n次独立重复试验及二项分布

1、n 次独立重复试验及二项分布一 基础知识1.条件概率及其性质(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A 和 B，在已知事件A 发生的条件下，事件 B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A) P ABP A (P(A) 0).(2)条件概率的性质非负性： 0P(B|A) 1；可加性：如果B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B C|A) P(B|A) P(C|A). 2.相互独立事件(1)对于事件A， B，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A， B 是相互独立事件 .(2)若 P(AB)P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 .(3)若A与B相互独立

2、，则A与 B， A与B， A与 B也都相互独立 .(4)若 A 与 B 相互独立，则P(B|A) P(B)，P(AB) P(B|A) P( A) P(A)P(B).(5)一般地，如果事件A1，A2， ， An(n2， n N* )相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2) P(An).互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB) 0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验与二项分布(1)

3、独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为 n 次独立重复试验 .独立重复试验的条件： 每次试验在相同条件下可重复进行；各次试验是相互独立的；每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.(2) 二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则事件 A 恰好发生 k 次的概率为k kn kP(X k) Cnp (1 p)， k0,1,2， ， n，则称随机变量X 服从二项分布，记作 X B(n， p)，并称 p 为成功概率 .判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：, 1 是否为 n 次独立重复试验； ,

4、2随机变量是否为某事件在这n 次独立重复试验中发生的次数.考点一条件概率典例精析 (1)(2019合肥模拟 )将三颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个6 点”，则条件概率P(A|B) _ ， P(B|A) _.(2)从 1,2,3,4,5中任取2 个不同的数，事件A“取到的2 个数之和为偶数”，事件B“取到的2 个数均为偶数”，则P(B|A) _.解析 (1)P(A|B)的含义是在事件 B 发生的条件下，事件A 发生的概率，即在 “ 至少出现一个 6点 ”的条件下， “ 三个点数都不相同” 的概率，因为 “ 至少出现一个6 点”有6 6 6 5 5 591 种情

5、况，“至少出现一个 6 点，且三个点数都不相同 ” 共有 C31 5 460 种情况，所以 P(A|B) 6091.P(B|A)的含义是在事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的概率，即在 “ 三个点数都不相同” 的条件下， “ 至少出现一个 6 点 ” 的概率，因为 “ 三个点数都不同” 有 65 4 120 种情况，所以1P(B|A) .2222110C3 C24221P AB1(2)P(A)2，P( AB) 2，由条件概率公式， 得 P(B|A)P A .C510 5C5102 456011答案 (1)912(2) 4 题组训练 1.(2019 石家庄摸底 )某种电路开关闭合后会出现红

6、灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为_.解析：设 “ 开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“ 开关第二次闭合后出现红灯” 为事件 B，则 “ 开关两次闭合后都出现红灯” 为事件 AB，“ 开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件 B|A，由题意得 P(B|A) P AB 2.P A5答案： 252.现有 3 道理科题和2 道文科题共 5 道题，若不放回地一次抽取2 道题，则在第1 次抽到理科题的条件下，第2 次抽到理科题的概率为_.解析： 法一 ：设第

7、1 次抽到理科题为事件A，第 2 次抽到理科题为事件 B，则 P(B|A)3 2P AB21A 5P A3 .25法二 ：在第 1 次抽到理科题的条件下，还有 2 道理科题和2 道文科题， 故在第 1 次抽到理科题的条件下，第2 次抽到理科题的概率为12.答案： 12考点二相互独立事件的概率典例精析(1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3 人需使用设备的概率为_.(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每

8、个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4 个问题就晋级下一轮的概率为_.解析 (1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A) 0.6，P(B)P(C) 0.5，P(D ) 0.4，恰好3 人使用设备的概率P1P( A BCDA B CDAB C DABC D ) (1 0.6) 0.50.5 0.4 0.6 (1 0.5) 0.50.4 0.6 0.5 (1 0.5) 0.4 0.6 0.5 0.5 (1 0.4) 0.25，4 人使用设备的概率P2 0.60.5 0.5 0.4 0.06，故所求概率 P 0.25 0.06 0.31.(

9、2)依题意， 该选手第2 个问题回答错误， 第 3,4 个问题均回答正确， 第 1 个问题回答正误均有可能，则所求概率P 1 0.2 0.82 0.128.答案 (1)0.31 (2)0.128变式发散 1.(变设问 ) 保持本例 (2) 条件不变，则该选手恰好回答了5 个问题就晋级下一轮的概率为_.解析： 依题意，该选手第3 个问题的回答是错误的，第4,5 个问题均回答正确，第 1,2个问题回答均错误或有且只有1 个错误，则所求概率 P 0.23 0.82 2 0.2 0.8 0.2 0.82 0.005 12 0.040 96 0.046 08. 答案： 0.046 082.(变设问 )

10、保持本例 (2) 条件不变，则该选手回答了5 个问题 (5 个问题必须全部回答)就结束的概率为_.解析： 依题意，设答对的事件为A，可分第3 个回答正确与错误两类，若第3 个回答正确，则有 A A A A 或 A A A A 两类情况，其概率为： 0.80.2 0.8 0.2 0.2 0.2 0.8 0.2 0.025 6 0.006 4 0.032.若该选手第 3 个问题的回答是错误的，第 1,2 个问题回答均错误或有且只有 1 个错误， 则所求概率 P 0.23 20.2 0.8 0.2 0.008 0.064 0.072.所以所求概率为 0.032 0.072 0.104.答案： 0.1

11、04题组训练 1.在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4 系列的考查中， 甲同学选做不等式选讲的概率为1，乙同学选做不等式选讲的概率为1，假定二人的选择相互之间没有影响，那34么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1 人选做不等式选讲的概率为_.解析： 记高三的某次模拟考试中“ 甲同学不选做不等式选讲” 为事件 A，“ 乙同学不选做不等式选讲” 为事件 B，且 A， B 相互独立 .依题意，P(A) 1 1 2， P(B) 1 13，3344231所以 P(AB ) P(A) P(B) .又因为甲、 乙二人至少有一人选做不等式选讲 的对立事件为甲、 乙二人都不选做 不等式选讲，所以所求概率为1

12、P(AB) 1 1212.答案： 122.从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到111红灯的概率分别为， ， .(1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列；(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1 个红灯的概率 .解： (1)随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2,3，则 P(X 0)11111 21 31 44，11111111111P(X1) 21 31 41 2 314 12 13424，P(X2)1 11 1 1 1 1 1 1 111 1，2342342344P(X3)1 11 1.23424所

13、以随机变量X 的分布列为X0123P11111424424(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ 1) P(Y 0， Z1)P(Y 1，Z 0) P(Y 0)P(Z 1) P(Y 1)P(Z 0) 1 11 11 142424411 48.所以这 2 辆车共遇到1 个红灯的概率为1148.考点三独立重复试验与二项分布典例精析 九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40 只统计质量，得到的结果如下表所示：质量 /g5,15)15,25)25,35)35

14、,45)45,55数量4121185(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，节虾的数量 (所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4 只，记质量在虾的数量为X，求 X 的分布列 .试估计这批九 5,25) 间的九节解 (1) 由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140(4 10 12201130 840 550) 29.5(g)，因为 35 000 29.5 1 186( 只 ) ，所以这批九节虾的数量约为1 186 只.(2) 由表中数据知， 任意挑选1 只九节虾， 质量在 5,25)4 122间的概率 p ，X 的所有可4

15、05能取值为0,1,2,3,4，则 P(X 0) 35 462581，P(X1) C14 2 3 3 216，5562522232216，P(X2) C455625P(X3) C43 233 96 ，556252416P(X4) 5 625.所以 X的分布列为X01234P812162169616625625625625625题组训练 1.甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为()A.0.32B.0.18C.0.50D.0.057 6解析：选 D甲命中一次的概率为C21 0.8 (1 0.8) 0.

16、32 ，乙命中一次的概率为C210.9 (1 0.9) 0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P 0.320.18 0.057 6.2.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10 分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100 分，没有出现音乐则扣除200 分(即获得200 分 ).设每次击鼓出现音乐的概率为1，且各次击鼓出现音乐相互独立.2(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？解： (1)X 可能的取值为10,2

17、0,100， 200.根据题意，有P(X10) C3111 1123，228212 1113，P(X20) C32281 31P(X100) 2 8，1 31P(X 200) 12 8.所以 X 的分布列为X1020100 200P33118888(2)设 “ 第 i 盘游戏没有出现音乐” 为事件 Ai(i 1,2,3) ，则 P(A1) P(A2 ) P(A3) P(X1200) 8.所以 “三盘游戏中至少有一盘出现音乐” 的概率为1315111 P(A1A2A3) 18 1512512.511因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为512.课时跟踪检测A 级1.如果生男孩和生女孩的概率

18、相等，则有3 个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为()2B.1A. 3231C.4D.4解析：选 B设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X 2) P(X 2) P(X 3)21 2131 3111C322C3 23882.2.(2018 广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200 个机械元件情况如下：使用时间 /天10 202130314041 505160个数1040805020若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取3 个，则至少有2 个元件的使用寿命在 30 天以上的概率为 ()1327A. 16B.642527C.32D.32解析

19、：选 D由表可知元件使用寿命在30 天以上的频率为 1503，则所求概率为 C32320044213327 32.443.(2019 武汉调研 )小赵、小钱、小孙、小李到4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为“ 4 个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B) ()21A. 9B.345C.9D.9解析：选A小赵独自去一个景点共有43 3 3 108 种情况，即 n(B) 108,4 个人去的景点不同的情况有4n AB242A 44 3 2 1 24 种，即 n(AB) 24， P(A|B)n B108 .94.甲、乙两个小组各10 名学生的英语口语测试成绩

20、如下(单位：分 ).甲组： 76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙组： 82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这 20 名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85 分”记为事件B，则 P(AB) ，P(A|B)的值分别是 ()A.1， 5B.1， 44949C.1， 5D.1， 45959解析：选 A由题意知， P(AB) 10 5 1，根据条件概率的计算公式得P(A|B)P AB20 104P B14 5 9 9.205.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标

21、2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为()18A. 4B.915C.16D.32解析：选 D两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面 只需两次均出现1 向上，故两228次数字乘积为偶数的概率为1 6 9；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的5情况为 (1,2)或 (2,1)或 (2,2) ，概率为 1 12 1 1 536 5366 6 36.故所求条件概率为8 32.96.设由 0,1 组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0 的事件”，用 B 表示“第一位数字为 0 的事件”，则P(A|B) _.解析：因为第一位数字可为 0 或 1，所

22、以第一位数字为 0 的概率 P(B)21，第一位数字为 0 且第二1111P AB41位数字也是 0，即事件 A，B 同时发生的概率 P(AB) ，所以 P(A|B)P B .224122答案： 121，P( B C)1，P(AB C ) 1，则 P( B) _，7.事件 A，B，C 相互独立，如果 P(AB) 688P( A B) _.1PAPB6，解析： 由题意得1，P B PC8PAPBP1，C 83，所以 P(C) 1 P( C )311代入得1，由 得 P( C )1 .将 P(C)P(B)44442所以 P(B) 1 P( B ) 1，由可得 P(A) 1，所以 P( A B) P

23、( A ) P(B)21 1.23323答案 ：11238.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客， 且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为1，用 表示 5 位乘客在第20 层下电4梯的人数，则P(4) _.解析：考查一位乘客是否在第20 层下电梯为一次试验， 这是 5 次独立重复试验， 故 1k 1 k3 5k4 1 43 115B 5， 4 ，即有 P( k) C5 44， k 0,1,2,3,4,5. 故 P(4) C5 441 024.15答案：1 0249.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、

24、文考 (文化考试 )、政审 .若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列 .解：(1)设 A，B，C 分别表示事件 “ 甲、乙、丙通过复检 ” ，则所求概率P P(A BC ) P( A B C ) P( AB C) 0.5 (1 0.6) (1 0.75) (1 0.5) 0.6 (1 0.

25、75) (1 0.5)(1 0.6) 0.75 0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲 0.50.6 0.3，同理 P 乙 0.6 0.5 0.3，P 丙 0.75 0.4 0.3.甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即 XB(3,0.3) ，X 的可能取值为 0,1,2,3，其中 P(Xk)Ck3(0.3) k(1 0.3)3k， k 0,1,2,3. 故 P(X 0) C030.30 (1 0.3)3 0.343，P(X1) C13 0.3 (1 0.3)2 0.441，P(X2) C23 0.32 (10.3) 0.189，P(X3) C33 0.33 0

26、.027，故 X 的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.02710.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为2和33.假设两人射击是否击中目标相4互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1)求甲射击 4 次，至少有1 次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2 次未击中目标，则终止其射击.问：乙恰好射击5 次后，被终止射击的概率为多少？解： (1)记 “ 甲连续射击 4 次，至少有1 次未击中目标 ” 为事件 A1，则事件 A1 的对立事件 A 1 为 “甲连续射击4 次，全部击

27、中目标 ” .由题意知，射击 4次相当于做 4 次独立重复试验 .故 P( A 1) C44 2 4 16.38116 65 所以 P(A1) 1 P( A 1 ) 181 81.所以甲连续射击4 次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记 “ 甲射击4 次，恰好有2 次击中目标 ”为事件 A2， “乙射击 4 次，恰好有3 次击中目标 ” 为事件 B2，则 P(A2) C24 2 2 12 2 8 ，33273333127P(B2) C44 1464.由于甲、乙射击相互独立，8 27 1 故 P(A2B2) P(A2)P(B2) 27 648.所以两人各射击 4 次，甲恰有 2 次击

28、中目标且乙恰有3 次击中目标的概率为18.(3)记 “ 乙恰好射击5 次后，被终止射击” 为事件 A3， “ 乙第 i 次射击未击中 ” 为事件Di(i 1,2,3,4,5) ，则 A3D5D4 D 3( D 2 D 1 D 2D1D2 D 1)，1且 P(Di) 4.由于各事件相互独立，故P(A3) P(D5)P(D 4)P(D 3)P( D 2 D 1 D 2D1D2 D 1)1131145 444 1 441 024.所以乙恰好射击5 次后，被终止射击的概率为451 024.B 级1.箱子里有5 个黑球， 4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停

29、止取球，那么在第4 次取球之后停止的概率为 ()315 34A.C5C4B.499C53115 34499C.5D.C 4解析：选 B由题意知， 第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为534.992.已知盒中装有3 只螺口灯泡与7 只卡口灯泡， 这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2 次抽到的是卡口灯泡的概率为()32A. 10B.977C.8D.9解析：选 D设事件 A 为“ 第 1 次抽到的是螺口灯泡”，事件 B 为“第 2 次抽到的是7卡口

30、灯泡 ”，则 P(A) 3 ， P(AB) 3 7 7 .则所求概率为P(B|A) P AB 30 7.1010930P A3 9103.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为 1，第二轮检测不合格的概率为1 ，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品610可以销售， 则每件产品获利40元；若产品不能销售， 则每件产品亏损 80 元 .已知一箱中有 4件产品，记一箱产品获利X 元，则 P(X 80)_.解析： 由题意得该产品能销售的概率为11 113.易知 X 的所有可

31、能取值为6104320，200， 80,40,160，设 表示一箱产品中可以销售的件数，则 B 4， 3 ，所以 P(4k)C4k 3 k 1 4 k，4423 21 227所以 P(X 80)P( 2)C444 128，3331 127，P(X40) P( 3)C4446443 41 081P(X160) P(4) C444 256，故 P(X 80) P( X 80) P(X 40) P(X 160) 243. 256答案： 2432564.从某市的高一学生中随机抽取400 名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图 .(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的

32、概率；(2)假设该市高一学生的体重2X 服从正态分布 N(57， ).利用 (1)的结论估计该高一某个学生体重介于54 57 kg 之间的概率；从该市高一学生中随机抽取3 人，记体重介于54 57 kg 之间的人数为Y，利用 (1)的结论，求 Y 的分布列 .解： (1)这 400 名学生中，体重超过 60 kg 的频率为 (0.04 0.01) 5 1，4由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率为 14.2(2) XN(57， )，1 P(X 54) 1， 4 P(54 X 60)1 2 1412， P(54 X 57)1 1 1，224即高一某个学生体重介于54 57 kg 之间的概率为14.该市高一学生总体很大，从该市高一学生中随机抽取 3 人，可以视为独立重复试验，其中体重介于54 57 kg 之间的人数Y B 3， 14 ，i1 i 3 3 i其中 P(Y i) C3，