【专题复习】中考几何变换专题复习(针对几何大题的讲解)

1、中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解）几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系 (平行、全等、相似等） .基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构

2、造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引 导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力.8如图，在四边形 abcd 中，ab=ad，bc=cd，abc=adc=90，man= bad（1）如图 1，将man 绕着 a 点旋转，它的两边分别交边 bc、cd 于 m、n，试判断这一过程中线段 bm、dn 和 mn 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用 证明；（2）如图 2，将man 绕着 a 点旋转，它的两边分别交边

3、bc、cd 的延长线于 m、n，试判断这一过程中线段 bm、dn 和 mn 之间有怎样的数量关系？并证明你的结 论；（3）如图 3，将man 绕着 a 点旋转，它的两边分别交边 bc、cd 的反向延长线于 m、n，试判断这一过程中线段 bm、dn 和 mn 之间有怎样的数量关系？直接写 出结论，不用证明考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质。分析：（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换延长 mb 到 g，使 bg=dn，连接 ag目的就是要证明三角形 agm 和三角形 anm 全等将 mn 转换成 mg，那么这样 mn=bm+dn 了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键三角形 amg

4、 和 amn中，只有一条公共边 am，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形 abg和 and 中，已知了一组直角，bg=dn，ab=ad，因此两三角形全等，那么 ag=an，1=2，那么1+3=2+3=man= bad由此就构成了三角形 abe 和 aef 全等的所有条件（sas），那么就能得出 mn=gm 了（2）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换就应该在 bm 上截取 bg，使 bg=dn，连接 ag根据（1）的证法，我们可得出 dn=bg， gm=mn，那么 mn=gm=bmbg=bedn（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换

5、就应该在 dn 上截取 df，使 df=bm，连接 ag根据（1）的证法，我们可得出 daf=bam，af=am，那么 mn=nf=dndf=bnbm解答：解：（1）证明：延长 mb 到 g，使 bg=dn，连接 agabg=abc=adc=90，ab=ad，abgadnag=an，bg=dn，1=41+2=4+2=man= badgam=man又 am=am，amgamnmg=mnmg=bm+bgmn=bm+dn（2）mn=bmdn证明：在 bm 上截取 bg，使 bg=dn，连接 ag abc=adc=90，ad=ab，adnabg，an=ag，nad=gab，man=mad+mag= d

6、ab，mag= bad，man=mag，manmag，mn=mg，mn=bmdn（3）mn=dnbm点评：本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已 知和所求条件相关联全等三角形1已知正方形 abcd 中，e 为对角线 bd 上一点，过 e 点作 efbd 交 bc 于 f， 连接 df，g 为 df 中点，连接 eg，cg（1） 求证：eg=cg；（2） 将图中bef 绕 b 点逆时针旋转 45，如图所示，取 df 中点 g，连接eg，cg问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说

7、明理由；（3）将图中bef 绕 b 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正 方形的性质。专题：压轴题。分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 cg=eg（2）结论仍然成立，连接 ag，过 g 点作 mnad 于 m，与 ef 的延长线交于 n 点；再证明dagdcg，得出 ag=cg；再证出dmgfng，得到 mg=ng；再证明 amgeng，得出 ag=eg；最后证出 cg=eg（3）结论依然成立还知道 egcg解答：（1）证

8、明：在 rtfcd 中，g 为 df 的中点，cg= fd，同理，在 rtdef 中，eg= fd，cg=eg（2）解：（1）中结论仍然成立，即 eg=cg证法一：连接 ag，过 g 点作 mnad 于 m，与 ef 的延长线交于 n 点 在dag 与dcg 中，ad=cd，adg=cdg，dg=dg，dagdcg，ag=cg；在dmg 与fng 中，dgm=fgn，fg=dg，mdg=nfg，dmgfng，mg=ng；在矩形 aenm 中，am=en，在amg 与eng 中，am=en，amg=eng，mg=ng，amgeng，ag=eg，eg=cg证法二：延长 cg 至 m，使 mg=cg

9、，连接 mf，me，ec，在dcg 与fmg 中，fg=dg，mgf=cgd，mg=cg，dcgfmgmf=cd，fmg=dcg，mfcdab，efmf在 rtmfe 与 rtcbe 中，mf=cb，ef=be，mfecbemef=cebmec=mef+fec=ceb+cef=90， mec 为直角三角形mg=cg，eg= mc，eg=cg（3）解：（1）中的结论仍然成立即 eg=cg其他的结论还有：egcg点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角 形的判定和性质2（1）如图 1，已知矩形 abcd 中，点 e 是 bc 上的一动点，过点 e 作 efbd 于 点

10、f，egac 于点 g，chbd 于点 h，试证明 ch=ef+eg；（2）若点 e 在 bc 的延长线上，如图 2，过点 e 作 efbd 于点 f，egac 的延长线于点 g，chbd 于点 h，则 ef、eg、ch 三者之间具有怎样的数量关系，直 接写出你的猜想；（3）如图 3，bd 是正方形 abcd 的对角线，l 在 bd 上，且 bl=bc，连接 cl，点e 是 cl 上任一点，efbd 于点 f，egbc 于点 g，猜想 ef、eg、bd 之间具有怎 样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有 ef、eg、

11、ch 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的 条件和结论考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的 性质。专题：几何综合题。分析：（1）要证明 ch=ef+eg，首先要想到能否把线段 ch 分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作 cenh 于 n，可得矩形 efhn，很明显只需 证明 eg=cn，最后根据 aas 可求证egccne 得出结论（2） 过 c 点作 coef 于 o，可得矩形 hcof，因为 hc=do，所以只需证明 eo=eg， 最后根据 aas 可求证coecge 得出猜想（3） 连接 ac，过 e 作 eg 作 eha

12、c 于 h，交 bd 于 o，可得矩形 fohe，很明显 只需证明 eg=ch，最后根据 aas 可求证cheegc 得出猜想（4） 点 p 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点 p 到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过 c 作 cepf 于 e，可得矩形 gcef， 而且 aas 可求证cepcnp，故 cg=pfpn解答：（1）证明：过 e 点作 engh 于 n（1 分）efbd，chbd，四边形 efhn 是矩形ef=nh，fhendbc=nec四边形 abcd 是矩形，ac=bd，且互相平分 dbc=acbnec=acbegac，ench，egc=cne=

13、90，又 ec=ec，egccne（3 分）eg=cnch=cn+nh=eg+ef（4 分）（2）解：猜想 ch=efeg（5 分）（3）解：ef+eg= bd（6 分）（4）解：点 p 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点 p 到两腰的距离的 和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高如图，有 cg=pfpn注：图（1 分）（画一个图即可），题设的条件和结论（1 分）点评：此题主要考查矩形的性质和判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造 矩形和三角形全等来进行证明3如图 1，点 p 是线段 mn 的中点（1） 请你利用该图 1 画一对以点 p 为对称中心的全等三角形；（2） 请你参考这个作全等三

14、角形的方法，解答下列问题：如图 2，在 rtabc 中，bac=90，abac，点 d 是 bc 边中点，过 d 作射线交 ab 于 e，交 ca 延长线于 f，请猜想f 等于多少度时，be=cf（直接写出结 果，不必证明）；如图 3，在abc 中，如果bac 不是直角，而（1）中的其他条件不变，若 be=cf 的结论仍然成立，请写出aef 必须满足的条件，并加以证明考点：作图复杂作图；全等三角形的判定；等腰三角形的判定。专题：证明题；开放型。分析：（1）以 p 点为中心，依次做两条相互交叉但长度相等的线段，可得两个 全等三角形；（2）当 be=cf 时，f 的结论成立；第 2 小题需要用到辅

15、助线的帮助延长 fd到点 g，使得 fd=gd，连接 bg，证明dcfdbg 后推出f=g，cf=bg，从 而证明 be=cf解答：解：（1）如图：画图正确（2 分）（2）f=45时，be=cf（2 分） 答：若 be=cf 的结论仍然成立，则 ae=af，aef 是等腰三角形（1 分）证明：延长 fd 到点 g，使得 fd=gd，连接 bg 点 d 是 bc 边中点，dc=db在dcf 和dbg 中dcfdbg（2 分）f=g，cf=bg（1 分）当aef 是等腰三角形，ae=af 时，f=2，1=2，1=gbe=bgbe=cf（2 分）点评：本题涉及全等三角形，等腰梯形的相关性质和判定，并

16、考查学生的作图 能力，为综合题型，难度中上4如图，op 是aob 的平分线，请你利用该图形画一对以 op 所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在abc 中，acb 是直角，b=60，ad、ce 分别是bac、bca的平分线，ad、ce 相交于点 f请你判断并写出 fe 与 fd 之间的数量关系；（2）如图，在abc 中，如果acb 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由考点：全等三角形的判定与性质。 专题：探究型。分析：根据要求作图，此处我们可以分别做两边的垂线，这样就

17、可以利用 aas 来判定其全等了先利用 sas 来判定aefagf 得出afe=afg，fe=fg再利用 asa 来判 定cfgcfd 得到 fg=fd 所以 fe=fd解答：解：在 op 上任找一点 e，过 e 分别做 ceoa 于 c，edob 于 d如图， （1）结论为 ef=fd如图，在 ac 上截取 ag=ae，连接 fgad 是bac 的平分线，1=2，在aef 与agf 中，aefagf（sas）afe=afg，fe=fg由b=60，ad，ce 分别是bac，bca 的平分线， 22+23+b=180，2+3=60又afe 为afc 的外角，afe=cfd=afg=2+3=60c

18、fg=60即gfc=dfc，在cfg 与cfd 中，cfgcfd（asa） fg=fd，fe=fd（2）ef=fd 仍然成立如图，过点 f 分别作 fgab 于点 g，fhbc 于点 hfge=fhd=90，b=60，且 ad，ce 分别是bac，bca 的平分线， 2+3=60，f 是abc 的内心gef=bac+3=60+1，f 是abc 的内心，即 f 在abc 的角平分线上， fg=fh（角平分线上的点到角的两边相等）又hdf=b+1（外角的性质），gef=hdf在egf 与dhf 中，egfdhf（aas）， fe=fd，点评：此题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有 sss，sa

19、s，aas，hl 等5如图，已知矩形 abcd，ab= ，bc=3，在 bc 上取两点 e、f（e 在 f 左边），以 ef 为边作等边三角形 pef，使顶点 p 在 ad 上，pe、pf 分别交 ac 于点 g、h （1）求pef 的边长；（2）若pef 的边 ef 在线段 bc 上移动试猜想：ph 与 be 有什么数量关系？ 并证明你猜想的结论考点：矩形的性质；等边三角形的性质。专题：探究型。分析：（1）要求pef 的边长，需构造直角三角形，那么就过 p 作 pqbc 于 q利 用pfq 的正弦值可求出 pf，即pef 的边长；（2）猜想：phbe=1利用acb 的正切值可求出acb 的度

20、数，再由pfe=60，可得出hfc 是等腰三角形，因此就有 be+ef+cf=be+ph+2fh=3再把其中 fh 用 ph 表示，化简即可解答：解：（1）过 p 作 pqbc 于 q矩形 abcdb=90，即 abbc，又 adbc，pq=ab= （1 分）pef 是等边三角形，pfq=60在 rtpqf 中，pf=2 （3 分）pef 的边长为 2 ph 与 be 的数量关系是：phbe=1 （4 分）（2）在 rtabc 中，ab=，bc=3， 1=30（5 分）pef 是等边三角形，2=60，pf=ef=2 （6 分） 2=1+3，3=30，1=3fc=fhph+fh=2，be+ef+

21、fc=3，phbe=1注：每题只给了一种解法，其他解法按本评标相应给分（7 分）（8 分）点评：本题利用了矩形、平行线、等边、等腰三角形的性质，还有正切函数等 知识，运用的综合知识很多6（2007 牡丹江）已知四边形 abcd 中，ab=bc，abc=120，mbn=60，mbn 绕 b 点旋转，它的两边分别交 ad，dc（或它们的延长线）于 e，f 当mbn 绕 b 点旋转到 ae=cf 时（如图 1），易证 ae+cf=ef；当mbn 绕 b 点旋转到 aecf 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ae，cf，ef 又有怎样的数量关系

22、？ 请写出你的猜想，不需证明考点：全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：根据已知可以利用 sas 证明abecbf，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出abe=cbf=30，bef 等边三角形，利用等边三角形的 性质及边与边之间的关系，即可推出 ae+cf=ef同理图 2 可证明是成立的，图 3 不成立解答：解：abad，bccd，ab=bc，ae=cf，abecbf（sas）；abe=cbf，be=bf；abc=120，mbn=60，abe=cbf=30，bef 为等边三角形；ae= be，cf= bf；ae+cf= be+ bf=be=ef；图 2 成立，图 3 不成立 证明

23、图 2延长 dc 至点 k，使 ck=ae，连接 bk，则baebck，be=bk，abe=kbc，fbe=60，abc=120，fbc+abe=60，fbc+kbc=60，kbf=fbe=60，kbfebf，kf=ef，kc+cf=ef，即 ae+cf=ef图 3 不成立，ae、cf、ef 的关系是 aecf=ef点评：本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有 sss，sas，aas 等， 这些方法要求学生能够掌握并灵活运用7用两个全等的等边abc 和adc，在平面上拼成菱形 abcd，把一个含 60角的三角尺与这个菱形重合，使三角尺有两边分别在 ab、ac 上，将三角尺绕点 a 按逆

24、时针方向旋转（1） 如图 1，当三角尺的两边与 bc、cd 分别相交于点 e、f 时，观察或测量 be， cf 的长度，你能得出什么结论？证明你的结论（2） 如图 2，当三角尺的两边与 bc、cd 的延长线分别交于 e、f 时，你在（1） 中的结论还成立吗？请说明理由考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：证明题。分析：（1）连接 ac，根据等边三角形性质推出 ad=ac，d=acb=60， dac=60，求出cae=daf，证aceadf 即可；（2）连接 ac，求出adf=ace=120，证aceadf，推出 df=ce，根据 bc=cd 即可推出答案解答：（1）be=cf，

25、证明：连接 ac，adc、abc 是等边三角形，ad=ac，d=acb=60，dac=60， fae=60，cae=daf，在ace 和adf 中 ，aceadf，ce=df，四边形 abcd 是菱形， bc=cd，be=cf（2）解：结论 be=cf 仍成立， 理由是：连接 ac，由（1）知：ad=ac，fad=cae，等边三角形 abc 和等边三角形 acd， adc=acb=60，adf=ace=120，在ace 和adf 中，aceadf，df=ce，cd=bc，be=cf，即结论 be=cf 仍成立点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生熟练地运用

26、性质进行推理的能力，题目比较典型，但有一定的难度8如图，在四边形 abcd 中，ab=ad，bc=cd，abc=adc=90，man= bad（1）如图 1，将man 绕着 a 点旋转，它的两边分别交边 bc、cd 于 m、n，试判断这一过程中线段 bm、dn 和 mn 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用 证明；（2）如图 2，将man 绕着 a 点旋转，它的两边分别交边 bc、cd 的延长线于 m、n，试判断这一过程中线段 bm、dn 和 mn 之间有怎样的数量关系？并证明你的结 论；（3）如图 3，将man 绕着 a 点旋转，它的两边分别交边 bc、cd 的反向延长线于 m、n，试判

27、断这一过程中线段 bm、dn 和 mn 之间有怎样的数量关系？直接写 出结论，不用证明考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质。分析：（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换延长 mb 到 g，使 bg=dn，连接 ag目的就是要证明三角形 agm 和三角形 anm 全等将 mn 转换成 mg，那么这样 mn=bm+dn 了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键三角形 amg 和 amn中，只有一条公共边 am，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形 abg和 and 中，已知了一组直角，bg=dn，ab=ad，因此两三角形全等，那么 ag=an，1=2，那么1+3=2+3=man=

28、 bad由此就构成了三角形 abe 和 aef 全等的所有条件（sas），那么就能得出 mn=gm 了（2）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换就应该在 bm 上截取 bg，使 bg=dn，连接 ag根据（1）的证法，我们可得出 dn=bg， gm=mn，那么 mn=gm=bmbg=bedn（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换就应该在 dn 上截取 df，使 df=bm，连接 ag根据（1）的证法，我们可得出 daf=bam，af=am，那么 mn=nf=dndf=bnbm解答：解：（1）证明：延长 mb 到 g，使 bg=dn，连接 ag

29、abg=abc=adc=90，ab=ad，abgadnag=an，bg=dn，1=41+2=4+2=man= badgam=man又 am=am，amgamnmg=mnmg=bm+bgmn=bm+dn（2）mn=bmdn证明：在 bm 上截取 bg，使 bg=dn，连接 agabc=adc=90，ad=ab，adnabg，an=ag，nad=gab，man=mad+mag= dab， mag= bad，man=mag，manmag，mn=mg，mn=bmdn（3）mn=dnbm点评：本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通

30、过辅助线来构建与已 知和所求条件相关联全等三角形9（2010 义乌市）如图 1，已知abc=90，abe 是等边三角形，点 p 为射线 bc 上任意一点（点 p 与点 b 不重合），连接 ap，将线段 ap 绕点 a 逆时针旋转 60得到线段 aq，连接 qe 并延长交射线 bc 于点 f（1） 如图 2，当 bp=ba 时，ebf= 30 ，猜想qfc= 60 ；（2） 如图 1，当点 p 为射线 bc 上任意一点时，猜想qfc 的度数，并加以证明；（3）已知线段 ab=2数关系式，设 bp=x，点 q 到射线 bc 的距离为 y，求 y 关于 x 的函考点：旋转的性质；全等三角形的判定；等

31、边三角形的性质；解直角三角形。 专题：探究型。分析：（1）ebf 与abe 互余，而abe=60，即可求得ebf 的度数；利用 观察法，或量角器测量的方法即可求得qfc 的度数；（2）根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明bap=eaq，进而得到abpaeq，证得aeq=abp=90，则bef=180aeq aeb=1809060=30，qfc=ebf+bef；（3）过点 f 作 fgbe 于点 g，过点 q 作 qhbc，根据abpaeq 得到：设qe=bp=x，则 qf=qe+ef=x+2点 q 到射线 bc 的距离 y=qh=sin60qf= （x+2）， 即可求得函数关系式解答：

32、解：（1）ebf=30；（1 分）qfc=60；（2 分）（2）qfc=60 （1 分）解法 1：不妨设 bp ab，如图 1 所示 bap=baeeap=60eap，eaq=qapeap=60eap，bap=eaq （2 分）在abp 和aeq 中ab=ae，bap=eaq，ap=aq，abpaeq（sas） （3 分）aeq=abp=90 （4 分） bef=180aeqaeb=1809060=30qfc=ebf+bef=30+30=60 （5 分）（事实上当 bp ab 时，如图 2 情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论 不扣分）解法 2：设 ap 交 qf 于 mqmp 为amq

33、和fmp 共同的外角qmp=q+paq=apb+qfc，由abpaeq 得q=apb，由旋转知paq=60，qfc=paq=60，（3）在图 1 中，过点 f 作 fgbe 于点 gabe 是等边三角形，be=ab=2 由（1）得ebf=30在 rtbgf 中，bg= = ，bf= =2ef=2 （1 分） abpaeqqe=bp=x，qf=qe+ef=x+2 （2 分） 过点 q 作 qhbc，垂足为 h在 rtqhf 中，y=qh=sin60qf=即 y 关于 x 的函数关系式是：y= x+（x+2）（x0） （3 分）点评：本题把图形的旋转，与三角形的全等，三角函数，以及函数相结合，是

34、一个比较难的题目10（2009 北京）在平行四边形 abcd 中，过点 c 作 cecd 交 ad 于点 e，将线 段 ec 绕点 e 逆时针旋转 90得到线段 ef（如图 1）（1）在图 1 中画图探究：当 p 为射线 cd 上任意一点（p 不与 c 重合）时，连接ep ；绕点 e 逆时针旋转1 190得到线段 eg 判断直线 fg 与直线 cd 的位置关系，并加以证明；1 1当 p 为线段 dc 的延长线上任意一点时，连接 ep ，将线段 ep 绕点 e 逆时针旋 2 2 2转 90得到线段 ec 判断直线 c c 与直线 cd 的位置关系，画出图形并直接写2 1 2出你的结论（2）若 a

35、d=6，tanb= ，ae=1，在的条件下，设 cp =x，s1间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围p1fg1，求 y 与 x 之考点：二次函数综合题。专题：探究型。分析：（1）说明p ec 按要求旋转后得到的g ef 全等，再结合1 1p ce=g fe=90去说明；按照要求画出图形，由图形即可得出答案； 1 1（2）当点 p 在线段 ch 的延长线上时，结合已知说明 ce=4，且由四边形 fech1是正方形，得 ch=ce=4，再根据题设可得 g f=xp h=x4，进而可得 y 与 x 之1 1间的函数关系式；当点 p 在线段 ch 上时，同理可得 fg =x，p h=4x，进而

36、可1 1 1得 y 与 x 之间的函数关系式；当点 p 与点 h 重合时，说明p fg 不存在，再1 1 1作综合说明即可本题第二问较难学生不明确点 p 的几种位置情况，因而不1能讨论本题考查图形变换和动点问题，而且代数和几何结合，有一定难度注意的问题：一是函数关系式不止一种，二是自变量的取值范围要正确画出（1）观察图形可知重叠三角形 abc是边长为 2 的等边三角形，则这个三 角形底边上的高为 ，所以重叠三角形 abc的面积=；（2）由折叠的性质和已知可知：ad=ad=m，bd=bd=8m，所以 ab=bc=82m，ab边上的高= （4m），所以重叠三角形 abc的面积= （82m）当 d

37、为 ab 边中点时“重叠三角形”不存在，（4m）= （4m）2；故 m4而当 d 在 ab 的 点处，即 ad= 时，点 b和点 c恰在矩形 defg 边上，符合题意；当 ad 时，点 b和点 c就在矩形 defg 外了，这与已知不符，故 m ，因此 m 的取值范围为 m4解答：解：（1）直线 fg 与直线 cd 的位置关系为互相垂直1证明：如图 1，设直线 fg 与直线 cd 的交点为 h1线段 ec、ep 分别绕点 e 逆时针旋转 90依次得到线段 ef、eg ，1 1p eg =cef=90，eg =ep ，ef=ec1 1 1 1g ef=90p ef，p ec=90p ef，1 1 1 1g ef=p ec1 1g efp ec1g fe=p ce1 1eccd，p ce=90，1g fe=90 度1efh=90 度fhc=90 度fg cd1按题目要求所画图形见图 1，直线 g g 与直线 cd 的位置关系为互相垂直1 2（2）四边形 abcd 是平行四边形，b=adcad=6，ae=1，tanb= ，de=5，tanedc=tanb= 可得 ce=4由（1