chapter6线性转换课件

1、第六章线性转换,6.1 线性转换介绍 6.2 线性转换的核空间及论域空间 6.3 线性转换矩阵 6.4 转换矩阵及相似矩阵,6 - 1,6.1 线性转换介绍,函数 (function) 函数T 映射一个向量空间到另一个向量空间,6 - 2,像、值域与反像,若向量v在向量空间V中，向量w在向量空间W中使得,则 (1) w 称为在 T 映射下 v 的像(image),(2) 在 V 中所有向量的像的集合称为 T 的值域(range),(3) 在 V 中所有可以使得 的向量v的集合称为向量 w 的反像(preimage),6 - 3,范例 1：从R2 映射到R2 的函数,(a)求 的像,(b)求 的

2、反像,解：,6 - 4,线性转换 (linear transformation),6 - 5,注意：,(1) 向量加法及纯量乘法运算符无论在线性转换之前或之后做运算均产生相同的结果,(2) 从一个向量空间映像到自己本身的线性转换 被称为线性运算符(linear operator),6 - 6,范例 2：证明T是从R2映射到R2的线性转换,证明：,6 - 7,故T为线性转换,6 - 8,范例 3：非线性转换的函数,6 - 9,注意：二个关于“线性”的观念,(1) 被称作是线性函数(linear function)， 因为它在图形上是一条直线,(2) 不是从向量空间R到R的线性转换， 因为它没保有

3、向量加法及纯量相乘的特性,6 - 10,零转换 (zero transformation),相等转换 (identity transformation),定理 6.1： 线性转换的性质,6 - 11,范例 4：线性转换与基底,令 为线性转换，其使得,解：,(T为线性转换),6 - 12,范例 5：矩阵定义的线性转换,函数 被定义为,解：,(向量相加),(纯量相乘),6 - 13,定理 6.2：矩阵之线性转换,令A为一mn矩阵，函数T 被定义为,是一从Rn到Rm的线性转换,注意：,6 - 14,所表示的线性转换 具有将R2中的向量以原点为基准逆时针旋转角度的特性,范例 7：平面的旋转,证明矩阵,

4、解：,(极坐标表示法),r： v的长度 ：从正x轴以逆时针计算到v的角度,6 - 15,r： T(v)的长度 +：从正x轴以逆时针计算到T(v)的角度,因此，向量T(v)和v有相同的长度，除此之外，从正x轴到T(v)的角度为 + ，也就是T(v)将使v逆时针旋转度,6 - 16,称作 R3上的投影运算符,范例 8：R3上的投影,下列矩阵表示的线性转换,6 - 17,证明T是线性转换,范例 9：从 Mmn 到 Mn m 的线性转换,解：,因此，T是从Mmn到Mn m的线性转换,6 - 18,摘要与复习 (6.1节之关键词),function: 函数 domain: 论域 codomain: 对应

5、论域 image of v under T: 在T映射下v的像 range of T: T的值域 preimage of w: w的反像 linear transformation: 线性转换 linear operator: 线性运算符 zero transformation: 零转换 identity transformation: 相等转换,6 - 19,6.2 线性转换的核空间及值域,线性转换之核空间 (kernel),令 为一线性转换,则向量空间V中满足 的所有向量所构成的集合称为T的核空间，并记作ker(T),范例 1：求线性转换的核空间,解：,6 - 20,范例 2：零转换及相等

6、转换的核空间,(a)零转换 的核空间包含了向量空间V中所有向量,(b)相等转换 的核空间只包含了向量空间V中的零向量,范例 3：求线性转换的核空间,解：,6 - 21,范例 5：求线性转换的核空间,解：,6 - 22,6 - 23,定理 6.3：核空间为V的子空间,线性转换 的核空间为V的子空间,证明：,注意： T的核空间亦可称为T的零空间(null space),6 - 24,范例 6：求核空间的基底,6 - 25,解：,6 - 26,定理 6.3 的推论,线性转换之值域 (range),6 - 27,定理 6.4：T的值域为W的子空间,证明：,6 - 28,注意：,定理 6.4 的推论,6

7、 - 29,范例 7：求线性转换值域的基底,6 - 30,解：,6 - 31,线性转换 T:VW的秩 (rank),线性转换 T:VW的核次数 (nullity),注意：,6 - 32,定理 6.5：秩与核次数的和,证明：,6 - 33,范例 8：求线性转换的秩与核次数,解：,6 - 34,范例 9：求线性转换的秩与核次数,解：,6 - 35,一对一 (one-to-one),6 - 36,映成 (onto),6 - 37,定理 6.6：一对一线性转换,证明：,6 - 38,范例 10：线性转换的一对一与非一对一,6 - 39,定理 6.7：映成线性转换,定理 6.8：一对一与映成线性转换,证

8、明：,6 - 40,范例 11：,解：,6 - 41,同构 (isomorphism),定理 6.9：同构的空间及维度,证明：,6 - 42,6 - 43,范例 12：同构的向量空间,6 - 44,摘要与复习 (6.2节之关键词),kernel of a linear transformation T: 线性转换T的核空间 range of a linear transformation T: 线性转换T的值域 rank of a linear transformation T: 线性转换T的秩 nullity of a linear transformation T: 线性转换T的核次数 o

9、ne-to-one: 一对一 onto: 映成 isomorphism(one-to-one and onto): 同构 isomorphic space: 同构的空间,6 - 45,6.3 线性转换矩阵,以矩阵表示线性转换的三个理由,易写 易读 比较适用于计算机,线性转换 T:R3R3 的二种表示法,6 - 46,定理 6.10：线性转换的标准矩阵 (standard matrix),6 - 47,证明：,6 - 48,6 - 49,范例 1：求线性转换的标准矩阵,解：,6 - 50,注意：,检查：,6 - 51,范例 2：求线性转换的标准矩阵,解：,注意： (1)从Rn到Rm的零转换的标准

10、矩阵为mn的零矩阵 (2)从Rn到Rn的相等转换的标准矩阵为n阶的单位矩阵In,6 - 52,T1:RnRm 与 T2:RmRp 的合成 (composition),定理 6.11：线性转换的合成,6 - 53,证明：,注意：,6 - 54,范例 3：合成的标准矩阵,解：,6 - 55,6 - 56,反线性转换 (inverse linear transformation),注意： 若T为可逆，则其反转换是唯一的且记作T1,6 - 57,定理 6.12：反线性转换的存在,注意： 若T为可逆且其标准矩阵为A，则T1的标准矩阵为A1,6 - 58,范例 4：求线性转换的反转换,解：,6 - 59,

11、6 - 60,T 相对于基底 B 与 B 的转换矩阵,T相对于基底B与B的转换矩阵,6 - 61,非标准基底的转换矩阵,6 - 62,6 - 63,范例 5：求一个相对于非标准基底的转换矩阵,解：,6 - 64,范例 6：,解：,检查：,6 - 65,注意：,6 - 66,摘要与复习 (6.3节之关键词),standard matrix for T: T 的标准矩阵 composition of linear transformations: 线性转换的合成 inverse linear transformation: 反线性转换 matrix of T relative to the bas

12、es B and B : T对应于基底B到B的矩阵 matrix of T relative to the basis B: T对应于基底B的矩阵,6 - 67,6.4 转移矩阵及相似性,6 - 68,两个从 到 的方法,6 - 69,范例 1：求线性转换矩阵,解：,6 - 70,6 - 71,范例 2：求线性转换矩阵,解：,6 - 72,范例 3：线性转换矩阵,解：,6 - 73,相似矩阵 (similar matrix) 对于n阶方阵A与A ，若存在一可逆矩阵P使得 则称A相似于A,定理 6.13：相似矩阵的性质 令A、B及C为n阶方阵，则下列性质为真,(1) A相似于A,(2) 若A相似于B，则B相似于A,(3) 若A相似于B且B相似于C ，则A相似于C,证明：,6 - 74,范例 4：相似矩阵,6 - 75,范例 5：两个线性转换矩阵的比较,解：,6 - 76,6 - 77,注意： 对角矩阵 在计算上的优点,6 - 78,摘要