2001年普通高等学校春季招生考试数学试卷(北京、内蒙古、安徽卷)理(附解答)

1、更多内容见微信公众号或小编微信空间绝密启用前2001 年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至 2页第卷3至 8 页共 150 分考试时间120 分钟第卷（选择题共60分）注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式三角函数的积化和差公式sincos1 sin()sin()S台

2、侧1 (c c)l22cossin1)sin()其中 c 、 c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜sin(2高或母线长coscos1 cos()cos()球体的体积公式V球4 R 323sinsin1)cos()其中 R 表示球的半径cos(2一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）集体 M1,2,3,4,5的子集个数是（A）32（B）31（C）16（D）15（2）函数 f (x)ax (a0且a1) 对于任意的实数x, y 都有（ A ） f ( xy)f ( x) f ( y)（B ）（ C） f ( x y)

3、f ( x) f ( y)（D ）（3） limC2nnn1nC2 n2f ( xy)f (x)f ( y)f ( xy)f ( x)f ( y)（A）0（B）211（ C）（ D）24（4）函数 y1 x (x 1) 的反函数是（ A ）（ C）yx 21( 1x 0)（B ）y1x2 (x0)（D ）yx21(0x1)y1x 2 (0x1)微信公众号 : 数学第六感；微信号 : AA-teacher更多内容见微信公众号或小编微信空间（5）极坐标系中，圆4 cos3sin 的圆心的坐标是（A） (5, arcsin3 )（B ） (5, arcsin4)（ C） (5,arcsin3)（D

4、）(5,arcsin4)255525（6）设动点P 在直线 x1上， O 为坐标原点以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt OPQ ，则动点 Q 的轨迹是（A）圆（ B）两条平行直线（ C）抛物线（ D）双曲线（7）已知 f ( x6 ) log 2x ，那么 f (8)等于4（B）8（C）18（ D）1（ A ）23（8）若 A、B 是锐角ABC 的两个内角，则点P(cos Bsin A,sin B cos A) 在（ A ）第一象限（B ）第二象限（ C）第三象限（D ）第四象限（ 9）如果圆锥的侧面展开图是半圆， 那么这个圆锥的顶角 （圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（A） 30（B

5、） 45（C） 60（10）若实数 a, b满足 a b 2 ，则 3a3b 的最小值是（A）18（B）6（C） 23（ 11）右图是正方体的平面展开图在这个正方体中， BM与ED 平行 CN 与 BE 是异面直线CN与 BM成60 角DM 与 BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（ A ）（B ）（ C）（D ）（ 12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的件）近似地满足（ D） 90（ D）243n 个月内累积的需求量Sn （万Snn (21n n2 5)( n 1,2, ,12)90按此预测，在本年度内，需求量超过1.5 万件的月份是（A）5 月、6 月（B）6 月、7

6、月（C）7月、 8月（D）8月、9 月绝密启用前2001 年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学（理工农医类）第卷（非选择题共90 分）注意事项：微信公众号 : 数学第六感；微信号 : AA-teacher更多内容见微信公众号或小编微信空间1.第卷共6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中2.答卷前将密封线内的项目填写清楚题号二三总分181920211722分数得分评卷人二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16分把答案填在题中横线上（13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于 _（14）椭圆 x 24 y24 长轴上一个顶点为A，以 A 为直角顶点作一个内接

7、于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_（ 15）已知 sin 2sin2sin21(、 均为锐角），那么 cos coscos 的最大值等于_（16）已知m 、 n 是直线，、是平面，给出下列命题：若,m, nm ，则n或n；若，m,n ，则m n ；若m 不垂直于，则m 不可能垂直于内的无数条直线；若m ， n m ，且n, n，则n 且 n 其中正确的命题的序号是_ （注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6 小题，共74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤得分评卷人（ 17）（本小题满分12 分）设函数xa( )(a b0)，求f (x)的单调区间， 并证明f

8、 (x)在其单调区间上的单调f xbx性得分评卷人（ 18）（本小题满分12 分）已知 z71( zC 且z1 ) （）证明 1z z2z3z 4z5z60 ；（）设 z 的辐角为，求 coscos 2cos4 的值微信公众号 : 数学第六感；微信号 : AA-teacher更多内容见微信公众号或小编微信空间得分评卷人（ 19）（本小题满分 12 分）已知 VC是ABC 所在平面的一条斜线，点 N 是 V 在平面 ABC 上的射影， 且在 ABC的高 CD 上 ABa,VC 与 AB 之间的距离为 h,点 M VC （）证明 MDC 是二面角 MAB C 的平面角；（）当 MDC = CVN

9、时，证明 VC平面 AMB ；（）若 MDC = CVN=(0) ，求四面体 MABC 的体积2得分评卷人（ 20）（本小题满分12 分）在 1 与 2 之间插入 n 个正数 a1, a2 , a3,a n ，使这 n2 个数成等比数列；又在1与 2之间 插 入 n 个 正 数 b1, b2 ,b3 ,bn ， 使 这 n2个数成等差数列记Ana1 a2 a3 an , Bnb1 b2 b3bn （）求数列An 和 Bn 的通项；（）当 n 7 时，比较 An 与 Bn 的大小，并证明你的结论得分 评卷人（ 21）（本小题满分 12 分）某摩托车生产企业， 上年度生产摩托车的投入成本为1 万元

10、 / 辆，出厂价为1.2 万元 /辆，年销售量为 1000 辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为 x( 0x 1) ，则出厂价相应提高的比例为 0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6 x 已知年利润 =（出厂价投入成本）年销售量（）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围微信公众号 : 数学第六感；微信号 : AA-teacher内？得分评卷人更多内容见微信公众号或小编微信空间（ 22）（本小题满分14 分）已知抛物线y2px p0) 过动点

11、 M （a， 0）且斜率为1 的直线 l 与该抛物线交2 (于不同的两点 A、B， | AB |2p （）求 a 的取值范围；（）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点 N，求 Rt NAB 面积的最大值绝密启用前2001 年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，

12、 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5 分，满分60 分（ 1）A（2） C（ 3）D（4） C（5）A（6） B（ 7）D（8） B（ 9）C（10） B（11） C（12） C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4 分，满分16 分S2S16（15）26（ 16）（ 13）24（14）925三、解答题（ 17）本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力满分12 分解：函

13、数 f ( x)xa 的定义域为 ( , b) ( b, )xb微信公众号 : 数学第六感；微信号 : AA-teacher更多内容见微信公众号或小编微信空间f ( x) 在 (, b) 内是减函数， f (x) 在 ( b,) 内也是减函数4 分证明 f (x) 在 ( b,) 内是减函数取 x1 , x2( b,) ，且 x1 x2 ，那么f ( x1 )f (x2 )x1ax2ax1bx2b( a - b)( x 2x1)( x1b)( x2b) a b0,x2x10,(x1)() 0b x2b f (x1 )f (x 2 )0即 f (x) 在 (b,) 内是减函数同理可证 f(x)

14、在 (,b) 内是减函数（ 18）本小题主要考查复数的基本概念和基本运算，力满分 12 分6 分9 分12 分考查综合运用复数的知识解决问题的能解：（）由z(1zz2z3z4z5z6 )z z2z3z4z5z6z71 z z2z3z4z5z6 ，得 ( z 1)(1 z z2z3z4z5z6 ) 0 4 分因为 z1， z10，所以 1 z z2z3z4z5z60 6 分（）因为 z71, 可知 | z |1 ，所以z z1，而 z71，所以 z z61，z6z，同理 z2z5 , z4z3，z z2z4z3z5z6 由（）知zz2z4z3z5z61 ，即 z z2z4z z2z41，所以zz

15、2z4 的实部为1，8 分2而 z 的辐角为时，复数 zz2z4的实部为coscos2cos 4，所以c o sc o s2c o s4112 分2（ 19）本小题主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、 直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力满分12 分微信公众号 : 数学第六感；微信号 : AA-teacherCDAB,VN平面 ABC, NCD, AB平面 ABCVNABAB平面 VNC2VMNDVNCDMVNABDM ,ABCDMDCMABC4 MDC =CVNVNC与 DMCNCV= MCDVNC = 90DMC = VNC = 90DMVC,又ABVC6VC平面 AMB8

16、MDAB, MDVC, 且DAB, MVCMDhMDCRt MDCCMh tg10V四面体 MABCV三棱锥 C ABM1CMS ABM311h tgah32: AA-teacher更多内容见微信公众号或小编微信空间1ah 2tg 12 分6（ 20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识， 考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法满分 12 分解：（ I ） 1, a,a, a, a,2成等比数列，123n a1an a2an 1a3an 2ak an k 1122， A2(a a )( a a)( aan 2) (an 1a2)( a a ) (1 2)n2nn1 n2n 13n 1 A

17、n2 2n 1, b,b,b,b,2 成等差数列， b1bn1 23 ，123n Bnb1bnn3n22所以，数列An的通项 Ann3 n2 2 ，数列 B n 的通项 Bn（ II ） An3 n ，222 ， Bnn2 An22 n , Bn29 n2 ，4要比较 An 与 Bn 的大小，只需比较An2 与 Bn2的大小，也即比较当大小当 n7 时， 2n128， 9n 2949，得知 2n9n 2 ，444经验证 n8, n9 时，均有命题 2n9n2 成立4猜想当 n7 时有2n9 n 2 用数学归纳法证明4（ i ）当 n7 时，已验证 2 n9 n 2 ，命题成立4（ ii ）假设

18、 nk(k7) 时，命题成立，即2k9 k 2 ，4那么 2 k12 9 k 24又当 k7 时，有 k 22k 1 2k 19 (k22k1)49 (k1) 244 分6 分n 7 时， 2n 与 9 n 2 的49 分这就是说，当 n k 1 时，命题 2n9 n2 成立4根据（ i ）、（ ii ），可知命题对于 n7 都成立微信公众号 : 数学第六感；微信号 : AA-teacher更多内容见微信公众号或小编微信空间故当 n7 时， AnBn12 分（ 21）本小题主要考查建立函数关系、 不等式的性质和解法等内容， 考查运用数学知识解决实际问题的能力满分 12 分解：（）由题意得y1.2(10.75 x)1 (1x)1000 (1 0.6x)(0x 1) ，4 分整理得y60x220x200(0x 1) 6 分（）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当y(1.21) 10000,0x1.即60 x220x0,9 分0x1.解不等式得0x13答：为 保证 本年度 的年 利润比 上年