空间几何体的表面积和体积教案

1、适用学科高中数学适用年级11高1适用区域L 1人教版区域IBIB课时时长（分钟）L 2课时知识点几何体的表面积，几何体的体积，几何体的三视图与体积和表面积；掌握球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.教学目标IIi:通过几何体的探究，渗透空间想象能力；通过对表面积和体积求解，提高学生的推理论证IIIIII能力、运算求解能力.I IM L BH *ii教学重点球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.iiIIi教学难点球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.M1：:MM【教学建议】近些年来在高考中不仅有直接求多面体、 旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位

2、置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题， 也常以几何体为依托因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用割补法”等求解。(1) 用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；(2) 考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；对于几何体表面积和体积的求解，学生的学习困难主要在两个方面：(1) 要求准确的使用几何体的特征，例如：锥体中没有直棱柱，四面体是三棱锥，棱柱的上下底面平行且全等.(2

3、)要有好的运算求解能力.【知识导图】教学过程、导入【教学建议】 导入的方法很多，仅举两种方法：态。导入是一节课必备的一个环节,是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：1思路1被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如 此宏伟的大金字塔

4、，真是一个十分难解的谜胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？设计意图：提出现实问题引起学生兴趣，激发学习的动力，从而调动学生积极性.二、知识讲解【教学建议】多面过体的面积和体积公式调函数的定义， 建议用三种语言对比的形式来加深理 第2页干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱 锥、棱台的侧面积(2) 棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.(3) 除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公式和 表面积公式可以直接推导出来.(4) 要提醒学生注意空间与平面问题的转化，

5、对这几种几何体的侧面展开图，轴截面的图等有个比较清晰的印象，在计算时能灵活转化.类型一柱体、锥体、台体的表面积和体积例题11. (2019 陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()主杈陌左视田A. 3二B. 4 二 C. 2二 4 D.4【解析】1.选D.该几何体为圆柱体的一半，可得上下两个半圆的表面积$二二=:,侧面积s2 = 2 2 2二r2 = 4 2二，所以此几何体的表面积 s = 3 s = 4 3：.【总结与反思】空间几何体的表面积的求法技巧(1) 多面体的表面积是各个面的面积之和(2) 组合体的表面积应注意重合部分的处理(3) 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，

6、计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.例题2【教学建议】本题有一定难度，视学生掌握程度选择使用.第二问可以放在类型二中放在例题1之后来讲.1. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16 2-,则圆锥的体积是()A 江 BC64二D128、2二332. 已知一个三棱台的两底面是边长分别为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积.【答案】1. A ，2.h =4.3, V =1900 cm3 .【解析】1.设圆锥的母线长为l ,底面半径为r ,高为h(如图所示),则由题意得丨=-2r, h二r,2

7、. 如图所示,三棱台ABC-A B C 中，0,0 为两底面的中心，D、D1 是BC B C的中点，则DD是梯形BCC B的高,所以s侧20 30 DD 3 = 75DD .2又A B =20,AB=30,则上、下底面面积之和为s上-sT3 202 302 ；=3253 .4所以dd=旦3.3在直角梯形O ODD中，即棱台的高为h=4、3.由 棱 台 的体 积公 式，可得 棱台 的 体积 为h ./ 43 12 V32 V33V = (S +S + Jss二X 202 +二汉30220 汉 30 =1900( cm3 )33(4440）.用a它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面

8、积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是.答案与解析1.【答案】.S1 2 ,S2ST【解析】由球的表面积公式得= 4 n,2, s2 = 4 nR22, & = 4 nR32，将R ,V 4 n& =4， 3 =JS代入 R+ 2R = 3R得 7 + 2 Js? =3S3 .2.【答案】【解析】 由图可知，若拼成一个三棱柱，只能把原三棱柱底面相接，全面积确定，为122S =2 3a 4a 亠2(3a 亠4a 亠5a) =12a 亠48 ；2a若拼成一个四棱柱，可能有把以3a为底的侧面相接以 4a为底的侧面相接和以 5a为底的侧面相接三种方案，相接的面积不在表面积中，故相接面的面积越大，得到的

9、全面积越小，上述三种方案中把以5a为底的侧面相接时，得到的四棱柱表面积最小，为2疋22S2 = 4a 3a 2(4a 3a)二 24a28.a为使表面积最小的为四棱柱，只需S2V Si,22即 24a + 28v 12a + 48,解得 0 :：: a ： 15 .3拔高I1. 已知正三棱锥 S- ABC 个正三棱柱的一个底面的三顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm ,底面边长为12 cm,内接正三棱柱的侧2面积为120 cm .(1) 求三棱柱的高；(2) 求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比.2. 已知梯形 ABCDK AD/ BC / ABC

10、= 90, AD= a, BC= 2a,/ DCB= 60,在平面 ABCD内，过C作I丄CB以I为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积.答案与解析1. 【答案】同解析【解析】(1)设正三棱柱的高为 h,底面边长为x,如图所示.则1512 又S 三棱柱侧= 3x h= 120,xh = 40.Xx = 4, Xx = 8,解得或h=10h=5.故正三棱柱的高为 10 cm或5 cm.(2)由棱锥的性质得Ss -AB1C1 侧15-5 2SS-ABC 侧2. 【答案】同解析【解析】如图，在梯形 ABCDK因为/ ABC= 90, AD/ BC AD= a, BC= 2a,/ DCB= 60

11、所以CD -BC - ADcos60=2a.第19页1.设正方体的表面积为B.2两个球的体积之比为8 : 27,那么这两个球的表面积之比为DD = AA 2AD= 4a 2a = 2a.DD所以DOa.2由于以丨为轴将梯形ABCD旋转一周后所形成的几何体为圆柱中被挖去一个底向上的圆锥，且圆锥的高等于圆柱的高.由以上的计算知圆柱的母线长为、3a，圆柱的底面半径为 2a,被挖去圆锥的母线长为2a,底面圆的半径为 a,所以圆柱的侧面积 S=2n 2a、3a =4. 3 na2，圆锥的侧面积 S2工n a 22衍2 ,2 2圆柱的底面积S3 =2a）=4na2,圆锥的底面积 S4 = n Q2 =启2

12、,组合体的上底面积 S5= S3 S= 3 n a .所以组合体的表面积 S =S, +S2 +& +S5 =473 n2 +2na2 +4 na2 +3 启2 =（43 + 9 ）na2.本节讲了、课重要内容:1. 几何体的表面积公式2. 几何体的体积公式3. 球体六、课后作业基础24,那么其外接球的体积是（）C . 4 3 n D . 32 3 nD. 8 : .27A. 2 : 3 B . 4 : 9 C. ,2 : . 33. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）32A. 12 n B. n C . 8 nD . 4 n4 .一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，

13、球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是（）八 100二3208二3500二 3416”13 二3A. cm B.cmC.cmD.cm3 3335. 等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是 （）A. S球 S圆柱 S正方体B. S正方体 S球 S圆柱C. S圆柱 S 球 S正方体D. S球 S 正方体 S圆柱答案与解析1. 【答案】C2【解析】设正方体边长为a，由题意可知，6a = 24,二a= 2.设正方体外接球的半径为 R,则3a = 2R.R= 3,. V球=3 n R3= 4 3 n .2. 【答案】B【解析】4 二 r3 : 4 -R3 二

14、r3： R3 = 8： 27,13八3 丿 r : R= 2 : 3,. S1 : S2= r2 : R2= 4 : 9.3. 【答案】A【解析】设正方体棱长为a，则a3= 8,所以a= 2.所以正方体的体对角线长为2 3,所以正方体外接球的半径为,3，所以球的表面积为4n .,3= 12n,故选 A.4. 【答案】C【解析】根据球的截面性质，有R= ,r2 + d2= .32+ 42= 5,43500 V 球=n R = n （cm3）.5. 答案】A【解析】设等边圆柱底面圆半径为r,球半径为R,正方体棱长为a,刖 24338 |3 3 Iza x3 o则 n r 2r = 3 n R =

15、a ，.= 2，.= 2 n ,3lr丿2 Jr丿、 2 2 2 S圆柱=6n r , S球=4n R , S正方体=6a ,4 二 R2S圆柱訐s正方体s圆柱6a2T 26 二 r，故选A.1.巩固几何体的三视图5aX23X兀=3R兀4 一 3(单位：m)如图1-3-19所示，则该几何体的体积为图 1-3-192. 湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm,深为1 cm的空穴，则该球半径是 cm,表面积是 cm.3. 如图1-3-20, 个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的

16、半径.图 1-3-204. 如图1-3-21所示(单位：cm)四边形ABC是直角梯形，求图中阴影部分绕 AB旋转一周所 成几何体的表面积和体积.图 1-3-21答案与解析1. 【答案】9 n + 183【解析】由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为？；上面是长方体，其长、宽、高分别为 6、3、1，所以 V= 4 n X 3 3X 2+ 1X 3X 6= 9n + 18.3 272. 【答案】5100 n【解析】设球心为 O OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D, AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R,则OD- R 1,则(R 1)2+ 32 = R,解得R= 5 cm

17、,所以该球表面积为 S= 4 n R = 4 n x5= 100 n (cm).3. 【答案】1.5【解析】设球的半径为 R,由题意可得解得R= 1.5(cm)，所以所求球的半径为 1.5 cm.4. 【答案】同解析【解析】1 1 2 2球=2*4 nX2 = 8 n (cm ),S圆台侧=n (2 + 5) . I 2+ 4 = 35 n (cm),22S 圆台下底=n X5 = 25 n (cm ),即该几何体的表面积为28 n + 35 n + 25 n = 68 n (cm ).n223又 V圆台=-3 X:52 n (cm ),o14 n 316 n 3V半球=H 丁X2 = (cm

18、 ).所以该几何体的体积为V圆台V半球=52 n16 nV(cm3).1拔如图1-3-22，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半28 n径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（）图 1-3-22A. 17 nB. 18 nC. 20 nD. 28 n2.轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积答案与解析1.【答案】A【解析】由三视图可知其对应几何体应为一个切去了187 28 nr3x = ，得r = 2，所以此几何体的表面积为8 3部分的球，由2 n r = 17 n,故选 A.2【答案】同解析【解析】如图所示，作出轴截面，因为 ABC是正

19、三角形，1所以 CD= 2AC= 2,所以 AC= 4,X4= 2 3,因为 Rt AO0 Rt ACD所以OE CDAO AC设 OE= R,则 AO= 2 i3 R,所以R=2,所以R=零.2 3 R 23所以 V球 = 3n 戌=3n 写 3 = 322； n 所以球的体积等于32 3n27解；得到增函数的定义后，可以让学生来类比写出减函数的定义：1.直棱柱与圆柱的侧面积：等于它的底面周长和高（母线）的乘积.S直棱柱侧（S圆柱）=ch，其中c为底面的周长，h为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母 线）长；2.正棱锥（圆锥）的侧面积：等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半.1 1、Se棱锥侧=ch，= nah，其中a为底面边长，h为斜咼；221$锥侧二* 1cl二n，其中c为底面周长，r为圆锥的底面半径，I为母线长；23.正棱台（圆台）的侧面积：等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半.1 n_,S正棱台侧（c c）h （a a）h，其中a, a分别是正棱台上下底面的边长，h为2 2斜高；1S正圆台侧（c C）l = nr r）l ,其中r,r分别是圆台上下底面的