《数学通讯》2002年3月第3期

1、数学通讯2002年3月第3期三角函数解题中常用数学模型构造浙江省定海一中（316000） 符海龙构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。1 构造直角三角形例1 设x，求证：cscx-ctgx-1思路分析：由、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形

2、来研究。作RtABC，令=900，AC=1，在上取一点D，记x，则cscx，ctgx，-ctgx，利用，可得cscx-ctgx-1，等号仅在x时成立。2 构造单位圆例 2若0，求证：-S扇形OP P即（-）（tgtg） 所以-tg-tg3 构造函数表达式例3已知x、y-，aR，且，求cos（x+2y）思路分析：由x3+sinx与2（4y3+sinycosy），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。设f(t)=t3+sint，t-，易证f(t)在-，上为单调递增。又题中条件变为，得f(x)= f(-2y)，x= -2y。所以cos（x+2y）=0。4构造二元一次方程例4已知f(x)=asin

3、x+bcosx，a、b为常数，又存在x1、x2，使f(x1)=f(x2)=0，且 x1-x2k，kZ，求证：对一切实数x，f(x)恒等于0。思路分析：由题设可得，视a、b为未知数，则构造出一个二元一次方程，再利用方程组特点去证之。由消元法得sinx1cosx2-sinx2cosx1= sin（x1-x2）0，故方程组只有零解，即 a=b=0，f(x)=0sinx+0cosx=0。所以对一切实数x，f(x)恒等于0。5构造一元二次方程例5已知、是的三内角，sinAsinB，且(sinC-sinA)2-4(sinA-sinB)(sinB-sinC)=0。求证：0B。思路分析：题中所给等式是b2-4

4、ac的形式，故可构造一元二次方程。又sinAsinB，故可构造方程(sinC-sinA)x2+(sinA-sinB)x+(sinB-sinC)=0。方程各项的系数之和为，所以是方程的一个根。由已知b2-4ac，知此方程的加一个根也是，根据韦达定理得，2sincos=sincos， cos=sin0， 2sin= cos1， sin ， 0B。6构造复数方程例6试证：cos-cos+cos=思路分析：由上式可用匹配的三角函数对偶式来构造复数方程，再利用复数性质解题。设a= cos-cos+cos，b= sin- sin+ sin，z=cos+isin (z7= -1)，则a+ib = z -z2

5、+z3 =+i.比较等式两边的实部，得a=，即 cos-cos+cos=7构造相似三角形例7在ABC中，已知2b=a+c，且abc，C-A=900，求sinA:sinB:sinC的值。思路分析：由C-A=900可想到相似三角形，根据相似三角形性质及勾股定理来求出三边之比。在ABC中，在AB上取一点D，满足ACD=900，可得BCD=A，B=B，ABCCBD，得，。在RtABD中，(c-y)2=x2+b2，又2b=a+c，即得3a2-8ac+3c2=0，解得a=c，又b=(a+c)=c，所以 a:b:c=c: c:c 得sinA:sinB:sinC=a:b:c=(-1): :(+1)8构造长方体

6、例8若锐角、满足cos2+cos2+cos2=1，求tgtgtg的最小值。思路分析：锐角、满足cos2+cos2+cos2=1形式满足长方体的三度平方和等于对角线的平方，故可构造长方体。使三棱长分别为a、b、c，对角线为，对角线与三条棱所成的角分别为、，则tg，tg，tg所以tgtgtg故tgtgtg的最小值是。9 构造直角坐标系中常用性质例9已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0，求证：cos2A+cos2B+cos2C=0为定值。思路分析：构造三点P（cosA，sinA），Q（cosB，sinB），R（cosC，sinC），利用求三角形重心坐标公式，可得P

7、QR的重心坐标xG=( cosA+cosB+cosC)=0，yG=( sinA+sinB+sinC)=0，又P、Q、R在同一圆周上，所以PQR的重心与外心重合，故PQR是正三角形。不仿设P、Q、R的顺序是逆时针方向，则向量、的辐角A、B、C满足下列关系：B-A=，C-B=，C-A=。于是cos2A+cos2B+cos2C=+（cos2A+cos2B+cos2C）=+（cos2A+2cos(B+C)cos(C-B)）=+（cos2A-cos(C-B)）=+sin(B+C-2A)sin(2A+B+C)= +sin(+)sin(2A+B+C)= 10构造圆锥曲线方程例10已知：+=1，求证：+=1思路分析：这是一道纯粹的三角命题，若能将题中的式子的形状而联想到椭圆方程，就有可能构造椭圆方程来证题的新途径。设椭圆C： +=1，由题设得点M（cos2A，sin2A）在椭圆C上。又N（cos2B，sin2B）也满足椭圆C，可知点N也在椭圆上。过点N的椭圆C的切线方程为 +=1，即x+y=1。又点M（cos2A，sin2A）满足x+y=1，所以点M也在此切线上。由过椭圆上一点的切线的唯一性，得点M和点N重合，于是cos2A= cos2B，sin2B=sin2A，所以