专题4 -立体几何(高考理科数学之大题狂练)

1、【高考理科数学之大题狂练】专题4立体几何1.如图,在四棱锥pabcd中,pc底面abcd,底面abcd是直角梯形,abad,abcd,ab2ad2cd2,pc4,e为线段pb上的一点.（1）求证:平面eac平面pbc；6be（2）若二面角pace的余弦值为3,求pep的值.ebcad12.如图,在斜三棱柱abca1b1c1中,侧面acc1a1与侧面cbb1c1都是菱形,acc1cc1b160,ac2.（1）求证:ab1cc1；（2）若ab16,求二面角cab1a1的余弦值来源:学+科+网aa1bbcc1123.四棱锥pabcd中,底面abcd为直角梯形,adcbcd90，bc2,cd3,pd4

2、,pda60,且平面pad平面abcd（1）求证：adpb；来源:zxxk.com（2）在线段pa上是否存在一点m,使二面角mbcd的大小pm为6,若存在,求出pa的值;若不存在,请说明理由34.已知矩形abcd与正三角形aed所在的平面互相垂直,m,n分别为棱be,ad的中点,ab1,ad2.（1）证明:直线am平面nec；（2）求二面角nced的余弦值.来源:zxxk.com来源:学+科+网45.在四边形abcd中,对角线ac,bd垂直相交于点o,且oaobod4,oc3.将bcd沿bd折到bed的位置,使得二面角ebda的大小为90（如图）.已知q为eo的中点，点p在线段ab上,且ap2

3、.（1）证明：直线pq平面ade；（2）求直线bd与平面ade所成角的正弦值.来源:学*科*网z*x*x*kedqaopb56.如图,在梯形abcd中,abcd,addccb1,abc60,四边形acfe为矩形,平面acfe平面abcd,cf1（1）求证:bc平面acfe；（2）点m在线段ef上运动,设平面mab与平面fcb所成二面角为900，试求cos的取值范围fmecdba6【参考答案】1.（1）如图，由题意，得acbc2，且ab2，bcac，pc底面abcd，pcac，又pcbcc，ac底面pbc，ac平面eac，平面eac平面pbc.法二：由（1）知，pce为二面角pace的平面角，因

4、此cospce36，166cospcdcoscecp3，整理得：3210,解得1或2116422213，由01得1，即be1,故be13bp3ep2.2.（1）证明：连ac1,cb1,则acc1和b1cc1皆为正三角形取cc1中点o，连oa，ob1，则cc1oa，cc1ob，则cc1平面oab1，则cc1ab1.73.（1）过b作bocd,交ad于o,连接op.因为adbc,adcbcd90,cdob,所以obcd是矩形.所以obad,odbc2.2pdodcos6023.所以opodod,因为pd4,pda60所以oppd2222设平面bcm的法向量为nx,y,z，则pd2,所以opod,即

5、opad.又op平面opd,ob平面opd,opobo,所以ad平面opd,因为pb平面opd,所以adpb.（2）平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，oaad，op平面abcd00以o为原点，以oa，ob，op为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则b0,3,，c2,3,，假设存在点mm,0,n使得二面角mbcd的大小为6，则mbm,3,n，bc2,0,0mbc0mmb02x0mx3ynz0，令y1得n0,1,3nop平面abcd，n0,0,1为平面abcd的一个法向量3mnn3pmpo1231632解得n1.papo6.n21cosm,nmn32384.（1）证明：取ec的

6、中点f,连接fm,fn,则fmbc,fm1bc,anbc,an1bc.22所以fmbc且fm=bc，所以四边形amfn是平行四边形,所以amnf.因为am平面nec,nf平面nec,所以am平面nec.（2）如图以n为坐标原点建立空间右手直角坐标系，所以a0，1，0,b0，11，,d0，1，0,n0，0，0,311，.222，设平面nec的一个法向量为nx，y，1,因为nc0，11，,ne3，0，0,所以nncy10,nne3x0;所以n0，11，.de所设平面dec的一个法向量为m(1,y,z),因为dc(0,1,1),(3,1,0),以mdc0,mde0,即z0,3y0,解得y3,z0.所

7、以m(1,3,0).所以cosm,n=mn36.因为二面角nced的大小为锐角，所以二面角mn224nced的余弦值为6.4o5.（1）由题aoe90，故oa,ob,oe两两垂直，从而可建立如图直角坐标系xyz，则b0,4,0，,.e0,0,3d0,4,0,a4,0,00（1）由题知ab42,故ab4ap,又ab4,4,，故33ap1,1,0，从而p3,1,0，又q0,0,，故pq3,1,22，设平面ade的法向量为nx,y,z，易得da4,4,，de0,4,，由得，取x3得n3,3,4，因npq0，故直线pq平面ade.故sincosn,bd34.nda0nde04x4y04y3z0（2）由（1）可知n3,3,4为平面ade的法向量，又bd0,8,0，nbd243nbd34834,6.（1）证明：在梯形abcd中，因为ab/cd,addccb1,abc60所以ab2,acbc所以ac2ab2bc22abbccos603,所以ab222，所以bcac9因为平面acfe平面abcd，平面acfe平面abcdac，bc平面abcd，所以bc平面acfe（2）由（1）可建立分别以直线ca,cb,cf为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令fm03，则c0,0,0,a3,0,0,b0,1,0,m,0,1，ab3,1,0,bm,1,1，nab03xy0x,