2018年河南省高考数学一诊试卷(文科)

1、2018 年河南省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）集合 A= x R| 332 x27 ， B= x Z| 3x1 ，则 A B 中元素的个数为（）A0B1C2D32（5 分）已知 aR，复数 z=，若=z，则 a=（）A1B1 C2D 23（ 5 分）某城市收集并整理了该市2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图， 下列结论错误的是（）A最低气温与最高气温

2、为正相关B10 月的最高气温不低于5 月的最高气温C月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1 月D最低气温低于0的月份有 4 个4（5 分）在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c若 A=，=2sinAsinB，且 b=6，则 c=（）A2B3C4D65（5 分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为： “今有底面为矩第1页（共 24页）形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为 8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A128平方尺 B138

3、平方尺 C 140平方尺 D142平方尺6（5 分）定义 x 表示不超过 x 的最大整数，（x）=x x ，例如 2.1 =2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的 z=（）A 1.4B 2.6C 4.6D 2.87（5 分）若对于任意xR 都有 f （x）+2f（ x）=3cosxsinx，则函数 f（2x）图象的对称中心为（）A（ k Z）B（ k Z）C（ k Z）D（k Z）8（ 5 分）设 x，y 满足约束条件，若 z=ax+y 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（）A2 或3 B3或2 C或D或 29（5 分）函数 f（ x）=的部分图

4、象大致是（）第2页（共 24页）ABCD10（ 5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A20+12+2B 20+6+2C20+6+2D 20+12+211（5 分）过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 作斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于A，B 两点（ A 在 B 的上方），且 l 与准线交于点 C，若，则=（）ABC3D212（ 5 分）已知函数 f（ x）=ex+x2+lnx 与函数 g（x）=ex+2x2ax 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（）A（， eBC（， 1D二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13（

5、5 分）在 ABC中， |+| =| ，| =2，则?=第3页（共 24页）14（ 5 分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行 ”，则蜜蜂 “安全飞行 ”的概率为15（ 5 分）若 （， 0），sin（+）=，则=（分）设1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，过 F116 5F的直线 l 与双曲线分别交于点A，B，且 A（m，18）在第一象限，若 ABF2 为等边三角形，则双曲线的实轴长为三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17（12 分）已知等差数列 an 的公差不为

6、零， a1=3，且 a2，a5，a14 成等比数列（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）若 bn=（ 1） n 1anan+1，求数列 bn 的前 2n 项和 S2n18（12 分）从某校高中男生中随机选取100 名学生，将他们的体重（单位： kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示（ 1）估计该校的 100 名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（ 2）若要从体重在 60， 70）， 70，80）， 80，90 三组内的男生中，用分层抽样的方法选取 6 人组成一个活动队，再从这 6 人中选 2 人当正副队长，求这 2人中至少有 1 人体重在 70， 80）内的概率19（

7、12 分）如图，在三棱台 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E平面 ABC，且 ACB=90（ 1）求证： B1 C平面 A1DE；第4页（共 24页）（ 2）若 AC=3BC=6， AB1C 为等边三角形，求四棱锥A1 B1C1 ED的体积20（ 12 分）如图，椭圆W：+=1（ab0）的焦距与椭圆：+y2=1的短轴长相等， 且 W 与 的长轴长相等， 这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线 l 经过 在 y 轴正半轴上的顶点 B 且与直线 OA（O 为坐标原点）垂直， l 与的另一个交点为 C，l 与 W 交于 M ，N 两点（1）求 W 的标

8、准方程：（2）求21（ 12 分）已知函数 f （x）=x lnx（ 1）若曲线 y=f（x）在 x=x0 处的切线经过坐标原点，求x0 及该切线的方程；（ 2）设 g（x）=（e1）x，若函数 F（x）=的值域为 R，求实数 a的取值范围请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（ 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线 l1 的参数方程为（t 为参数），直线 l2 的参数方程为（m 为参数），设直线 l1 与 l2 的交点为 P，当k 变化时， P 的轨迹为曲线C1第5页（共 24页）（ 1）求出曲线 C1 的普通

9、方程；（ 2）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2 的极坐标方程为 sin（+）=4，点 Q 为曲线 C1 的动点，求点Q 到直线 C2 的距离的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（ x） =| x+a| （ a R）（ 1）若 f （x） | 2x+3| 的解集为 3， 1 ，求 a 的值；（ 2）若 ? xR，不等式 f（x）+| xa| a22a 恒成立，求实数 a 的取值范围第6页（共 24页）2018 年河南省高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一

10、项是符合题目要求的.1（5 分）集合 A= x R| 332 x27 ， B= x Z| 3x1 ，则 A B 中元素的个数为（）A0B1C2D3【解答】 解： A= xR| 3 32 x27 = xR| 1x1 ，B= xZ| 3 x 1 = 2， 1，0 ， A B= 0 A B 中元素的个数为 1故选： B2（5 分）已知 aR，复数 z=，若=z，则 a=（）A1B1 C2D 2【解答】 解： z=+a 1=（a1）（ a+1）i，则 =（a1）+（a+1） i， =z， a+1=0，得 a=1，故选： B3（ 5 分）某城市收集并整理了该市2017 年 1 月份至 10 月份各月最低

11、气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图第7页（共 24页）已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图， 下列结论错误的是（）A最低气温与最高气温为正相关B10 月的最高气温不低于5 月的最高气温C月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1 月D最低气温低于0的月份有 4 个【解答】解：由该市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温 （单位：）的数据的折线图，得：在 A 中，最低气温与最高气温为正相关，故 A 正确；在 B 中， 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温，故 B 正确；在 C 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现

12、在 1 月，故 C 正确；在 D 中，最低气温低于 0的月份有 3 个，故 D 错误故选： D4（5 分）在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c若 A=，=2sinAsinB，且 b=6，则 c=（）A2B3C4D6【解答】 解： ABC中， A=，b=6， a2=b2+c22bccosA，即 a2=36+c26c；又=2sinAsinB，第8页（共 24页） =2ab，即 cosC=， a2+36=4c2；由解得 c=4 或 c= 6（不合题意，舍去）； c=4故选： C5（5 分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问

13、积几何？”其意思为： “今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为 8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A128平方尺 B138平方尺 C 140平方尺 D142平方尺【解答】解：今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，构造一个长方体，其长、宽、高分别为7 尺、5尺、8 尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，这个四棱锥的外接球的半径R=（尺），这个四棱锥的外接球的表面积为 S=4R2（平方尺）=138故选： B6（5 分）定义 x 表示不超过 x 的

14、最大整数，（x）=x x ，例如 2.1 =2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的 z=（）第9页（共 24页）A 1.4B 2.6C 4.6D 2.8【解答】 解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5 1.6=3.4x=51=4满足条件 x 0，执行循环体， x=1.7， y=11.4= 0.4， x=1 1=0满足条件 x 0，执行循环体， x=0.2，y= 1 1.6=2.6，x= 1 1=2不满足条件 x0，退出循环， z=2+（ 2.6）=4.6输出 z 的值为 4.6故选： C7（5 分）若对于任意xR 都有 f （x）+2f（ x）=3cos

15、xsinx，则函数 f（2x）图象的对称中心为（）A（ k Z）B（ k Z）C（ k Z）D（k Z）【解答】 解：对任意 x R，都有 f（x）+2f（ x）=3cosxsinx ，用 x 代替 x，得 f（ x）+2f（x）=3cos（ x） sin（ x），即 f（ x）+2f（ x）=3cosx+sinx；第 10 页（共 24 页）由组成方程组，解得f（ x） =sinx+cosx， f（x）=sin（x+）， f （2x） =sin（2x+）令 2x+=k，k Z，求得 x=，故函数 f（2x）图象的对称中心为（，0），kZ，故选： D8（ 5 分）设 x，y 满足约束条件，若

16、z=ax+y 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（）A2 或3 B3或2 C或D或 2【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 OAB）由 z=yax 得 y=ax+z，即直线的截距最大， z 也最大若 a=0，此时 y=z，此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件，若 a0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a0，要使 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 2xy=0 平行，此时 a=2，若 a0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a0，要使 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 x+ y=1

17、平行，此时 a= 3，综上 a=3 或 a=2，故选： A第 11 页（共 24 页）9（5 分）函数 f（ x）=的部分图象大致是（）ABCD【解答】解：函数 f（x）的定义域为（，）（，）（，+）f（ x）=f（x）， f（x）为偶函数， f（x）的图象关于 y 轴对称，故排除 A，第 12 页（共 24 页）令 f（ x）=0，即=0，解得 x=0，函数 f（x）只有一个零点，故排除D，当 x=1 时， f（1）=0，故排除 C，综上所述，只有B 符合，故选： B10（ 5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A20+12+2B20+6 +2C20+6+2D 20+

18、12 +2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱柱，棱锥的底面为矩形 ABCD，底面与一个侧面 PBC垂直，PB=PC=4，AB=3SABCD=3=12，S PBC=，S PCD=S PBA=， PAD中 AP=PD=5，AD=4， AD 边上的高为，=， S PAD则该几何体的表面积为 12+8+6+6+2=12+20+2，故选： D第 13 页（共 24 页）11（5 分）过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 作斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于A，B 两点（ A 在 B 的上方），且 l 与准线交于点 C，若，则=（）ABC3D2【解答】 解：根据题意，设 | AF| =a，

19、| BF| =b，作 AM、BN 垂直准线于点 M 、 N，则有 | BF| =| BN| =b， | AF| =| AM| =a，若，则有 | CB| =4| BF| ，即 | CB| =4| BN| ，又由 BNAM，则有 | CA| =4| AM| ，即有 4b+a+b=4a，变形可得=，即 = ，故选： A（分）已知函数x+x2+lnx 与函数 g（x）=ex+2x2ax 的图象上存在12 5f（ x）=e关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围为（）A（， eBC（， 1D第 14 页（共 24 页）【解答】 解：由题意知，方程g（ x） f（ x） =0 在（ 0，+）上有解，

20、即 ex+2x2+axlnxex x2，即=0在（ ， ）上有解，=0x+a0 +即函数 y=x+a 与 y=在（ 0， +）上有交点，y=的导数为 y=，当 xe 时， y 0，函数 y=递减；当 0x e 时， y 0，函数 y=递增可得 x=e 处函数 y=取得极大值，函数 y=x+a 与 y=在（ 0，+）上的图象如右：当直线 y=x+a 与 y=相切时，切点为（ 1， 0），可得 a=01=1，由图象可得 a 的取值范围是（，1 故选： C二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13（5 分）在 ABC中， |+| =| ，| =2，则?=4【解答】 解：在 AB

21、C中， |+| =| ，可得|+|2=|2，即有2+2+2?=2+22?，即为?=0，第 15 页（共 24 页）则 ABC为直角三角形， A 为直角，则?=?=| ?| ?cosB=| 2=4故答案为： 414（ 5 分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行 ”，则蜜蜂 “安全飞行 ”的概率为【解答】 解：如图，设正方体的棱长为2a，则其内切球的半径为a，则，蜜蜂 “安全飞行 ”的概率为 P=故答案为：15（ 5 分）若 （， 0），sin（+）=，则=【解答】 解： （，0）， sin（+） =， cos（ +）=，则

22、=第 16 页（共 24 页）=，故答案为：（分）设1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，过 F116 5F的直线 l 与双曲线分别交于点A，B，且 A（m，18）在第一象限，若 ABF2 为等边三角形，则双曲线的实轴长为2【解答】 解：根据双曲线的定义，可得| AF1| | AF2| =2a， ABF2 是等边三角形，即 | AF2| =| AB| ， | BF1| =2a，又 | BF2| | BF1| =2a， | BF2| =| BF1|+ 2a=4a， BF1F2 中， | BF1| =2a，| BF2| =4a， F1BF2=120， | F1F2| 2=| BF1 | 2+| BF

23、2| 22| BF1| ?| BF2| cos120，即 4c2=4a2+16a222a4a（ ） =28a2，解得 c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得=，则 m= ，由 A 在双曲线上，可得=1，解得 a=，则 2a=2故答案为： 2第 17 页（共 24 页）三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17（12 分）已知等差数列 an 的公差不为零， a1=3，且 a2，a5，a14 成等比数列（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）若 bn=（ 1） n 1anan+1，求数列 bn 的前 2n 项和 S2n【解答】解：（

24、1）设公差为 d，由，得，化简得 d2=2a1d，因为 d0，a1=3，所以 d=6，所以 an=6n 3（ 2）因为，所以（ 36（ 2n）29），所以，即 S （ ）=2n=361+2+3+4+ + 2n1+2n18（12 分）从某校高中男生中随机选取100 名学生，将他们的体重（单位： kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示（ 1）估计该校的 100 名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（ 2）若要从体重在 60， 70）， 70，80）， 80，90 三组内的男生中，用分层抽第 18 页（共 24 页）样的方法选取 6 人组成一个活动队，再从这 6 人中选 2 人

25、当正副队长，求这 2 人中至少有 1 人体重在 70， 80）内的概率【解答】 解：（1）由频率分布直方图估计该校的100 名同学的平均体重为：=45 0.005 10+55 0.035 10+65 0.030 10+75 0.020 10+85 0.01010=64.5（ 2）要从体重在 60，70）， 70，80）， 80， 90 三组内的男生中，用分层抽样的方法选取 6 人组成一个活动队，体重在 60， 70）内的男生中选： 6=3 人，体重在 70， 80）内的男生中选： 6=2 人，体重在 80， 90 内的男生中选： 6=1 人，再从这 6 人中选 2 人当正副队长，基本事件总数

26、n=15，这 2 人中至少有 1 人体重在 70， 80）内的概率 p=1=19（12 分）如图，在三棱台 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E平面 ABC，且 ACB=90（ 1）求证： B1 C平面 A1DE；（ 2）若 AC=3BC=6， AB1C 为等边三角形，求四棱锥 A1 B1C1 ED的体积第 19 页（共 24 页）【解答】 证明：（1）在三棱台 ABCA1 B1C1 中， D，E 分别是 AB，AC 的中点，AB=2A1B1， DEBC，DB A1B1，四边形 DBB1A1 是平行四边形， A1D BB1 ， A1DDE=D，BB

27、1BC=B，A1D、 DE? 平面 A1DE，BB1、BC? 平面 BCB1 ，平面 A1 DE平面 B1BC， B1C? 平面 B1BC， B1C平面 A1DE解：（ 2） AC=3BC=6， AB1C 为等边三角形，AB=2A1B1， B1E平面 ABC，且 ACB=90 AE=3， DE=1， B1E=3，AED=90四棱锥 A1B1C1ED的体积：=SADE?B1E=320（ 12 分）如图，椭圆W：+=1（ab0）的焦距与椭圆：+y2=1的短轴长相等， 且 W 与 的长轴长相等， 这两个椭圆的在第一象限的交点为A，第 20 页（共 24 页）直线 l 经过 在 y 轴正半轴上的顶点

28、B 且与直线 OA（O 为坐标原点）垂直， l 与的另一个交点为 C，l 与 W 交于 M ，N 两点（1）求 W 的标准方程：（2）求【解答】 解：（1）由题意可得，故 W 的标准方程为（ 2）联立得，易知 B（0，1）， l 的方程为 y=3x+1联立，得 37x224x=0， x=0 或 ，第 21 页（共 24 页）联立，得 31x218x9=0，设 M （x1， y1 ）， N（x2，y2），则，故21（ 12 分）已知函数 f （x）=x lnx（ 1）若曲线 y=f（x）在 x=x0 处的切线经过坐标原点，求x0 及该切线的方程；（ 2）设 g（x）=（e1）x，若函数 F（x）

29、=的值域为 R，求实数 a的取值范围【解答】 解：（1）由已知得（x0），则，所以 x0=e，所以所求切线方程为（ 2）令，得 x1；令 f（ x） 0，得 0 x1所以 f （x）在（ 0，1）上单调递减，在 1，+）上单调递增，所以 f （x） min=f（1） =1，所以 f （x） 1， +）而 g（x）=（ e 1）x 在（， a）上单调递增，所以 g（x）（，（e1）a）欲使函数的值域为 R，须 a 0当 0a1 时，只须（ e 1） a 1，即，所以当 a1 时， f（ x） alna，+），g（x）（，（e1）a），只须 alna（ e1）a 对一切 a1 恒成立，即 lna+（e2）a0 对一切 a1第 22 页（共 24 页）恒成立，令 （x）=lnx+（e2）x（x 1），得 ，所以 （x）在（ 1，+）上为增函数，所以 （x） （ 1） =e20，所以 alna（ e1）a 对一切 a1