高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例优化训练 北师大版必修4(2021年最新整理)

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2、第二章 平面向量 2.7 向量应用举例优化训练 北师大版必修4的全部内容。92。7 向量应用举例5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1.已知点(a，2)（a0）到直线l：xy+3=0的距离为1,则a的值为( ）a. b.2 c。1 d.+1解析:指由点到直线距离公式得,a+1=.又a0，a=-1.答案:c2。已知三个力f1=（3，4），f2=（2,5），f3=（x，y）的合力f1+f2+f3=0,则f3的坐标为（ ）a.（5，-1） b。(5，1） c.(-1，5） d.（1,-5)解析：由题设f1+f2+f3=0，得(3，4）+（2，-5）+(x，y）=（0,0）,即f3=(5，1）.答案：

3、b3.已知两个力f1和f2的夹角是直角，如图27-1所示,且已知它们的合力f与f1的夹角是60,|f|=10 n，求f1和f2的大小。图2-7-1解:|f1|=|fcos60=10=5 n，f2=|fsin60=10=5n，f1的大小为5 n，f2的大小为5n.4.如图2-7-2所示，一艘船从a点出发以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为2 km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-72解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以ad、ab为邻边作平行四边形abcd，则就是船的实际航行的速度.在rtabc中，|=2，|=2，所以=4.因

4、为tancab=cab=60。所以，船的实际航行速度的大小为4 km/h,方向与水流速间的夹角为60。10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.下列向量中，是直线y=2的法向量的是（ ）a.n=（0,1) b.n=（1，0) c。n=(1，1） d.n=（1,-1）解析:直线y=2的一个方向向量为（-1,0）,故其法向量为与（1，0）垂直的向量.答案:a2。一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释。解：设小孩的体重为g,两胳膊受力分别为f1、f2，且f1=f2，两胳膊的夹角为，胳膊受力分析如右图(不记其他因素产生的力），不难建立向量模型:|f

5、1=,0,，当=0时，|f1|=;当=时，|f1=g；又(0，)时,f1单调递增，故当(0，）时,f1（，g|）,当(，）时，|f1g。此时，欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤。3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来。试求实际风速和方向。解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为va.设=a，=2a。+=，=va.这就是感到由正北方向吹来的风速.+=，=v2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知pbo=45，pabo， ba=

6、ao，可知pob为等腰直角三角形,po=pb=a,即v=a。实际风速是a的西北风。4.已知两恒力f1=(3,4），f2=（6,5）作用于同一质点，使之由点a（20，15)移动到点b(7,0).试求：(1）f1、f2分别对质点所做的功;(2）f1和f2的合力f对质点所做的功。解：=(7，0)-（20,15)=（13，-15）。(1)w1=f1=(3,4）(-13，-15）=-99（焦耳)。w2=f2=（6，-5)（13,-15)=3（焦耳）。（2）w=fab=（f1+f2）=(3，4）+（6,-5)(-13，15)=（9,-1）(13，15)=-102(焦耳）。5.如图2-73所示，有两条相交成

7、60的直线xx1、yy1的交点为o.甲、乙分别在ox、oy1上，起初甲位于离o点3 km的a处，乙位于离o点1 km的b处。后来两个人同时用每小时4 km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动（如图2-74所示，三角形中有如下结论：b2=a2+c22accosb）.试求： 图2-7-3 图2-74（1)起初两个人的距离是多少?（2）什么时候两人的距离最近？解：(1)起初两人分别在a、b两点，则|=3,|=1.=2+|2-2|cos60=9+1231=7。|=km，即起初两人相距 km.（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是p、q，则|=4t，|bq=4t，又甲沿xx1的方向,乙沿yy1

8、的方向运动，当0t时,|2=（34t)2+(1+4t)22（3-4t）(1+4t)cos60=48t2-24t+7;当t时，|2=(3-4t)2+（1+4t）22（3-4t）(1+4t)cos120=48t224t+7（t0),综上,|2=48t224t+7=48（t）2+4,t0，+).当t=，即在第15分钟末时，pq最短，两人最近，最近距离为2 km.6.在静水中划船的速度是每分钟40米,水流的速度是每分钟20米.如果从岸边o点出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里?解：用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用表示船行进的方向，它的长度表示船的速度.以、为邻

9、边作平行四边形oacb，连结oc。依题意ocoa，bc=oa=20，ob=40，boc=30,船应向上游与河岸夹角为30的方向行进.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1。过点a（2，3）且垂直于向量a=（2，1)的直线方程为（ )a.2x+y7=0 b.2x+y+7=0c.x2y+4=0 d。x-2y-4=0解析：法向量a=(2,1）,直线的斜率为k=.又直线过定点a（2,3），直线方程为2x+y7=0.答案：a2。若=3e，=5e，且=|，则四边形abcd是（ )a。平行四边形 b。菱形c。等腰梯形 d。非等腰梯形解析：由=3e，=5e，可知与平行。又，故四边形abcd为梯形。由=,可得

10、四边形abcd为等腰梯形.因为向量是既有大小，又有方向的量，所以利用向量可判断平面中线段的数量关系，也可判断直线的位置关系.如平行、垂直、夹角等问题。答案：c3。某人用50 n的力（与水平方向成30角，斜向下）推动一质量为8 kg的木箱沿水平平面运动了20 m,若动摩擦因数=0。02，g取10 m/s2,则摩擦力f所做的功为（ )a。42 j b。42 j c。22 j d.-22 j解析：f=（80+50sin30）0。02 n=2.1 n,又f与位移所成的角为180，fs=|fs|cos180=2.120（1)j=42 j.答案：b4.某人向正东走x km后，又向右转150，然后朝新方向走

11、3 km。结果他离出发点恰好 km，那么x的值等于( )a. b。 c. d.3解析:由分析知|a+b=,a2+2ab+b2=3.x2+6xcos150+93=0,即x2-3x+6=0.解得x=或2。答案：c5。已知abc满足2=+,则abc是（ )a。等边三角形 b.锐角三角形c.直角三角形 d。钝角三角形解析：2=+，2=（）+，即2=（+）+.=0，即。故abc为直角三角形.答案：c6。已知一物体在共点力f1=（lg2,lg2），f2=（lg5，lg2）的作用下产生位移s=（2lg5，1)，则这两个共点力对物体做的功w为( ）a.lg2 b。lg5 c。1 d.2解析:f1+f2=(1，

12、2lg2)，s=（2lg5，1),共点力对物体做的功w=（f1+f2）s=2lg5+2lg2=2.答案：d7。有两个向量e1=（1，0),e2=（0，1),今有动点p，从p0（1,2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1+e2|；另一动点q，从q0（2，1）开始沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e1+2e2|.设p、q在时刻t=0秒时，分别在p0、q0处，则当时，t=_.解析:由题意知=t（e1+e2）=(t，t），故p点坐标为(t-1，t+2）。=t（3e1+2e2)=（3t，2t），故q点坐标为（3t2，2t1).=(2t-1，t-3），=（1，3）。又，即=0，-2t+1-3t+9=0。解得t=2.答案：28。一艘船从a点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船实际航行的速度大小为4 km/h，方向与水流间的夹角是60。求v1和v2。解：v1=vsin60=4km/h=2km/h，v2=vcos60=4 km/h=2 km/h。v1的大小为2 km/h，v2的大小为2 km/h.9。在abc内