 上的均匀量 X 与Y 相互独立, 试求和变量,的概率密度.,解,返回,于是, 依卷积公式, 即得,且相互独立 , 概率密度,1,Z,X,O,z = x + 1,z = x,1,x = z,一、和的分布,例2-4 两 0 ,1 上的均匀量 X 与Y 相互独立, 试求和变量,的概率密度.,解,且相互独立 , 概率密度

6、,于是, 依卷积公式, 即得,1,Z,X,O,z = x + 1,1,x = z,x = 1 - z,退出,返回,一、和的分布,退出,二、最大与最小值分布,返回,M = max ( X，Y )与 N = min( X，Y ),如果随机变量 X 和Y 相互独立，分布函数依次 为FX ( x ) 和FY ( y ) ，则最大值 M = max ( X，Y ) 与最小值N = min( X，Y ) 的分布函数必依次为,即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布 函数是边缘分布函数（关于1 ）的补数之积的补数,1. 最值分布的分布函数,退出,二、最大与最小值分布,返回,M = max ( X，

7、Y )与 N = min( X，Y ),即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布 函数是边缘分布函数（关于1 ）的补数之积的补数,1. 最值分布的分布函数,【最值分布函数计算式的证明】,退出,二、最大与最小值分布,返回,M = max ( X，Y )与 N = min( X，Y ),1. 最值分布的分布函数,【最值分布函数计算式的证明】,即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布 函数是边缘分布函数（关于1 ）的补数之积的补数,退出,二、最大与最小值分布,返回,M = max ( X，Y )与 N = min( X，Y ),即最大值的分布列是联合分布列中两变量取不超过同一可取

8、 k 值的所有概率的总和,2. 离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并,【依据】,退出,二、最大与最小值分布,返回,M = max ( X，Y )与 N = min( X，Y ),即最小值的分布列是联合分布列中两变量取不小于同一可取 k 值的所有概率的总和,2. 离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并,【依据】,退出,返回,例2-1 设随机变量（X，Y )的分布律为,试求 max ( X，Y )与min ( X，Y )的分布律.,M 取其中任一,M = max ( X，Y ) 的取值范围显然为05 ,解,值 i 的概率 ( 即分布律 ) 为,0,0.04,0.16,0.28,0.24,

9、0.28,二、最大与最小值分布,退出,返回,例2-1 设随机变量（X，Y )的分布律为,试求 max ( X，Y )与min ( X，Y )的分布律.,N 取其中任一,N = min ( X，Y ) 的取值范围为03 ,同理,值 i 的概率 ( 即分布律 ) 为,0.30,0.25,0.17,0.28,二、最大与最小值分布,退出,二、最大与最小值分布,返回,M = max ( X，Y )与 N = min( X，Y ),如果随机变量 X 和Y 相互独立，分布函数依次 为FX ( x ) 和FY ( y ) ，则最大值 M = max ( X，Y ) 与最小值 N = min( X，Y ) 的分

10、布函数必依次为,即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布 函数是边缘分布函数（关于1 ）的补数之积的补数,3. 连续变量的最值概率直接由分布函数计算,退出,返回,例2-2 设随机变量Xi (i =1, 2,5)是相互独立的服从同一分布的连续随机变量，概率密度为,求 M = max ( X1，X2， X3，X4 ，X5 ) 的分布函数以及概率 P M 4 .,各 Xi 的分布函数都为,从而， M = max ( X1，X2， X3，X4 ，X5 ) 的分布函数为,解,二、最大与最小值分布,退出,返回,例2-3 某型电子管寿命(小时)服从正态分布 求任取4只, 无一只的寿命小于180小时

11、的概率.,且各Xi (i =1, 2, 3, 4) 相互独立.,解,以Xi (i =1, 2, 3, 4) 分别记4只电子管的寿命，则显然,令N = min X1, X2, X3, X4 ，则应求的概率,二、最大与最小值分布,相互独立时, k 个随机变量最大值的分布函数等于各变量分布函数的乘积，多维随机变量最小值的分布函数等于各变量分布函数( 关于1 ) 的补数之积的补数, 即,退出,返回,4. 多维独立随机变量最值分布的一般性结论,二、最大与最小值分布,若 k 个随机变量同分布(包括同参数), 则有,其中, FX ( x ) 表各随机变量共同的分布函数.,求 的概率密度.,三、范例选析,退出

12、,*例3-1 设 X 与Y 相互独立, 概率密度分别为,解,依卷积公式,返回,1,Z,X,O,1,z = x,x =1,退出,返回,例3-2 随机变量（X，Y )的联合分布律如右表所示 :,试求概率 P X=2 | Y=2 以及 max ( X，Y )的分布律.,解,两边缘分布列如联合,分布列加边后算出的数字所示.,8 / 18,4 / 18,6 / 18,7 / 18,6 / 18,5 / 18,条件概率,M = max( X, Y ) 的分布律,1 / 6,三、范例选析,退出,*例3-3 设随机变量,试求随机变量,解,各Xi 的分布函数,返回,相,概率密度皆为,互独立, 服从同一分布,的概

13、率密度.,三、范例选析,课外书面练习,退出,返回,概率统计练习册 P19：1. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (二维离散与连续随机变量基础知识) P20: 2.(求二维离散变量的联合分布律) 3.(求联合概率密度的未知参数与计算概率),参考答案,退出,返回,(6) , ,(3) , ,(4) , ,(2),以及,1 (1) ,(5),参考答案,退出,返回,*2,3 (1) (2),(3) (4),课外书面练习,概率统计练习册 P21, P22 P21: 4. (二维均匀与正态量与边缘概率密度基础知识) 5. (求联合概率密度的未知参数与边缘概率密度) P22： 6. (求二维

14、随机变量的取值概率与边缘概率密度) 7. (求二维均匀量的联合概率密度及其函数值),(3) , .,参考答案,退出,返回,(2),(2) 均匀分布 , 面积 , 1 ,4 (1) 二维正态分布 ,5 (1),参考答案,退出,返回,(2),6,7 (1),课外书面练习,概率统计练习册 *P23, P24 P23：8. (条件分布、一般随机变量与正态量相互独立的常识) P24：9. (求联合分布律，判断离散量的相互独立性) 10.(求未知分布参数与两个边缘概率密度， 判断连续量的相互独立性),(3) , , , .,参考答案,退出,返回,(4),(2),8 (1) ,(6) 相互独立,(7),(5) 相互独立, X 与 Y 相互独立 .,参考答案,退出,返回,10,9 联合分布列与边缘分布列为,因为至少有,所以 X 与 Y 不相互独立 .,课外书面练习,概率统计练习册 *P25, P26 P25: 11. (应记忆的和的分布密度与最值分布函数的确定公式) *注意: (2)中表记概率密度的字母都应由大写F 改为小写 f 12. (确定离散量的未知参数、求条件概率与和的分布律) P26: 13. (求连续量的和的概率密度