相似矩阵矩阵可对角化的条件

1、1,2 矩阵可对角化的条件,一、相似矩阵及其性质 二、矩阵可对角化的条件,P2/11,2 相似矩阵可对角化的条件,一、相似矩阵及其性质,定义3.3 设A, B均为n阶方阵, 若可逆矩阵P, 使得 P1AP = B, (3.8) 则称A与B相似, 记作AB. 性质3.1 基本性质 1) 反身性; 定理3.5 若AB, 则 |A| = |B|; 2) R(A) = R(B); 3) A1 B1, A, B均可逆.,2) 对称性;,3) 传递性.,P3/11,2 相似矩阵可对角化的条件,若,推论 3.2,定理3.6 若AB, 则A与B的特征多项式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 证明 AB 可逆阵

2、P, 使得P1AP = B,则l1, l2, ,ln 是A的n个特征值.,推论3.3 若AB, 则AmBm, mZ.,P4/11,2 相似矩阵可对角化的条件,定理3.7 A与对角矩阵相似 A有n个线性无关的特征向量. 证明 “” 设可逆阵P, 使 P1AP = L 为对角阵. 将P按列分块: P = (p1, p2, , pn), 因而有 于是有 Api = li pi, i = 1, 2, , n.,二、矩阵可对角化的条件,P5/11,2 相似矩阵可对角化的条件,“” 设p1, p2, , pn为A的n个线性无关的特征向量,则有Api = li pi, i = 1, 2, , n. 即 即A

3、P = PL . 又P可逆, 则有 P1AP = L 为对角阵.,P6/11,2 相似矩阵可对角化的条件,推论3.4 若An的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似 注1 A可对角化, 但A未必有n个相异的特征值, 如aE 可对角化, 但其只有一个n重特征值. 注2 若A的特征方程有重根, 此时不一定有n个线性 无关的特征向量, 从而A不一定可对角化, 但若能 找到n个线性无关的特征向量, 则A仍可对角化. 定理3.8 设li为An的 ni重特征值, i = 1, 2, , m, n1+ n2+ nm= n, 则 AnL (对角矩阵) R(liEA) = nni . 证明 “” AnL 可逆阵P

4、使P 1AP = L ,P7/11,2 相似矩阵可对角化的条件,即,即pij, i =1, , m, j = 1, , ni 是方程组,的解.,P8/11,2 相似矩阵可对角化的条件,则,“”,的基础解系有ni个线性无关的向量,矛盾,因AL, 由定理3.7知A有n个线性无关的特征向量,若,P9/11,2 相似矩阵可对角化的条件,A能否对角化? 若能对角化, 则求出可逆矩阵P, 使P 1AP为对角阵.,例3.3 设,解,故A的全部特征值为l1 = l2 = 1, l3 = 2,P10/11,2 相似矩阵可对角化的条件,将l1 = l2 = 1代入方程组(lEA)x = 0 , 解之得基础解系 x1 = (2, 1, 0)T, x2 = (0, 0, 1)T. 将l3 = 2 代入方程组(lEA)x = 0 , 其基础解系为x3 = (01, 1, 1)T. 由于x1, x2, x3线性无关, 则A可对角化.,令,故,注 若令,即P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要对应.,P11/11,2 相似矩阵可对角化的条件,例3.4 x, y为何值时,解,与对角矩阵相似?,则l1 = 1, l2 =