选修11导数的应用单调性与极值最值教案

1、适用学科L. 一一 .高中数学1 1适用年级I高二1 1适用区域苏教版区域课时时长（分钟）丨2课时1知识点1函数的单调性与极值；2函数中含参数的单调性与极值。教学目标11.能利用导数研究函数的单调性，会用导数法求函数的单调区间.|2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.会用导数求函数的极大值和极小值教学重点1利用导数研究函数的单调性；函数极值的概念与求法教学难点用导数求函数单调区间的步骤；函数极值的求法1【知识导图】1I1导数|1导数应用几何意宜舉本初等爾数的导数教学过程、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，

2、仅举两种方法： 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质， 我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢？二、知识讲解考点1导函数判断函数的单调性用导数求函数f(X)单调性的步骤：(1 )明确函数f (x)的定义域，并求函数f(x)的导函数(X)；

3、(2 )若导函数f (x) -0(f (x)乞0)时，并求对应的解集；(3)列表，确定函数 f (x)的单调性；(4 )下结论，写出函数 f (x)的单调递增区间和单调递减区间。 注意：导函数看正负，原函数看增减。考点2 极值用导数求函数f (x)极值的步骤(1 )明确函数f(x)的定义域，并求函数 f(x)的导函数(X)；(2) 求方程f/(X) =0的根；(3) 检验f(X)在方程f (x) =0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 f(x)在这个根处取得极大值，这个根叫做函数的极大值点；如果在根的右 侧附近为正，左侧附近为负，那么函数f (x)在这个根处取得极

4、小值，这个根叫做函数的极小值点。注意：函数的极值不一定是一个，有的题可能是多个，需要灵活掌握。:一考点3 最值函数的最大值和最小值(1 )设y = f(x)是定义在区间 a,b 1上的函数，且在(a, b)内可导，求函数y = f(x)在 a,b 1 上的最大值与最小值，可分两步进行： 求y二f (x)在(a, b)内的极值； 将y = f (x)在各极值点的极值与 f (a)、f (b)比较，来确定函数的最大值和最小值。(2)若函数f (x)在a,b 1上单调增加，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值； 若函数f (x)在a,b】上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f (b

5、)为函数的最小值。注意：有时极大(小)值也是最大(小)值，有时不一定，需要具体问题具体分析。二、例题精析类型一求函数的单调区间例题1求曲线y =x3 .3x2 _9x-10的单调递增区间 。【解析】根据题意，y=3x26x-9/.y= 0, x1=-3,x2=1,(严-3)-3(-3,1)1(1,址)F y+0-0+y单增极大值单减极小值单增所以，函数的单增区间为 (：，-3)(二)。【总结与反思】本题就是单纯的考查函数的单调性，按上面的方法求导来确定函数的递增区间，属于简单题。例题2求下列函数的单调区间：(1) f x = x33x ；(2) f x =3x221 nx ；【解析】(1)f(

6、x)的定义域是R，且f (x)= 3x2 3,令f (x)= 0,得X1 = 1 , X2= 1 .列表分析如下：x(8, 1)1(1, 1)1(1 , + 8)厂(X)+0一0+f(x)/所以函数f(x)的减区间是(一1, 1)，增区间是(一8, 1)和(1 ,+8).(2)f(x)的定义域是(0,+R )，且 f (x) = 6x - 2 ,x令 f(x) = 0，得 xi =.3可宀=.3T列表分析如下:x(0,#)43,+oc)3（X）一0+f(x)/J3J 3所以函数f（x）的减区间是（0,），增区间是（，二：）33【总结与反思】在利用导数判断函数单调性时，首先要知道f（x）的定义域

7、；其次能够正确求解出函数的导数；最后利用表格法找到函数的增减区间即单调性。类型二 利用导数研究函数的极值例题1求曲线y =x3 _3x21的极值【解析】根据题意，由f （x）二3x2 -6x = 0,解得Xi二0,化=2，该函数在（-二,0）和（2：） 上单增，在（0,2）上单减，当x=0,y=1 ; x=2, y-3，所以曲线y=x33x2,1的极大 值为1 ;极小值为-3。【总结与反思】本题考查函数的极值，完全按照求函数极值的思路来解就可以，属于简单题。例题21 3求函数y x-4x 4的极值3【解析】y=x2 4 = (x+ 2)(x-2)，令 y=0，解得 * = 2,血=2.列表分析

8、如下:x(m， 2)2(2, 2)2(2,+ y+0一0+y/28极大值34极小值-一3/284所以当x= 2时，y有极大值；当x= 2时，y有极小值-33【总结与反思】 正确求解函数的导数，利用列表分析法清晰的写出函数的单调性以及极值 情况。要注意的是一个函数的极大值或极小值不一定只有一个。类型三 利用导数研究函数的最值例题132求曲线y =x -6x 9x-2在2,5上的值域。【解析】根据题意，求导y二3x212x 9 = 0 ,解得 论=1, x2 =3 ,该函数在 (-：,1和(3,：上单增，在(1,3)上单减，由函数的单调性，当 xi = 1， y=2，2为函数 的极大值；当x2 =

9、3， y = -2, -2为函数的极小值；当x=5， y =18，所以曲线在闭区间2,5上的值域为-2,18。【总结与反思】 本题考查闭区间上的值域问题，根据求函数最值的方法，可以求出结果，属于容易题。例题2mx2nx，如果g x = f x i-2x -3在x= -2处取得最小值一5，求 f x的解析式。【解析】 根据题意，求导可得 f (x) = x2 2mx n，又g x f x -2x -3 =x2 2m - 2 x n - 3，在 x = -2 处取极值，则g ：；厂2 = 2：；：-2 亠2m -2 = 0= m = 3，且 x = -2 处取最小值-5，则2t 132g( 2 )

10、 = (2) + (2 F 4 十 n 3 = -5n n = 2，” f(x)=x + 3x + 2x。3极值和【总结与反思】本题是通过函数极值来确定函数的解析式，解题中必须明确极值点,已知函数的关系，属于容易题。四、课堂运用基础ln x1.已知函数f(x)=,当exe时，则函数f (x)的最小值为 xx2函数f (x)x,( e为自然对数的底数)的最大值是 .e3函数f(x)=x+elnx的单调递增区间为 4函数f(x)=ex2x的单调递增区间是 答案与解析1.【答案】2e【解析】f (x)定义域为(0, ：) , f (x) = 1一lnx，令 f (x)二 1一= 0= x = e.x

11、x列表如下:x(0,e)ef(x)+0一f(x)/1 e f (x)在区间(e, ：)上单调减.【解析】f(x)xxe -xe1 -xe2 x，令 f(x)=与=0= x = 1e2 2e辽x乞e2时，函数f(x)单调减，.函数f(x)的最小值为f(e )2.2.【答案】e1e列表:x(31)1(1,咼)f(x)+0一f(x)/1 e1函数f (x)的最大值为f(1).e3. 【答案】(0,e【解析】函数定义域为(0, f (x) =10，故单调增区间是(0,).x4. 【答案】(In 2,：)【解析】f(x)=ex-2，令f(x) 0解得x In2，则f (x)的单调增区间是(In 2,=)

12、.巩固2 1 11 .若函数f(x)=x +ax+-在(一，址)是增函数，则a的取值范围是_x 2x2 当函数f(x)二乞，取到极值时，实数 x的值为x3.已知函数f(x)-x2，4x-3lnx在t,t 1上不单调，则t的取值范围是2答案与解析i.【答案】3,-1ii【解析】f (x) =2x a 2 ,因为f (x)在x(一，二)上为增函数，即当x(一：)时,x221 1 1 1 f (x) _0.即 2x a 牙 _0，则 a 2-2x，令 g(x) 2 _2x，而 g(x)在 x (-，二) xxx2上为减函数，所以 g(X)max =3，故a _ 3.2. 【答案】1xx xxx【解析

13、】f(xH,f(xH xe 2e 川一严，令 f(x) = (x)e =0= X = 1xxxx列表:X(严1)1(1严)f(x)-0+f(x)e/函数f (x)有极小值为f (1) =e, x =1.3.【答案】0 : t 1 或 2 : t : 33【解析】f (x) - -X 4 - xX2 4x 3x(x _1)(x _3)，由f (X)=0得函数的两x个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t,t 1)内，函数在区间t,t 11上就不单调，由t ： 1 ： t 1 或 t 3 0)在1 , + 上的最大值为x + a答案与解析11.【答案】-一6【解析】f (x) =3x2 -6a

14、x 2b_1 f(1)二11 _3a 2b - -1a 一3f (1)二0 _ 3 _6a 2b 二0 _ b_ I 一22.【答案】a a 3【解析】T f(x) = x3+ ax 2在1 , + 上是增函数, fx) = 3x + a 0在 1，+ 上 恒成立即a 3x2在1 , + g上恒成立，2又在1 , + g上 ( 3x)max= 3,3. 【答案】 3 1【解析】fx)=2小2x + a 2x2 2(X + a)2 2(x + a)令fx) = 0,解得x= ,a或x= .a(舍去)当 x .a时,f x)0 ; 当 0x0;当 x= .a时，f(x) =/,a202.【答案】(

15、2-21 n2,：)【解析】当直线y =2x a和y =ex相切时，仅有一个公共点，这时切点是(In 2,2)，直线方程是y = 2x 2 - 21 n 2，将直线y =2x 2 - 21 n 2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点.3.【答案】0,1 13 31 x 3【解析】由 f (x) In x,得 f (x)二2 ，由 f (x) ： 0 得 0 ： x ： 3 , xx x xf(x)的减区间是0,3】.由(m,m 2)0,3得0乞m乞1.4. 答案】见解析【解析】fx)= 5ax4 3bx2= x2(5ax2 3b).由题意，fx) = 0应有根x=1,故5a = 3b,2 2

16、于是 f x)= 5ax (x 1)(1)当 a 0 时,x(m， 1)1(1,0)0(0,1)1(1, )y+0一0一0+y/极大值无极值极小值/4 = f( 1) = a + b + c由表可知：U又5a = 3b,解之得：a= 3, b = 5, c= 2.0 = f(1) = a b+ c当av0时，同理可得 a= 3, b = 5, c= 2.拔高321. 已知函数f (x) =4x+ax+bx+5的图像在x=1处的切线方程为 y= 12x.(1) 求函数f (x)的解析式；(2) 求函数f(x)在3, 1上的最值.2 .已知函数f(x) = x3+ ax2 + bx(a, b R)

17、的图像过点P(1, 2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a, b的值；(2)求函数f(x)的单调区间.323 .已知函数 f(x)= x + 3x + 9x+ a.(1)求f(x)的单调递减区间；若f(x)在区间2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值答案与解析1 【答案】见解析【解析】(1) f (x) =12x2+2ax+b, f (1) =12+2a+b= 12.又x=1 , y= 12在f (x)的图像上，4+a+b+5= 12. 由得a= 3, b= 18,f (x) =4x 3x 18x+5.(2) f (x) =12x2 6x 18=0，得 x= 1 , , f (

18、1) =16, f ( ) = 61 , f ( 3)=22476, f (1) = 13.f (x)的最大值为16,最小值为76.2. 【答案】见解析2【解析】(1) f (x) =3x 2ax bf (1)=83 2a b = 8a = 4f (1)=2 _ 1 a b = 2 _b = -3(2) f(x)=x3 4x2-3x , f(x)=3x2 8x-31令f (x) =0 ,得为-3,X2，列表分析如下3x(m, 3)31(-3, 3)131(,+ 8)3y+0一0+y/极大值极小值/3.【答案】见解析【解析】(1)fx)= 3x2 + 6x+ 9.令 fx)v0，解得 XV 1 或 x3.