第六章地球椭球与椭球计算理论

1、第六章 地球椭球与椭球计算理论,本章提要 6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 6.3 几种主要的椭球公式 6.4 将地面观测值归算至椭球面 习题,本章提要,本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介绍椭球的基本几何参数，基本坐标系及其相互关系。同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面观测元素（水平方向及斜距等）归算至椭球面上。在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建立了地球椭球的这些基本空间概念后，才能更好地学习控制测量的内业数据处理等相关知识。,1地球椭球的定义及其几何意义； 2常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用； 3各种测量

2、坐标系统之间的相互转换； 4椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算； 5地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。,知识点及学习要求,在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。 各种常用测量坐标系统的建立与相互转换； 几种常用的椭球计算公式； 地面观测值归算到椭球面的方法与计算、大地主题解算 。,本章重点：地球椭球几何性质、地面观测值归算 本章难点：,6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系,一. 地球椭球的基本几何参数,地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。,参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。地面上一切观测元素都应归

3、算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。,地球椭球的几何定义：O是椭球中心，为旋转轴，a 为长半轴，b 为短半轴。,子午圈(经圈，或子午椭圆）：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。如NKAS,平行圈（或纬圈）：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆。如QKQ 赤道：通过椭球中心的平行圈 。如EAE,地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): 地球椭球的五个基本几何参数： 椭圆的长半轴 椭圆的短半轴b 椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率,椭圆的第二偏心率,其中a、b 称为长度元

4、素；扁率 反映了椭球体的扁平程度。偏心率 和 是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比， 它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。,二、通常用a ,表示椭球的形状和大小。,我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。,几种常见的椭球体参数值,三、相互关系 1e与 e的关系,2e与其它关系,四、引用符号及其相互关系 1引用符号,2W与V关系,两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数：,C几何意义：极点处的几何曲率半径。,3. 地球椭球参数间的相

5、互关系,其他元素之间的关系式如下：,式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。,6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系,1 .大地坐标系,p 点的子午面NPS 与起始子午面 NGS 所构成的二面角L，叫做p 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0180），向西为负，叫西经（0180）。P 点的法线 与赤道面的夹角B，叫做P点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（090）；向南为负，叫南纬(090)。从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标系是用大地经度L、大地纬度B和大地高H表示地面点位的。如果点不在椭球面上，表示点的位置除B,L外，还要附加另一参数大

6、地高H，它同正常高及正高有如下关系,2. 空间直角坐标系,地心 坐标系，原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。,3 . 子午面直角坐标系,设点 p 的大地经度L为，在过p点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y 平面直角坐标系。在该坐标系中，p 点的位置用L,x,y 表示。,4 . 大地极坐标系,M 为椭球体面上任意一点，MN 为过M 点的子午线，S 为连结MP的大地线长，A 为大地线在

7、M 点的方位角。以M 为极点，MN 为极轴，S 为极半径，A为极角，这样就构成大地极坐标系。在该坐标系中p 点的位置用S,A 表示。,椭球面上点的极坐标（S,A）与大地坐标(L,B）可以互相换算，这种换算叫做大地主题解算。,5、地心纬度坐标系,椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系。连接OP，则 称为地心纬度，而OP 称为P点向径，在此坐标系中，点的位置为：,6、 归化纬度坐标系,设椭球面上P点的大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长P2P与辅助圆相交P1点，则OP1与x轴夹角称为P点的归化纬度，用u表示，在此归化纬

8、度坐标系中，P点位置用L，u 表示。,7. 各坐标系间的关系,椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。,1）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系,过p 点作法线 ，它与x 轴之夹角为B，过点P作子午圈的切线TP，它与x 轴的夹角为（90+B）。子午面直角坐标x,y 同大地纬度B 的关系式如下：,以下：推导子午平面坐标系同大地坐标系的关系,此两式指明了法线Pn在赤道两侧的长度。,令: pn=N（卯酉圈曲率半径） 由图看出： 与前式 相比得： 于是有 由图看出 上两式相比得： 显然有：,上两式即为子午面直角坐标x，y同大地纬度B的关系式。,2）子午平面直角坐标

9、系同归化纬度坐标系的关系 P(x，y)，OP1=a 由图可知：x=OP2=OP1cos=acos 代入公式： 得：y=bsin,3）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系,空间直角坐标系中的P2P相当于子午平面直角坐标系中的y，前者的OP2相当于后者的x，并且二者的经度L相同。 OP2=x 二面角P2OP1=L,4）空间直角坐标系同大地坐标系的关系,同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换,式中：e子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式 算得。,N法线长度，可由式 算得。,以下推导空间直角坐标系同大地坐标系的关系,推导空间直角坐标系同大地坐标系的关系 由大

10、地坐标计算空间直角坐标：,如果P点在椭球面上： （1）子午面直角坐标同大地坐标关系， （2）空间直角坐标同子午面直角坐标关系,如果P点不在椭球面上，设大地高为H，P点在椭球面上投影为P0,由空间直角坐标计算大地坐标,大地经度,大地纬度,大地高,由空间直角坐标计算相应大地坐标,大地纬度B、归化纬度u、 地心纬度之间的关系 B和u之间的关系 归化纬度坐标系同子午平面坐标系的关系： 子午平面坐标系同 大地坐标系的关系：,U、之间的关系 地心纬度同子午平面坐标系关系 归化纬度U同子午平面坐标系：,、之间的关系,大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45时,8 、站心地平坐标系大地

11、站心地平坐标系是以测站法线和子午线方向为依据的坐标系。在描述两点间关系时，为方便直观，一般采用站心坐标系。根据坐标表示方法，又可分为站心左手地平直角坐标系和站心地平极坐标系，见图 1）以测站P为原点，测站上P点的垂线(法线)为Z轴（U轴），指向天顶为正；子午线方向为x轴（N轴），指向参考短半轴，向北为正；y轴（E轴）与x，z轴平面垂直（向东为正）构成左手坐标系就称为垂线(或法线)站心直角坐标系。或称为站心天文坐标系。在站心直角坐标系下点的X（N） 、Y（E）、Z（U）坐标为该点在三个坐标轴上的投影长度。,站心极坐标系：以P点为中心的站心极坐标系定义如下： ( 1 ) X(N）PY（E） 平面为

12、基准面； ( 2 ）极点位于P； ( 3 ）极轴为X（N） 轴。 Q点在站心极坐标系下的坐标用极距（ d 为 由极点到该点的距离）、方位角（ 为在 基准面上，以极点为顶点，由极轴顺时针 方向量测PQ在基准面上投影的角度）、 高度角（EL为极点与该点连线与基准面间 的夹角）表示。 空间任意一点Q相对于P的位 置可通过地面观测值斜距d、 天文方位角和天顶距z来确定 进行 GPS 观测时，常常采用 GPS 卫星相对于测站的高度角、方位角来描述其在空间中的方位。实际上，如果再加上测站到卫星的距离，就是一个完整的站心坐标。,7、大地测量常用坐标系比较,6.3 椭球面上几种曲率半径（椭球数学性质）,过椭球

13、面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。 椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。,1. 子午圈曲率半径,子午椭圆的一部分上取一微分弧长DKdS，相应地有坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，于是线段Dn及Kn便是子午圈曲率半径。 由任意平面曲线的曲率半径的定义公式，易知,任意平面曲线的曲率半径的定义公式为： 从微分三角形DKE可求得： 联立上两式得： 子午面直角坐标同大地坐标关系： x坐

14、标对大地纬度B取导数： 又由第一纬度函数得： 则有： 子午圈曲率半径公式为： 或 M与纬度B有关它随B的增大而增大。,变化规律如下表所示： 表中极曲率半径c的几何意义是椭球体在极点处的曲率半径。,2.卯酉圈曲率半径,过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。在图中PEE 即为过点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用表示。 为了推导的表达计算式，过点作以O为中心的平行圈的切线，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故也是卯酉圈在点处的切线。即垂直于Pn 。所以是平行圈及卯酉圈PEE在点处的公切线。,麦尼尔定理:

15、 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。 如图根据直角三角形有平行圈半径r： 根据子午面直角坐标同大地坐标关系： 卯酉圈曲率半径： 根据（4-8）式得： 由图可看出： 也就是说 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上。,卯酉圈曲率半径的特点:由公式N=r/cosB得： N与纬度B有关它随B的增大而增大。卯酉圈曲率半径N与经度L无关，即同一平行圈上所有点的卯酉圈曲率半径N相同。 在极点子午圈曲率半径 和卯酉圈曲率半径一致

16、 子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，统称为主曲率半径。 常引用的两个符号：（1）=/M （2）=/N,主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。 （1）主曲率半径是第一纬度函数的表达式,椭球面上几种曲率半径,椭球面上几种曲率半径,椭球面上几种曲率半径,（2）主曲率半径是第二纬度函数的表达式,3.任意法截弧的曲率半径,子午法截弧是南北方向，其方位角为0或180。卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90或270。现在来讨论方位角为的任意法截弧的曲率半径RA的计算公式。 由欧拉公式知

17、，任意方向方位角为的法截弧的曲率半径的计算公式如下： 以下是公式的推导：,任意法截弧的曲率半径 由欧拉公式知： 在实际应用中，用平均曲率半径R代替N,得：,椭球面上几种曲率半径,任意法截弧的曲率半径的变化规律: 不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。 当或180时，RA值为最小，公式变为计算子午圈曲率半径的，即； 当A90或270时，RA值最大，公式变为计算卯酉圈曲率半径，即。主曲率半径M及N分别是的极小值和极大值。 当A由090时，之值由，当A由90180时，值由N，可见值的变化是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。,椭球面上几种曲率半径,椭球面上任意一点的平均曲率半

18、径 R 等于该点主曲率半径（子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N）的几何平均值。,4.平均曲率半径R是指经过曲面任意一点所有可能方向上的法截线半径RA的算术平均值。 平均曲率半径在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向RA的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径平均曲率半径R：,M，N，R的关系 一般情况下 NRM 在极点上都等于极曲率半径,椭球面上几种曲率半径,对于克拉索夫斯基椭球,椭球面上几种曲率半径,从表看出：同一纬度时， NRM； 不同纬度时，随着纬度B的增大，所有的曲率半径都是增大的，且在极点上都等于极

19、曲率半径,4.4 椭球面上的弧长计算 1. 子午线弧长计算公式 子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。因此，只需计算从赤道开始到已知纬度B间的子午线弧长的计算公式就可以了。 如下图所示，取子午线上某微分弧PP=dx，令点纬度为，P点纬度为B+dB，点的子午圈曲率半径为，于是有： 从赤道开始到任意纬度的平行圈之间的弧长可由下列积分求出： 式中M可用下式表达（第一纬度函数表达）：,其中：,经积分，进行整理后得子午线弧长计算式（1）：,为求子午线上两个纬度B1及B2间的弧长，只需按上式分别算出相应的X1及X2，而后取差：，该即为所求的弧长。,将克拉索夫斯基椭球元素代

20、入,得 将1975年国际椭球元素代入,得 若将（4-70）公式中的幂函数展开为正弦n次幂和余弦乘积的形式，进行整理后得子午线弧长计算式（2）（此公式适合计算机计算）： 代入克拉索夫斯基椭球参数得子午线弧长计算公式： 代入1975年国际椭球参数得子午线弧长计算公式： 如果主曲率半径用第二纬度函数的表达式，则可得子午线弧长计算公式（3）： 或,如果以B90代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40 008 549.995m。即一象限子午线弧长约为10 000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B及间的弧长，只需按(4-1

21、01)式分别算出相应的X及X，而后取差：，该即为所求的弧长。 当弧长甚短(例如X40km，计算精度到0.001m)，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径M X=Mm.（B2-B1)/=B/（1）m,2、由子午弧长求大地纬度 底点纬度计算 在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X，Y）反求其大地坐标（L，B）。首先X当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法。 （1）迭代解法: 重复迭代直至 为止。a0为子午圈曲率半径展开的首项系数。 例如：,在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设,以后每次迭

22、代按下式计算：,重复迭代直至 为止。,在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式。,（2）直接解法,1975年国际椭球：,克拉索夫斯基椭球：,3、平行圈弧长公式 旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴 就是圆上任意一点的子午面直角坐标。 如果平行圈上有两点，它们的经度差 平行圈弧长公式： 平行圈弧长随纬度变化的微分公式可近似地写为 由于 于是 式中,4、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 从表中可以看出， 单位纬差的子午线弧长随纬度升高而缓慢地增长； 而单位经差的平行圈弧长则随纬度升高而急剧缩短。 同时还可以看出，1的子午弧长约为110km，1约为1.8km，1约为30m。 而平行圈弧长，仅在赤道

23、附近才与子午弧长大体相当，随纬度的升高它们的差值愈来愈大。 5.椭球面梯形图幅面积的计算,4.5 大地线 两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢? 它应是大地线。 一、相对法截线 在椭球面上取 不在同一子午 面和平行圈上 的点A和B；过 A、B两点的法 线分别与短轴 PP1相交于N1和N2。 通过AN1含有B的 法面AN1B与过BN2含有A的法面BN2A不可能重合而只能相交，其交线就是A、B间所连的直线。两个法面所截得的法截线AaB和BbA也不重合而形成一狭小的二面角。这两条法截线称为相对法截线。现在证明na和nb将不重合。,设在椭

24、球上任取不在同一子午面和平行圈上的两点A和B，纬度分别为B1和B2，且二者不等，过A、B两点分别做法线与短轴交于na和nb两点，与赤道面分别交于Q1和Q2。,如图,又,则,正、反法截线： A点照准B，照准面同椭球面的交线AaB，叫做A点的正法截线，或者B点的反法截线；同样，B点照准A，照准面同椭球面的交线BbA，叫做B点的正法截线，或者A点的反法截线。 把AaB和BbA叫做A、B两点的相对法截线。 由公式 知，当B2B1时，卯酉圈曲率半径N随纬度B的增大而增大，OnbOna。这就是说：某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，AB方向在不同的象限时，正反法截线关系如图：,由纬度B低的点照准纬度高

25、的点，法截线南偏； 由纬度B高的点照准纬度低的点，法截线北偏； 在北半球，如A点位于B点以南，则A点的正法 截线AaB在反法截线BbA的南面，如上图。当A、B两点在同一子午圈或同一平行圈上时，相对法截线是重合的，夹角为0。 相对法截线通常是不重合的，两者所夹的小角有下列数值： 当 S=15km时，=0.001 S=20km时，=0.002 S=30km时，=0.007 S=50km时，=0.01 由上可知: 相对法截线所夹的角是很小很小的。当S=50km时，Bm=45，A=45时，两法截线分开的最大距离为0.0008m。 从上面的数值看，当距离不超过30公里时，可以不考虑所引起的问题，而认为相

26、对法截线是重合的。,当两点间距离较长时，相对法截线不重合会带来如下的问题：,如上图，在A、B、C三个点上，由两条正法截线表示的角度，并不能构成一完整的三角形，这就造成几何图形的破裂。因此需要在相对法截线间寻求一条合适的曲线，以代替相对法截线。经理论证明，这一合适的曲线就是介于相对法截线之间的大地线。,二、大地线的定义和性质 在椭球面上两点间最短的线是大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间曲面曲线。 假设椭球面没有

27、任何磨擦力，在椭球面上两点间紧拉一条细线，则此细线的位置就和大地线一致。 大地线的形状如图所示，大地线是一条曲线，其长度可以用下式计算：,大地线与法截线的长度之差甚微，实际上可以不 必考虑两者之差。大地经纬度决定了地面点在椭 球面上的绝对位置，大地方位角则决定了椭球面 上两点间大地线的方向，大地线和由它们所构成 的球面角是组成椭球面上大地控制网的基本元素。,大地线的性质: 大地线是介于相对法截线之间的一“S” 形曲线。两端与正法截线的夹角为。不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法裁线是不重合的，它们之间的夹角；大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间

28、的夹角 在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。 实际计算中：在一等三角测量中，数值可达干 分之一二秒，可见在一等或相当于一等三角测量 精度的工程三角测量中是不容忽略的。 大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫 米，所以在实际计算中，这种长度差异总是可忽 略不计的。 长度差异可忽略,方向差异需改化。,大地线的微分方程和克莱劳方程 设P为大地线上任意一点，其经度为，纬度为，大地线方位角为。当大地线增加d到P1点时，则 上述各量相应变化dL，dB及dA。 所谓大地线微分方程，即表示 dL、dB和dA与dS的关系。 dS在子

29、午圈上的分量 dS在平行圈上的分量,大地线的微分方程,以上三式称为大地线的微分方程,三角形PP2P1是一微分直角三角形,大地线的微分方程,推导大地线的克莱劳方程,此式就是克莱劳方程，也叫克莱劳定理。定理表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C也叫大地线常数 。大地线的克莱劳方程：表明了大地线在椭球面上的走向。,两边积分，易得,当大地线穿越赤道时 当大地线达极小平行圈时 由此可见，某一大地线常数等于椭球半径与该大地线穿越赤道时的大地方位角的正弦的乘积，或者等于该大地线上具有最大纬度的那一点的平行圈半径。 由克莱劳方程可以写出 此关系式

30、可以检查纬度和方位角计算的正确性。 克莱劳方程还有以下形式：,6.4 将地面观测值归算至椭球面 1.概述 参考椭球面是测量计算的基准面。在野外的各种测量都是在地面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。因此不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。 1）归算的意义： 归算是将地面元素转化为椭球面上的桥梁。 通过归算，为在椭球面的测量计算提供数据。 2）归算的基本要求： 以椭球面法线为基准线。 地面点沿法线投影到椭球面。 椭球面两点连线用大地线。 将地面观测元素加入适当的改正数化为椭球面上大地线的相应

31、元素。3）地面观测元素的归算内容： 水平观测方向、观测天顶距归算、地面长度归算、 天文经纬度和方位角归算等方面,1.将地面观测的水平方向归算至椭球面的内容： 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正。 1) 垂线偏差改正u 产生原因：地面上所有水平方向的观测 都是以垂线为根据的，而在椭球面上则 要求以该点的法线为依据。把以垂线为 依据的地面观测的水平方向值归算到以 法线为依据的方向值而应加的改正定义 为垂线偏差改正，以u表示。 如上图所示，以测站为中心作出单位半径的辅助球，是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以、表示，M是地面观测目

32、标m在球面上的投影。 垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)，垂线偏差改正的计算公式是： 式中：，为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；Am为测站点至照准点的大地方位角；Z1为照准点的天顶距；1为照准点的垂直角。,结论：垂线偏差改正，不仅与测站的垂线偏差有关，而且与观测方向的方位角和垂直角有关。当法线与铅垂线一致，或者照准点在zz1O面内，或者照准点在测站水平面上时，垂线偏差改正为零。 u为0的情况：,（铅垂线与法线一致）,（照准点在铅垂线与法线组成的平面内）,（照准点在测站水平面内）,u最大的情况： 即当观测方向与垂线偏差方向垂直时。 垂线偏差

33、改正适用范围： 一、二等角测量 三、四等三角测量中，当 和较大时,2) 标高差改正h 标高差改正又称由照准点高度而引起的改正。不在 同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面 的。当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球 面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同 椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标 高差改正，以 h表示。 产生原因：由于A、B两点的法线不在同一平面所 产生（即照准点不在椭球面上） 。 如右图所示，A为测站点，如果测站点观测值 已加垂线偏差改正，则可认为垂线同法线一致。这 时测站点在椭球面上或者高出椭球面某一高度，对 水平方向是没有影响的。这是因为测站点法线不变，

34、 则通过某一照准点只能有一个法截面。 设照准点高出椭球面的高程为H2，Ana和Bnb分别为 A点及B点的法线，B点法线与椭球面的交点为b。因 为通常Ana和Bnb不在同一平面内，所以在A点照准B点得出的法截线是Ab而不是Ab ，因而产生了Ab同Ab方向的差异。按归算的要求，地面各点都应沿自己法线方向投影到椭球面上，即需要的是Ab方向值而不是Ab方向值，因此需加入标高差改正数h，以便将Ab 方向改到Ab方向。,标高差改正的计算公式： 公式中：H2为照准点高出椭球面的高程， 它由三部分组成： 其中H常为照准点标石中心的正常高，为 高程异常，为照准点的觇标高， B2是照准点纬度，M2是相应的子午圈曲

35、率半径。 A1为测站点至照准点的大地方位角。 标高差改正主要与照准点的高程有关。经过此项改正后， 便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。,h为0的三种情况：,H2=0 照准点在椭球面上 A1=0 ，90 ，180 ，270 照准点在测站点的子午圈或平行圈上 B2= 90 照准点在极点上,适用范围：,一、二等角测量 三、四等三角测量中，当海拔高于700m时,2）标高差改正 Correction for skew normals,3）截面差改正g 在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点间的大地线代替相对法截弧。这样将法截弧方向化为

36、大地线方向应加的改正叫截面差改正，用g表示。 产生原因：法截线与大地线不一致。 如图所示，AaB是A至B的法截弧，它在A点处的 大地方位角为A1，ASB 是AB间的大地线，它在 A点的大地方位角是A1，A1与A1 之差g就是截 面差改正 。 截面差改正的计算公式： 式中S为AB间大地线长度， ，N1为测站 点纬度B1相对应的卯酉圈曲率半径。 g为0的情况： A1=0、90、180、270照准点在测站点的子午圈或平行圈上 适用范围：一等角测量 天文方位角归算为大地方位角按（3-170）（前面第三章已讲） 天文天顶距归算为大地天顶距按（3-173）,4、三差改正的计算 现行作业一般规定，一等三角测

37、量应加三差改正，二等三角测量应加垂线偏差改正和标高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量可不加三差改正。但当 时或者H2 000m时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。在特殊情况下，应该根据测区的实际情况作具体分析，然后再做出加还是不加改正的规定。如下表所示：,将地面观测的长度归算至椭球面 根据测边使用的仪器不同，地面长度的归算分两种：一是基线尺量距的归算，二是电磁波测距的归算。 1 基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。 1）垂线偏差对长度归算的影响,2）高程对长度归算的影响,

38、如果将上式展开级数，取至二次项， 3）顾及以上两项，则地面基线长度归算到椭球面上长度的公式 经过以上计算，便得到椭球面上的基线长度。,2. 电磁波测距边长归算椭球面 电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上。 如图，大地点Q1和Q2的大地高分别为H1和H2。其间用电磁波测距仪测得的斜距为D，现要求大地点在椭球面上沿法线的投影点Q1和Q2间的大地线的长度S。 在工程测量中边长一般都是几公里，最长也不过十几公里，因此，所求的大地线的长度可以认为是半径 相应的圆弧长。 电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式为： 式中 电磁波测距的归算公式推导：,将上式按反正弦函数展

39、开级数，舍去五次项，得 进一步化简得：,下式为两点间的弦长：,电磁波测距边长归算的几何意义： （1）计算公式中右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项，经过此项改正，测线已变成平距； （2）第三项是由平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经此项改正后，测线已变成弦线； （3）第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。,显然第一项即为经高差改正后的平距。,问题 算例见下表，用上述两个公式计算将电磁波测距边长归算至椭球面上。,电磁波测距边长归算至椭球面上的计算公式还可用下式表达：,4.7 大地测量主题解算,4.7.1 大地主题解算的一般说明 大地元素:大地经度L、大地纬度B、两点间 的大地线长

40、度S及其正反大地方位角A12、A21。 大地主题解算：如果知道某些大地元素推 求另一些大地元素，这样的计算问题就叫大地 主题解算，大地主题解算有正解和反解。 大地主题正解：已知Pl点的大地坐标(L1，B1)，P1至P2的大地线长S及其大地方位角A12，计算P2点的大地坐标(L2，B2)和大地线S在P2点的反方位角A21，这类问题叫做大地主题正解。 大地主题反解： 如果已知P1和P2点的大地坐标(L1，B1)和(L2，B2)，计算P1至P2的大地线长S及其正、反方位角A12和A21这类问题叫做大地主题反解。,根据大地线的长短，主题解算分为: 短距离(400km)， 中距离(1000km)， 长距

41、离(1000km以上) 大地主题解算根据不同理论基础可分五类： 1以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。 2以白塞尔大地投影为基础。 3利用地图投影理论解算大地问题。 4对大地线微分方程进行数值积分的解法。 5依据大地线外的其他线为基础。,1.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。 主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离 典型解法：高斯平均引数法,2.以白塞尔大地投影为基础 白塞尔大地主题解算的步骤： 1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面向球面的过渡； 2)在球面上解算大地问题；

42、 3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。 典型解法：白塞尔大地主题解算 特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应20 000km或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。 3 利用地图投影理论解算大地问题 如在地图投影中，采用椭球面对球面的正形投影和等距离投影以及椭球面对平面的正形投影（如高斯投影），它们都可以用于解算大地主题。这类解法受距离的限制，只在某些特定情况下才比较有利。,4 对大地线微分方程进行数值积分的解法 这种解法直接进行数值积分计算以解决大地主题的解算。常用的数值积分算法有高斯法

43、，龙格库塔法，牛顿法以及契巴雪夫法等。这种算法易于编写程序，适用于任意长度距离。缺点是随着距离的增长，计算工作量大，且精度降低，而在近极地区，这种方法无能为力。 5 依据大地线外的其他线为基础 连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然还有其他一些意义的线，比如弦线 、法截线等。利用弦线解决大地主题实质是三维大地测量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。,4.7.2 勒让德级数式在过已知点P1(L1，B1)且在该点处大地方位角为A12的大地线S上任意一点P2的大地坐标(L2，B2)及其方位角A21必是大地线长度S的函数。 S0时，这些函数值等于P1点的相应数值因此，可在已知点P1点(S0)上，按麦克劳

44、林公式将Pl和P2点的纬度差、经度差及方位角之差展开为大地线长度S的幂级数。为了计算B、L、A的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。,一阶导数： 二阶导数：,大地测量主题解算,三阶导数,大地测量主题解算,引用符号：顾及V/c=1/N及第4、第5阶导数，则得勒让德级数式：,大地测量主题解算,勒让德级数是大地主题解算的一组基本公式，但他仅适用于边长短于30km的情况。边长长的话，级数收敛慢，且计算复杂。后来学者博尔茨、赫里斯托夫、史赖伯对级数系数进行了改化。高斯对勒让德级数也进行了改化，提出：首先把勒让德级数在 P点展开改在大地线长度中点M展开，使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定

45、中点 M 的复杂性，将 M 点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的 m 点来代替，并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解。,4.7.3 高斯平均引数正算 高斯平均引数正算公式推导的基本思想：首先把勒让德级数在P1点展开改在大地线长度中点M展开，以便级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点M的复杂性，将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替， 并借助迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。 (1)建立级数展开式: 两式相减得：,同理可得:,(2)由于大地线中点M处的纬度和大地方位角均为未知，不能直接用来计算，为此用P1和P2点平均纬度和平均方位角相对应的m点

46、代替M点。,大地测量主题解算,将（4-202）（4-204）式中的BM,AM为依据的导数值改化为Bm、Am为依据的导数值：dB/dS是B和A的函数，则：将上式展开为以Bm、Am为依据的级数：,大地测量主题解算,(3)由大地线微分方程依次求偏导数:,高斯平均引数正算公式：同理可得：,注意： 从公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。 除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬度计算精度可达到0.0001, 方位角计算精度可达到0.001。,4.7.4 高斯平均引数反算公式 大地主题反算是已知两端点的经、纬度L

47、1，B1及L2，B2，反求两点间的大地线长度S及正、反大地方位角A12和A21。 这时，由于经差L、纬差 B及平均纬度Bm均为已知，故可依正算公式很容易地导出反算公式。 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出: 上述两式的主式为: 将上式代入前两式，并按L和B集项得：,已知： 求得：,4.7.5 白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想: 以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。 这种方法的关键问题是找出椭球面上的

48、大地元素与球面上相应元素之间的关系式,同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。 在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算: 已知 求解 球面上大地主题反算: 已知 求解,1、在球面上进行大地主题解算 极球面三角元素间的相互关系,球面上大地主题正解,球面上大地主题反解方法,2 、椭球面和球面上坐标关系式,在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:,白塞尔提出如下三个投影条件： 1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧 2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等； 3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。=,由（4-240）式及第二投影条件（A=）及公式 得：,以上两式为白塞尔微分方程

49、。表达了椭球面上大地线长度与球面上大圆弧长度，椭球面上经差与球面上经差的微分关系。对这组方程进行积分就可以求得S与，L与的关系式。,3 、白塞尔微分方程的积分,积分得到S与的关系式： 利用此公式可以计算赤道至大圆弧任意一点Pi的大地线的长度。为计算两点P1P2间的大地线长度，对这两点分别使用上式得： 因为S=S2-S1，=2-1，将上两式相减得:,适合于反算: 适合于正算: 迭代法: 直接法:,现在研究:,将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去4倍角项，其值小于0.0001秒。,正算： 反算：,4 白塞尔法大地主题正算步骤,1.计算起点的归化纬度 2.计算辅助函数值，解球面三角

50、形可得: 3. 按公式计算相关系数A,B,C以及,4.计算球面长度 迭代法: 直接法:,5.计算经度差改正数 6.计算终点大地坐标及大地方位角,5 白塞尔法大地主题反算步骤,1.辅助计算,2.用逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及经差 ，第一次趋近时，取。,计算下式,重复上述计算过程2. 3. 计算大地线长度S 4. 计算反方位角,大地主题解算编程实验,一、实验目的 1、提高运用计算机语言编程开发能力。 2、 加深对大地主题解算计算公式及辅助参数的理解并掌握其计算步骤。 3 、实现大地主题解算计算机的计算过程提高解算精度。 二、实验工具 运用自己熟悉的编程开发语言（C、VC、VB、FO

51、RTRAN、Matlab等） 三、实验要求提交报告、实验总结及编写的源代码程序 1、每人独立完成大地主题解算的计算程序编制，并调试运行并计算出正确结果； 2、此次编程实验应上交成果资料（每人一份）： （1）编程思想、编程过程中出现的问题及如何解决问题的； （2）源程序编码； （3）计算结果； 四、注意 1、计算所需的变量多。 2、正反算函数的编写。 3、函数的调用。 4、弧度及角度的转换。 5、输出的参数精度正确。,本章小结,1.地球椭球的几何性质。几个重要概念：法截线、子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、大地线、相对法截弧。 2.地面观测值归算到椭球面的原理及过程：方向归算、长度归算。 3.大地

52、测量主题解算方法。,习 题,1试写出椭球的基本元素及其基本关系式。,2在控制测量的椭球解算中，常引用下列符号： 、 、 、 ，,3我国解放后主要采用哪两种参考椭球?其主要参数是什么? 4绘图并说明表示椭球面上点位的三种常用坐标系统。 5在报纸上经常看到X X号轮船在东经XXX度，北纬X X度遇险一 6写出参考椭球体的五个基本元素及相互间的关系。 7什么叫子午圈？什么叫平行圈？,8参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？ 9简要说明并图示地面某一点的大地高、正常高以及大地水准面 差距的几何意义。 10什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？ 11画图表示地心纬度坐标系和归化纬度坐标系，这

53、两种坐标系 在大地测量中有何意义？ 12用公式表示空间直角坐标系和大地坐标系之间的关系。 13何为大地纬度、归化纬度、地心纬度？三者间有何关系？,试问它们之间函数关系的一个基本共同特点是什么？,类的报导，试问这是指的什么坐标系，为什么?,14简要叙述M、N、R 三种曲率半径之间的关系。 15大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？ 16试推证卯酉圈、子午圈曲率半径的计算公式。 17B00的平行圈是否有可能是法截线？为什么？ 18卯酉圈曲率半径N与子午圈曲率半径M何时有最大值？何时有最小值？ 19，为什么说任意方向法截线曲率半径 随A的变化是以900为周期的？这 一结论对椭球问题的解算有什么意义？ 20什么是法线？什么是法截面？它们对椭球解算有什么意义？ 21当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值 取决于哪两个变量？为什么？ 22已知欧拉公式：,23研究平均曲率半径R对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区R与的 最大差异是多少？试将它对距离化算（用R代替）的影响作一定量分析。,试由椭球基本元素及公式出发，用两种方法导出计算任意方 向法截线曲率半径的公式和平均曲率半径R的公式。,24在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道起算？若欲求纬度B1和B2间的子午线弧长( 0)，如何计算？ 25当子午线弧长不超过45km时，则可将其视为圆弧，试论