18 19第1章11111构成空间几何体的基本元素

1、1.1 空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素学习目标：1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，同时在运动变 化的观点下，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系.（重点）2.了解轨迹与圆形的关系.（重点）3初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与 平面间的位置关系.（重点）4.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法.（难 点）自主预习探新知1 .几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则 这个空间部分叫做一个几何体.2. 长方体长方体可以看作由六个矩形（包括它的内部）所围成的几何体.长方体的面：围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面，它共有6个面.

2、长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有 12条棱.（3）长方体的顶点：棱和棱的公共点叫做长方体的顶点，它共有8个顶点.3. 构成空间几何体的基本元素点、线、面是构成空间几何体的基本元素.4. 平面及其表示方法（1）平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的.（2）平面的表示方法：图形表示在立体几何中，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想 象成无限延展的符号表示平面一般用希腊字母a，B, Y来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名5用运动的观点理解空间基本图形之间的关系（3）面动成体：面运动的轨迹（经过的空间部分）可以形成一个几何体.6.空间中直

3、线与直线的位置关系空间中直线与直线有相交、平行与既不相交也不平行三种位置关系.7. 空间中直线与平面的位置关系(1) 直线在平面内；(2) 直线与平面平行：直线与平面没有公共点：(3) 直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点. 直线与平面垂直：如图1-1-1,观察直线AAi和平面AC,我们看到直线AAi和平面内的两条相交直 线AB和AD都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时， 都会与AA1垂直.直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线 AA1 和平面AC垂直，点A为垂足.记作直线 AA1丄平面AC.直线AA1称作平面AC 的垂线，平面AC称作直线AA1的垂

4、面.图 1-1-1 点到平面的距离：在上图中，容易验证，线段 AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的最短的一 条.线段AA的长称作点A1到平面AC的距离.8. 空间中平面与平面的位置关系(1) 两个平面相交：两个平面相交于一条直线，此时我们说这两个平面相交.如果两个平面相交，并 且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，这两个平面就给我们互相垂直的形 象，这时，我们就说两个平面互相垂直.(2) 两个平面平行：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行.如图1-1-1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作 为长方体的底面，则棱AA1, BB1, CC1，

5、DD1都与底面垂直且等长，我们知道它 们都是这个底面上的高，它们的长度称作两个底面间的距离.基础自测1. 判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分.()(2) 直线的移动只能形成平面.()(3) 平静的太平洋就是一个平面.()解析(1)正确.直线移动可能形成曲面，故错误.(3) 平面是没有大小的，故错误.答案 V (2) X (3) X2. 下列说法正确的是 .（1）长方体是由六个平面围成的几何体；（2）长方体可以看作一个矩形 ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A B C D 所围成的几何体；长方体一个面上的任一点到对面的距离

6、相等.【导学号：90662019】解析错.因长方体由6个矩形（包括它的内部）围成，注意“平面”与“矩 形”的本质区别；正确；（3）正确.答案3. 下列说法： 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； 一个几何体可以没有顶点； 一个几何体可以没有棱； 一个几何体可以没有面.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4B 球只有一个曲面围成，故 错，对，对，由于几何体是空间图形，故一 定有面，错.4. 下列关于长方体的叙述不正确的是（）【导学号：90662019】A .将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体B. 长方体中相对的面都相互平行C .长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底

7、面间的距离D. 两底面之间的棱互相平行且等长A A中只有移动相同距离才能形成长方体.合作探究攻重难平面概念的理解卜例下列判断正确的是. 平面是无限延展的； 一个平面长3 cm,宽4 cm； 两个平面重叠在一起，比一个平面厚； 通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内.解析正确.平面是无限延展的. 不正确.平面没有大小. 不正确.平面没有厚薄. 正确.平面可以看成是直线平行移动形成的， 所以直线通过改变其位置，可以 放在某个平面内.答案规律方法1. 准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键.2. 平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行 四边形、圆等是有大小的

8、.3. 可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面.跟踪训练1. 已知下列四个结论：铺得很平的一张白纸是一个平面； 平面的形状是平行四边形；一个平面的 面积可以等于1 m2其中正确结论的个数是（）A. 0B . 1C. 2D. 3A 在立体几何中，平面是无限延展的,所以错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故错. 从运动观点认识几何体如图1-1-2所示，请画出中线段 AB绕着直线I旋转一周形成的空间图形.【导学号：90662019】图 1-1-2思路探究线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和I的位置关系及旋转的方 式和方向，可以尝试

9、画出形成的图形.解规律方法1 点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋 转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面.2在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的 实物来模拟.跟踪训练2. 本例若改为AB与I有如图1-1-3所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形.图 1-1-3解长方体中基本元素之间的关系探究问题1. 射线运动后的轨迹是什么？提示 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面.其它情况，可形成曲面.2. 如图1-1-4所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举

10、出来.图 1-1-4提示面可以列举如下：平面 A1A2B2B1，平面 A1A2D2D1，平面 C1C2D2D1，平面 B1B2C2C1，平面 A1B1C1D1,平面 A2B2C2D2.线可以列举如下：直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；点可以列举如下：点A，点A1,点B，点B1,点C，点C1,点D，点D1,点A，点B2，点C2,点D2.它们共同组成了课桌这个几何体.卜例在长方体ABCD-A B C D 中，把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中,【导学号：90662019】(1) 与直线B C平行的平面有哪几个？(2

11、) 与平面BC平行的平面有哪几个？思路探究观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系.解(1)与直线B C平行的平面有平面 ABCD，平面ADD A.(2)与平面BC平行的平面为平面 AD .母题探究：1.(1)与直线B C垂直的平面有哪几个？(2)与平面BC垂直的平面有哪几个？解(1)有平面AB，平面CD.(2)有平面AB，平面A C,平面CD，平面AC.2本例中与棱A D 相交的棱有哪几条？它们与棱 A D 所成的角是多少？ 解有 A A，A B ，D D，D C，由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱 A D 所成角都是903. 本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表

12、示面 A B与面D C之间的距 离？解A D，B C ，BC，AD的长均可以表示.规律方法1. 平行关系的判定(1) 直线与直线的平行关系：如图1-1-5，在长方体的12条棱中，分成“长” “宽” “高”三组，其中“高” AA1, BB1, CC1, DD1相互平行；“长” AB， DC，A1B1, D1C1 相互平行；“宽” AD, BC, A1D1, B1C1 相互平行.图 1-1-5(2) 直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某 一平面不相交，就平行.(3) 平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行.2. 垂直关系的判定(1) 直线与平面的垂直关系：在长方

13、体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有 且只有一个公共点，则二者垂直.(2) 平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者 垂直.当堂达标固双基1 .下列命题中正确的个数为()书桌面是平面；9个平面重叠起来，要比7个平面重叠起来厚；有一个平 面的长是50 m，宽是20 m；平面是绝对平的、无厚度的、可以无限延展的抽 象的数学概念.A. 1 B. 2 C. 3D. 4A 由平面的概念知，只有 正确.2. 如图1-1-6所示的是平行四边形 ABCD所在的平面，有下列表示方法：平 面ABCD;平面BD;平面AD;平面ABC;AC;平面a其中不正确 的是()【导学号：906620

14、19】图 1-1-6A .B .C.D .D 中AD不为对角线，故错误；中漏掉平面”两字，故错误.3. 下列结论正确的个数有()曲面上可以存在直线；平面上可存在曲线；曲线运动的轨迹可形成平面；直线运动的轨迹可形成曲面；曲面上不能画出直线.A. 3个 B . 4个 C . 5个 D . 2个B 只有不正确.4. 线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD,将CD沿铅垂线 方向向下移动3 cm后记为C D ，再将C D 沿水平方向向左移动4 cm后 记为A B，依次连接构成长方体 ABCD-A B C D.(1)该长方体的高为;【导学号：90662019】平面A B BA与平面CDD C间的距离为;点A到平面BCC B的距离为.解析 如图，在长方体 ABCD A B C D中，AB= 5 cm, BC = 4 cm, CC = 3 cm, / 长方体的高为3 cm;平面A B BA与平面CDD C之间的距离为4 cm ;点