（推荐）第4章-级数-2

1、1,前情提要,复数项级数 收敛: 实部虚部分别收敛 绝对收敛: 每项取模, 对应的正项级数收敛 条件收敛: 不绝对收敛的情况下, 原级数收敛 幂级数 收敛圆域 收敛半径的求法: 类似正项级数的收敛性判断(比值判别法, 根植判别法)的过程, 然后得到的结果取倒数 两个重要级数 1/(1-z), R=1 1/(1+z), R=1 倒数型函数的幂级数展开,2,3 泰勒级数,一、解析函数的泰勒展开 1、定理1 2、泰勒级数的收敛半径 二、函数展开成幂级数的方法 1、直接展开法：例1，例2 2、间接展开法：例3，例4 ，例5 ，例6，例7 3、常用的泰勒级数,返回,3,1、定理1(解析圆内的展开),其中

2、：,为内以,为中心的任何一个圆周,这个圆周及其内部包含于D，且展开式唯一。,在D内解析，,设函数,Proof,一、解析函数的泰勒级数展开,为D内一点，R为 到D的边界,各点的最小距离，则在 内可以展开成幂级数。,一句话: 函数在解析圆内可展开为幂级数:,4,Proof: “存在性”,在内任取一点，由柯西积分定理：,上一页,下一页,又：,5,所以：,可以证明余项,从而：,上一页,下一页,(详细证明见书P119),6,“唯一性”反证法：,如果,能展开成另一种形式的幂级数,两边求阶导数，得：,所以：,返回,上一页,7,2、泰勒级数的收敛半径,的泰勒级数的收敛半径等于,到,的离,最近一个奇点的距离。,

3、收敛圆域为：,如：a，b，c为奇点，则收敛半径为,返回,由定理1 可知：若 在内有奇点, 则在,8,1、直接展开法：求,解：,返回,二、函数展开成幂级数的方法,f(z)无奇点,9,例2 求 在 的泰勒级数。,收敛圆域：,返回,本题用间接展开法更好,10,2、间接展开法（利用已知级数展开）,例2 的另一个方法：间接展开法,返回,f(z)的奇点为0, 与展开中心点z0=1的距离为1, 收敛圆域|z-1|1,11,例3 求 在 处的泰勒展开。,解：,返回,12,例4 求 在 处的泰勒展开。,解：,返回,13,例5 求 在 处的泰勒展开。,解：,收敛圆域,返回,14,3、常用的泰勒级数,1、,2、,3

4、、,4、,5、,6、,返回,15,例6 将 在 处展开成泰勒级数,解：,收敛半径为 4。,由,得：收敛圆域 ，,返回,16,例7：求 在 处的泰勒展开。,解：,返回,作 业,f(z)的奇点为i, 与展开中心点z0=0的距离为1, 收敛半径R=1, 收敛圆域|z-0|1,17,4 洛朗级数,一、洛朗级数的概念 1、引例 2、定义 二、洛朗级数的收敛域 1、洛朗级数的收敛域 2、定理1 3、洛朗级数展开的方法 4、例题：例1，例2、例3,返回,18,1、引例,内展开成的幂级数(为奇点, 解析),(1),内展开成,的幂级数(奇点, 解析）,(2),返回,一、洛朗级数的概念,19,2、定义,及负幂次项

5、,都收敛，则称洛朗级数收敛，,(1)定义1: 展开后有负幂次项的幂级数称为洛朗级数。,返回,否则称洛朗级数发散。,20,1、洛朗级数的收敛域：,（1）设正幂次项,的收敛半径为R，,则在,即：在,令：,（2）,下一页,设 的收敛半径为R1，则在,二、洛朗级数的收敛域,21,注: r和R的求法,对系数进行排序:,归根结底: 内径r和外径R均为前一项 除以 后一项的极限,22,（3）分三种情况讨论,返回,上一页,23,2、定理1 (解析圆环内的展开),内解析，则,在圆环域,内可唯一展开成洛朗级数,其中,为圆环内任一闭域的正向，,注：一个用途：,，所以,返回,24,3、 在 处展开成洛朗级数的方法,可在如下区域展开：,(如z0不为奇点，此时为泰勒展开式，它为洛朗级数的一个特例),（3）,（4）,（1）,（2）,返回,25,例1 将 在下列两点 展开成洛朗级数。,解：,为奇点,返回,26,解：,（泰勒展开）,返回,27,解：,返回,28,解：,返回,29,（2）,以1为中心展开, 即展开成 的幂级数, 不参与展开,分为如下两个区域：,返回,30,解：,返回,将所有