空间几何体的结构直观图和三视图教案

1、适用学科高中数学适用年级高二IIIII.适用区域人教版区域 1课时时长(分钟)2课时1I I知识点三视图、画三视图的原则、直观图、斜二测画法的步骤I i IIIIII教学目标 掌握画三视图的基本技能和方法；IIIIIIj提高学生空间想象力，体会三视图的作用.iji教学重点 画出简单组合体的三视图. I教学难点 识别三视图所表示的空间几何体.【教学建议】本节重点是认识空间几何体的结构特征.画出空间几何体的三视图、 直观图、培养空间想象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力。由空间图形数出其结构特征，由 结构特征想象出空间几何体，进行空间图形与其三视图的相互转化，是达到本节课程目标的重要方

2、法。再抽象其本质属性空间而得到。引导学生直观感知模型， 然后进行过一定量的逻辑推理训练,本节中的有关概念，主要采用分析具体实例的共同特点,教学中应充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型, 再抽象出有关空间几何体的本质属性，从而形成概念.学生在初中学过平面几何， 掌握了大量的平面几何知识,为学习立体几何打下了基础。但学习立体几何不仅需要较强的逻辑思维能力，还需要丰富的空间想象能力。学生常感到立体几何难学，究其原因主要有几点：(1 )消极心理的影响代数繁，几何难”，在学生中广为流传，使不少学生还未学习立体几何就已经产生了畏惧心理，他们对学好立体几何信心不足，对怎样学习心中无底， 这种消极心理

3、必然会给学生造成消极影响(2 )思维定势的影响受初中所学平面几何时形成的思维定式的束缚，常将平面几何中的概念、定理照搬 照用(3 )缺乏空间想象力缺乏空间想象力，常将空间问题看成平面问题，作图、识图难。作图中不知何时该用实线，何时该用虚线，作出的图形缺乏立体感。 识图中相交、异面分不清，大角、小角分不清, 是否平行、垂直分不清。【知识导图】教学过程、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法： 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，

4、帮学生建立知识网络。同学们，我们知道光由一点向外散射形成的投影称为中心投影，而在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影。初中的时候我们学习了简单立体图形的三视图，包括：正视图,左视图和俯视图。这节课我们将共同学习更多的立体图形和他们在不同投影中的三视图。设计意图：通过展示同学们熟知的物理现象以及初中学过的三视图，实现引导学生由空间图形到三视图的转换，实现“空间”到“平面”的转换，从而突破难点，突出重点。二、知识讲解【教点建议】棱柱议先展锥大量棱何体结构特征模型、图片等，让学生感受空间几何体的整体结构，然后再引导学生抽象出空间几何体的结构特征。1. 棱柱的结构特征：（1）定义：有两个面互相平行

5、，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。（2）棱柱的有关概念：棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。（4） 棱柱的表示：用底面各顶点的字母表示，如上图的六棱柱可表示为：棱柱 ABCDEABCDEF2. 棱锥的结构特征：（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。（2）棱锥的有关概念：棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的

6、底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。(3) 棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五 棱锥等。(4) 棱锥的表示：用顶点和底面各顶点的字母表示，如右图的四棱锥可表示为：棱锥S _ ABCD3. 棱台的结构特征(1) 棱台的概念：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台.(2) 棱台的有关概念：(出示模型，边对照模型边介绍)棱台的上底面、下底面、侧面、侧 棱、顶点；(3) 棱台的分类：三棱台、四棱台、五棱台、六棱台；(4 )棱台的表示方法：棱台 ABCD- ABCD(5 )棱台的特

7、点：两个底面是相似多边形，侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点.【教学建议】 这教学中可以引导学生多观察，并结合自己的经验，讨论各实物、模型、图片 的结构特征，提出适当的分类标准，在比较的过程中形成对柱、锥、台、球结构特征的直观 认识。第15页圆锥、圆台的结构特征(1) 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转形成的面 所围成的旋转体叫圆柱(2) 圆柱的有关概念：在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。(3) 圆柱的表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示为圆柱

8、00.2. 圆锥的结构特征：(1) 定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥. 圆锥的有关概念：在圆锥中，旋转的轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面， 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面， 论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。(3)圆锥的表示方法：圆锥用表示它的轴的字母表示为圆锥SO.3. 圆台的结构特征：(1) 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台(2) 圆台的有关概念：结合图形认识圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。(3) 圆台的表示方法：圆台用表示它的轴的字母表示为圆台00.4

9、. 球的结构特征：(1) 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体， 叫球体，简称球.(2) 在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直 径叫做球的直径。(3) 球的表示：球常用表示球心的字母表示为球0。5. 简单组合体的结构特征：(1) 定义：由简单几何体(如柱、锥、台、球等)组合而成的几何体叫简单组合体(2) 简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。考点3柱、锥、台、球的三视图(1)三视图的定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图

10、；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.(2 )三视图的几何作用：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度考点4直观图的斜二测画法直观图：直观图最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法.基本步骤如下：(1) 建系：在已知图形中取互相垂直的 x轴和y轴，得到直角坐标系xoy ,直观图中画成斜坐标系xoy ,两轴夹角为45 (或13

11、5(2) 平行不变：已知图形中平行于 x轴和y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x或y 轴的线段(3 )长度规则：已知图形中平行于 x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于 y轴的 线段，长度为原来的一半类型一、棱柱题精析锥、棱台的结构特征例题1判断如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出 A、B C、D、E、F这六个字母，现放 成下面三种不同的位置， 所看见的表面上的字母已表明， 则字母A、B、C对面的字母依次分 别为()A. DE、FB.F、D、EC.E、F、DD.E、D F【解析】D第一个正方体已知A,B,C,第二个正方体已知AC,D,第三个正方体已知B,C,E,且不同的面上写的字母

12、各不相同，则可知A对面标的是E, B对面标的是D, C对面标的是F.故选D.【总结与反思】 三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成。因为，在做立体图的题目时，对立体图形基本结构的认识和记忆是十分重要的。类型二圆柱、圆锥、圆台的结构特征下列几何体中是台体的是（）【解析】DA中的几何体侧棱延长线没有交于一点；B中的几何体没有两个平行的面；很明显 C中几何体是棱锥.【总结与反思】在做立体图的题目时，对立体图形基本结构的认识和记忆是十分重要的。对于台体而言，不论是棱台还是圆台他们的共同点都是：台体的上下底面是平行的关系。类型三柱、锥、台、球的三视图如例题是常见的六角螺帽，试画出它

13、的三视图【解析】10确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察在绘制三视.图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用丄）虚线表示出来从三个方向（正面，左面，上面）观察，得到三个平面图形，绘制出对应的三视图。类型四 直观图的斜二测画法例题4画棱长为4cm的正方体的直观图【解析】按照斜二测画法的步骤画正方体的直观图，先画下底面，再画棱，再画上底面画法：如图，按如下步骤完成 第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD使NBAD=45, AB=4cm,AD=2cm.第二步，过 A作z轴，使 BAz =90 .分别过点B,C,D作z轴的平行线，在 z轴及这组平行线上分别截取 AA二BB二CC二D

14、D 二4cm .第三步，连接 ab,bC,cd,da，所得图形就是正方体的直观图 【总结与反思】 熟练的掌握直观图的斜二测画法，对其步骤的顺序能够达到正确的运用。例题5长方体ABC - A|BC1D1的棱长AA =4, AB = 3, AD = 5，则从A点沿长方体表面到达G点的最短距离为（）.A. 4、5 B 3,10 C. ,74 D 8【解析】C将长方体沿AA剪开成平面图形，沿 AB 展开，ACi = $（54）23厂=3 一 10 ；沿AD展开，则有AC1 -（43）25 . 74 .综上所述，从点 A沿表面到G的最短距离为,74.设四面体的六条棱的长分别为i,i,i,i,.和a且长为

15、a的棱与长为.的棱异面，则a的取值范围是（）（A） 02（ B） 03（ C） i,、2 （ D） i,、3【解析】A设AB边长为a，PC边长为 ，E,F分别为PC,AB的中点，可知 AE=BE,四、课堂运用i.基础纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“”的面的方位是( )A 南B .北C.西D 下2. 一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是（）3. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）4.正方形OABC的边长为i cm，它是水平放置的一个

16、平面图形的直观图,则原图形的周长是( )A 6 cmC. (2 + 3 .2)cmB 8 cmD (2 + 2 3)cm答案与解析1. 【答案】B【解析】将所给图形还原为正方体，并将已知面上”、东”分别指向上面、东面，则标记“”的为北面.2. 【答案】A【解析】由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面正视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故B错；侧视图中的线应是虚线，故C错；俯视图中的线应是实线，故D错.3. 【答案】D【解析】由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是 D 4. 【答案】B【解析】如图，

17、OA = 1 cm,在 Rt OAB 中，0B = 2 2 cm ,所以 AB = 0A2+ 0B2= 3 cm 所以四边形OABC的周长为8 cm.巩固1. 关于如图所示几何体的正确说法为（） 这是一个六面体. 这是一个四棱台. 这是一个四棱柱. 此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到. 此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.A .B .C.D .2. 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 A .至多有一个是直角三角形B .至多有两个是直角三角形C.可能都是直角三角形D .必然都是非直角三角形3.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而

18、得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（）B .A .C.D .3. 已知两个圆锥，底面重合在一起 (底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离 为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为 ( )A . 2 cmB. 3 cmC. 2. 5 cmD. 5 cm4. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()12A一+ -.2 2B. 1 +孑C. 1+ .2D . 2+ 2答案与解析1. 【答案】D【解析】正确.因为有六个面，属于六面体的范围.

19、错误因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确. 正确.如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱.都正确.如图所示.2. 【答案】C【解析】注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题， 需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多.在如图所示的长方体中，三棱锥A-AC.D,的三个侧面都是直角三角形.3. 【答案】D【解析】一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.4. 答案】D【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+ 3 = 5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，

20、仍为5 cm,故选D.5. 答案】D解析】因为 AD/ BC，所以AD / BC.因为/ ABC= 45所以/ ABC = 90所以AB丄BC .所以四边形 ABCD是直角梯形，如图所示.其中，AD = AD= 1, BC = BC= 1 + .2, AB = 2,即 S 梯形 abcd = 2 +2.拔高1. 定义：底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱将正三棱柱截去一个角（如图1所示，M , N分别是AB, BC的中点）得到几何体（如图2），则该几何体按图2所示 方向的侧视图为（）2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，求该多面体最长的棱长.3.

21、 如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图厶ABC,其中D是AC的中点，在原三角形ABC中，/ ACB丰60则原图形中与线段 BD的长相等的线段有（）A . 0条B . 1条C. 2条D . 3条4. 已知某几何体的正视图和侧视图是如图中所示的等腰梯形，俯视图如图中所示外部是正方形，内部是与外部正方形同心的正方形根据图中尺寸，说明原几何体的特征，并说明该几何体的主要元素的尺寸.答案与解析1. 【答案】D【解析】由题图2侧视的方向可知，M点的投影是棱 AC的中点，N点的投影为C, E点的 投影为F，故应选D .2【答案】5 2【解析】由三视图可知此几何体的直观图如图所示，其中AB丄AC , D

22、C丄AC, DC丄BC,则 BC= ,32+ 42= 5, DA = 32 + 52 = 34, DB = 52+ 52= 5,2,门因为 5V 34 V 5 2,所以最长的棱长为 52.3【答案】C.44 B【解析】先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段把三角形 ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD = DC = BD .故选C.4.【答案】几何体是正四棱台，各要素长度见解析【解析】所求几何体是一个正四棱台，其上底边长为2 cm，下底边长为4 cm ,由三视图可 知正四棱台的斜高为 3 cm，所以正四棱台的侧棱

23、长为该正四棱台主要元素的尺寸示意图如图所示.本节讲了、课重要内容:光线自物体的前面向后投1. 视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图影所得的投影图成为 正视图”，自左向右投影所得的投影图称为侧视图”，自上向下投影所得的图形称为 俯视图”.用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为三视图”.2. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.3. 三视图中反应的长、宽、高的特点：长对正”，高

24、平齐”，宽相等”.4. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系.三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）.直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.六、课后作业基础1. 下列说法正确的是（） 棱锥的各个侧面都是三角形； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥； 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； 棱锥的各侧棱长相等.A B C D 2. 下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B. 个圆台可以由两个圆台拼合而成C. 一个圆锥可以由两个圆锥拼合

25、而成D. 个四棱台可以由两个四棱台拼合而成3. 若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可 能是（）4. 已知 ABC,选定的投影面与厶ABC所在平面平行，则经过中心投影后得到的厶 A B C 与 ABC（）A .全等B .相似C.不相似D 以上都不对答案与解析1. 【答案】B【解析】由棱锥的定义可知，棱锥的各侧面都是三角形，故正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥， 故错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故错.

26、2. 【答案】C【解析】用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体， 因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B, D选项说法是正确的若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故选项A的说法正确.3. 【答案】D【解析】满足选项 A的有三棱锥，满足选项 B的有球，满足选项 C的有正方体，故选 D.4. 【答案】B【解析】本题主要考查对中心投影的理解，根据题意画出图形如图所示.由图易得OAOAABA BOB _ BCOB，_B，COC _ AC

27、OC，_ A，C，KBCs/A，B，C1. 巩四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 （）A. 1个B . 2个C. 3个D . 4个2. 如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点 A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1,则爬行的最短路程为.3. 甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”甲说他看到的是“6”乙说他看到的是“6,丙说他看到的是“6, 丁 说他看到的是“9,则下列说法正确的是（）A .甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B. 丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C. 甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边4. 如图所示，四面体 A-BCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体A-BCD的正视图、侧视图、俯视图依次是.答案与解析1.【答案】D【解析】如图所示，在长方体 ABCD-AiBiCiDi中取四棱锥 Ai-ABCD，贝毗四棱锥的四个侧