第八讲--等边三角形

1、第八讲-等边三角形第八讲等边三角形一知识回顾1等边三角形的性质和判定.2,含30 RT三角形 的性质二讲解与练习1 如图所示， ABC为等边三角形，AQ=PQ , PR=PS, PR丄AB于R, PS丄AC于S,则四个 结论正确的是 P在/ A的平分线上； AS=AR ;QP IIAR ;厶 BRPQSP2如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使 AD=BE , AE与CD交于点F, AG丄CD于点G ,贝IAF3. 如图， ABC是边长为3的等边三角形， BDC是等腰三角形，且/BDC=120。以D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接M

2、N，则 AMN的周长为344. 如图，等边三角形 ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE , AE与CD交于点F， AG丄CD于点G 下列结论：AE=CD :/ AFC=120。：厶ADF是正三角形；罟4 其 中正确的结论是（填所有正确答案的序号）.5. 用一块等边三角形的硬纸片（如图甲）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边 缝忽略不计，如图乙），在 ABC的每个顶点处 各需剪掉一个四边形，其中四边形 AMDN中，Z MDN的度数为. 31 m 1 C6.如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD ,BP=AB , Z DBP= Z DBC，贝MZ BPD=度.BC7

3、下列条件： 有两个角等于60的三角形； 有一个角等于60的等腰三角形； 三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的 三角形； 有一条边上的高和中线重合的三角形，其中是等边三角形的有（填序号）.8 .如图，在等边 ABC的边BC上任取一点D,作Z ADE=60 ，DE交Z C的外角平分线于 E， 则厶ADE是三角形.cD89E是9.女口图所示，已知/ 1 = Z 2, AD=BD=4 ,CE丄AD , 2CE=AC，那么DE的长是.10如图，在 ABC 中，AB=AC , D、ABC内两点，AD平分/ BAC，/ EBC= / E=60 ，若 BE=60cm , DE=2cm，贝V BC=cm.1

4、1等边 ABC，点D是直线BC上一点，以 AD为边在AD的右侧作等边 ADE ,连接CE.(1) 如图1,若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB ;(2) 如图2,若点D在CB的延长线上，线段 CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加 以证明.12.在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、 AC 上，DC=AE , AD、BE 交于点 F,（1）请你量一量/ BFD的度数，并证明你的结 论；（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上， 其它条件不变，（1）中的结论是否成立，请画图13.已知：等边三角形 ABC(1) 如图1, P为等边 ABC外一点，且/BPC=120 .试猜想线段B

5、P、PC、AP之间的 数量关系，并证明你的猜想；(2) 如图2, P为等边 ABC内一点，且/APD=120 .求证：PA+PD+PC BD .14. 如图，已知等边三角形 ABC中，点D , E , F分别为边AB , AC，BC的中点，M为直线BC 上一动点， DMN为等边三角形(点M的位置 改变时， DMN也随之整体移动).(1) 如图1,当点M在点B左侧时，请你判断 EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线 NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理 由;(2) 如图2,当点M在BC上时，其它条件不 变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍 然成立？若成立，请利用图2证明；若不成

6、立， 请说明理由；(3) 若点M在点C右侧时，请你在图3中画出 相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出15. 如图，点C是线段AB上除点A、B外的任 意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同 旁作等边厶ACD和等边 BCE，连接AE交DC 于M，连接BD交CE于N，连接MN .(1) 求证：AE=BD ;(2) 求证：MN / AB .16 如图， ABC是边长为9cm的等边三角形，D、E是边BC、BA上的动点，D点由B点开始 以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始 以2cm/秒的速度向A点运动，D、E同时出发， 设运动时间为t,当其中一

7、点到达边的端点时， 运动便停止，在运动过程始终保持/ EDF=60 (1) 求证：/ EDB= / DFC ;(2) 当t=3秒时，求BE+CF的值；(3) 是否存在这样的t值，使得CF号cm ?若 存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由.17 ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， 延长BC至U E，使 CE=CD，过点D作DF丄BE 于F.探究FC与BE间的数量关系，并证明.18如图，在等边三角形 ABC中，AD为BC 边上的中线，以AD为一边作等边三角形 ADE ,DE与AC交于点FA(1) 试探究线段AC与线段DE的位置关系，并说明理由；(2) 连线CE，试探究线段CE与BC的数量

8、关系，并说明理由.19如图，点0是等边 ABC内一点，/AOB=110 ，Z BOC= a.以 OC 为一边作等边 三角形OCD，连接AC、AD .(1) 当a =150时，试判断厶AOD的形状，并说明理由；(2) 探究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？20如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满 足/ ACB= / ADB=60 ,/ ABD=90 寺/ DBC 求证：AC=AD .三作业1. 如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正 方向连续翻转2012次，点P依次落在点pi、P2、p2012的位置，则点P2012的横坐标为2. 已知 ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E,使CE

9、=CD=1，连接 DE，贝H DE=.3. A ABC是等边三角形，把/ A按如图折叠,则/ 1+Z 2=.4.两块完全一样的含30角的直角三nz角板，将它们重叠在起并绕其较长7直角边的中点M转动，使上面一块三A角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C,如图所示.已知AC=6，则这两块直角三角板顶点A、A之间的距离等于.5 .如图，C为线段AE上一动点（不与点 A，E 重合），在AE同侧分别作等边厶ABC和等边CDE ,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.则下列结论：AD=BE : PQ II AE ; AP=BQ ;DE=DP 其中正确的是6如图， ABC

10、是边长为6的等边三角形，P 是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C 不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时 以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不 与B重合)，过P作PE丄AB于E，连接PQ交 AB 于 D.(1) 当/ BQD=30。时，求 AP的长；(2) 当运动过程中线段ED的长是否发生变化？ 如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明 理由.7 已知：在 AOB和厶COD中，OA=OB , OC=OD .(1) 如图，若/ AOB= / COD=60 ,求证：AC=BD/ APB=60 (2) 如图，若/ AOB= / COD= a,贝V AC 与BD间的等量关系式为 ，/

11、APB的大小为 (直接写出结果，不证明)圍圉8如图，在平面直角坐标系中，等边 OAB的 顶点0为坐标原点，B点坐标为(4, 0),且厶 OAB的面积为4，点P从A点出发沿射线AB 运动.点Q从B点出发沿x轴正半轴运动，点 P、点Q同时出发，速度均为每秒2个单位长 度运动时间为t秒，过点P作PH丄x轴于点 H .(1) 求A点的坐标；(2) 当点P在线段AB上运动时，用含t的式 子表示线段BQ的长度.(3) 在点P0、点Q的运动过程，当/ PQB=30 时，求点P、点Q运动时间t的值.9.如图，已知等边三角形 ABC中，AG丄BC，PD 丄 BC，PE 丄 AC，PF 丄 AB .求证：PD+P

12、E+PF=AG .10如图，在 ABC中，AB=AC , D是三角形 夕卜一点，且/ ABD=60 , BD+DC=AB 求证： / ACD=60 第八讲等边三角形参考答案与试题解析1.2.寺_. 3.6.4.-）.5.120. 6.30 度.7. （填序号）.8._. 9. 110.解：延长ED交BC于M，延长AD 交 BC 于 N，作 DF II BC,TAB=AC ,AD 平分/ BAC , /. AN 丄 BC ,BN=CN ,/ EBC= / E=60 ,BEM 为等边三角形， EFD为等边三角形，I BE=60 , DE=2，二 DM=58 , BEM为等边三角形,二/ EMB=6

13、0 , AN 丄 BC，二/ DNM=90 , / NDM=30 , NM=29 ，二 BN=31 , BC=2BN=62 , 故答案为62.11 证明：(1)如图1,A ADE与厶ABC都 是等边三角形，AC=AB，AE=AD，/ DAE= / BAC=60 ./ DAE -/ CAD= / BAC -/ CAD .即/ CAE= / BAD . CAEBAD (SAS). /. EC=DB (全等三角形的对应边相等)； CE+CD=DB +CD=BC=AB，即 CE+CD=AB ;(2) CE+CD=AB ;理由如下：如图2, ADE 与厶ABC都是等边三角形， AC=AB , AE=AD

14、 , / DAE= / BAC=60 ./ DAE -Z BAE= / BAC -/ BAE .即/CAE= Z BAD . CAE BAD (SAS).二EC=DB (全等三角形的对应边相等);二 CE+AB=DB +BC=CD ，即 CE+AB=CD .12解：(1)Z BFD=60。在等边三角 & 形ABC与三角形CDA中，AB=AC ,八、 / BAE= / C=60, AE=CD，二 AEB 史 申轻CDA . ?/ AEB= / CDA，又/ DAC+ZADC=180 -Z C=120 ,/ AEB+ZDAC=120 ,Z AFE= Z BFD=60 (2)Z BAC= ZACB=

15、60 ,aZ EAB= ZACD=120 , ABEACD , aZ E= Z D,/ EAF= Z CAD , Z CAD+Z D=60,aZEAF+Z E=60 ,Z BFD=60 .13猜想：AP=BP+PC, (1)证明：延长BP至E,使 PE=PC，连接 CE , Z BPC=120,Z CPE=60 :又 PE=PC , CPE为等边三角形，a CP=PE=CE , ZPCE=60 ：, ABC 为等边三角形，a AC=BC ,Z BCA=60 ,Z ACB= Z PCE,Z ACB+ZBCP= / PCE + / BCP，即：/ ACP= / BCE , ACP BCE (SAS

16、), AP=BE BE=BP+PE, AP=BP+PC.(2)证明：在AD外侧作等边 AB D，则点 P在三角形ADB 外，连接PB, BC ,/ APD=120 由(1) 得 PB =AP+PD，在 PB C 中，有 PB +PCCB , PA+PD+PCCB , AB D、 ABC 是 等边三角形，AC=AB , AB =AD ,/ BAC= / DAB =60,/ BAC+Z CAD= / DAB +Z CAD，即：Z BAD= Z CAB , AB ADB , CB =BD , PA+PD+PC BD .且14解：(1)判断：EN与MF相等(或EN=MF ), 点F在直线NE上，(2)

17、 成立.连接DF , NF，证明 DBM和厶DFN全等(AAS)， ABC是等边三角形，AB=AC=BC 又I D, E, F是三边的中点， EF=DF=BF ./ BDM +Z MDF=60 ，ZFDN+Z MDF=60 ，a / BDM= / FDN，二DBM BA DFN，二 BM=FN，/ DFN= /FDB=60 ， NF II BD， E，F 分别为边 AC，BC的中点，EF是厶ABC的中位线，二EF II BD，F在直线NE上, BF=EF，MF=EN .(3) 如图，MF与EN相等的结论仍然成立(或MF=NE 成立).连接DF、DE，由(2) 知 DE=DF，/ NDE= /

18、FDM，DN=DM， DNE ba DMF， MF=NE .15.16 证明：(I)：/ EDF=60 ,二/ CDF+/ EDB=120 ,： ABC是等边三角形，二/ C=60,/ CDF+/DFC=120 ,a / EDB= / DFC;(2) / D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点 运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点 运动， t=3 秒，BE=6 , BD=3，二 CD=BC - BD=9 - 3=6,：A EBD DFC,.誅習，即斶翔,二 CF=3，二 BE+CF=6+3=9.(3) 存在，理由如下. EBDDFC ,.丁 =_=丄BDF = 2CD= ,BD=9BE

19、=9,即t衆，当t=T时，使得CF七cm.17 证明：ABC是等边三卜角形，BD 丄 AC,./DBE=30 ,/ ACB=60 , 厂/EF C E CE=CD，./ CDE= / E ,/ ACB 是厶 CDE 的外角，./ ACB= / E+/ CDE=60 ,/ E=30 ,/ E= / DBE=30 ,BD=DE , BDE是等腰三角形，/ DF丄BE , BF=EF，即 BF专BE，/ DFC=90 ,/ ACB=60 ,/ FDC=30 ,二 CF专CD珂CE , CF=LEF，二 CF半BE .18. (1)解：AC丄DE;理由如下：ABC 和厶ADE是等边三角形，/ BAC=

20、 / DAE=60 , AD为BC边上的中 线， BD=CD , / BAD= / DAC=/ BAC=30 , / CAE=60 - 30 =30，/ DAC= / CAE， AC垂直平分DE，即AC丄DE;(2)解：BC=2CE ;理由如下：I AC垂直平分DE， CD=CE， BD=CD， BC=2CE .19解：(1) OCD是等边三角形，OC=CD， 而 ABC是等边三角形，BC=AC，/ ACB=/ OCD=60 ,/ BCO= / ACD , BOCADC ,/ BOC= / ADC ,而/ BOC= a =150,/ ODC=60 ,A/ ADO=150 - 60 =90,A

21、ADO是直角三 角形；(2)T设/ CBO= / CAD=a，/ ABO=b，/ BAO=c，/ CAO=d ,则 a+b=60 , b+c=180- 110 =70, c+d=60 , a+d=50/ DAO=50 , b- d=10,( 60- a)- d=10 ,a a+d=50,即/ CAO=50 , 要使 AO=AD，需/ AOD= / ADO , a 190-a = a - 60,a =125; 要使 OA=OD，需/ OAD= / ADO ,a- 60 =50,a =110; 要使 OD=AD，需/ OAD= / AOD , a 190 -a =50,Aa =140 .所以当a为

22、110、125、140时，三角形 AOD是等腰三角形.20 证明：以AB为轴作 ABC的对称 ABC , 如图：则 AC=AC ,/ C= / C =60,/ ABC =/ABC，因为/ ABD=90 -.|Z DBC所以 2/ABD+/ DBC=180 所以/ABD+/ DBC+/ABD=180。即/ ABC+/ ABD=180 所以/ ABC +/ ABD=180。所以 D、B、C共 线又因为/ D=60 所以/ DAC=180 -/ C -/ D=60 =/D= / C 所以 ADC 是等边 三角形，所以AD=AC =AC .【作业】1.2011. 2. _岛.3.120.4.解：连接A

23、A ,点M是线段AC、线段 A C 的中点，AC=6 ,M=MC=A M=MC =3 ,/ MA C=30 ,/ MCA =/MA C=30,/MCB =180- 30 =150,/C MC=360 -(/ MCB +/ B +/ C)=180-( 150 +60 +90 ) =60,/AMA = / C MC=60 , AA M是等边三角形,AA =AM=3 ,故答案为：3.5 6解：(1) ABC是边长为6的等边三角形，/ ACB=60 ,v / BQD=30 ,二/ QPC=90 ,设 AP=x，贝U PC=6 - x, QB=x , QC=QB+BC=6+x,在 Rt QCP 中，/BQD=30 , PCQC ,即 卩 6- x時(6+x),解 得 x=2 , AP=2 ;(2)当点P、Q同时运动且速度相同时，线段 DE的长度不会改变理由如下：作QF丄AB，交直线AB 于点F，连接QE，PF， 又 PE丄AB 于 E，/ DFQ= Z亦AEP=90 ，点P、Q速度相同， 屋紳 AP=BQ， ABC是等边三角 形，/ A= / ABC= / FBQ=60 ，在厶 APE 和厶 BQF 中，/ AEP= / BFQ=90 ， / APE= / BQF， APEBQF (AAS )，AE=