解三角形知识点归纳总结(推荐文档

1、第一章解三角形.正弦定理:1.正弦定理：在一个三角形中,a b接圆的直径，即2.变形:sin A sin B sinC a+b+ca各边和它所对角的正弦的比相等， 并且都等于外-旦 =2R （其中R是三角形外接圆的半径）1）=亠丄=亠sin A +sinE+sinC sin A sinE sinC2）化边为角:a sin A. b b sin Bca : b : C =sin A: sin B :sin C ；sin B ; a sin A. sin C c sin C ）化边为角:a =2Rsin A,b =2Rsin B, c = 2RsinC）化角为边:）化角为边:sin A a ;=J

2、sin B ba sin A = 2Rsin B b sin A ; sin C c sin Cbsin B =,sinC2Ra ;Jc_ c -2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：b sin B ;c sin C 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a，解法：由A+B+C=18o0,求角A,由正弦定理旦=里2彳 b s i nB泄;求出b与cc sin C已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a = 业 求出角B,由A+B+C=18O0求出角C,再使用正b sin B弦定理2=业求出C边C sin C4

3、. ABC中，已知锐角A,边b,贝U acbsinA时，B无解； a=bsinA或ab时，B有一个解; bsinA V a cb时，B有两个解。如：已知A =60, a = 2,b = 2 J3 ,求B （有一个解）已知A =60, b =2,a =2U3 ,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。1.2.三角形面积1 1 1 =absi nC = bcsi nA= acsi nB2 2 2=丄但+匕+c)r,其中r是三角形内切圆半径.2SJABC3.4.S/BC=竺,R为外接圆半径4R, 1= Jp(p-a)( pb)(p-c),其中 p= -(a+b + c).5.S餌C

4、=2R2s in A si n Bsi n C ,R为外接圆半径三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的2倍，即2 2=b + c -2bccos Ab22 2=a + c -2accos Bc22 2=a +b -2abcosC1-2.2 22.变形：cos A=c2bcc a2+c2-b2 cosB =2aca2 +b2 -c2cosC =2ab1注意整体代入，如：a2 +c2 -b2 =ac= cosB =一23. 利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是 MBC的角A、E、C的对边，贝U:护4广22+ 护 cosj4 =

5、0 O H 90若，2加，所以丄为锐角 若c2 + b2 =a2 = A为直角L+方2Ocos j4二 90.，小卄2bc若2&,所以/为钝角，则胡8C是钝角三角形4. 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题:1）已知三边，求三个角求第三边和其他两个角四、应用题1. 已知两角和一边（如2. 已知两边和夹角（如2）已知两边和它们的夹角，A、B、C），由A+B+C= n求C,由正弦定理求a、b.a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理 先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C= n，求另一角.3. 已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A），应用正弦定理求B,由A+B+C =n求C,再由

6、正弦定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况.4. 已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C= n，求角C.将正北或正南方向作为起始方向5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心， 旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度， 北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上 方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.水平线A+B+C=180 ； C=180 (A+B)；1）2）五、三角形中常见的结论 三角形三角关系： 三角形三边关系：两边之和大于第三边：a+bc，c+bla ；两

7、边之差小于第三边：，S，c-b Bu abu sin AsinB三角形内的诱导公式：sin(A + B) =sinC, cos(A +B) =-cosC, tan(A + B) = -tanC,=sin 2A+B cos=2A+B月Csin= sinf)= cos 22 2 2A + B H C sin(2即 cos(|)5)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)si n( aP ) = sin a cos P cos a sin P .(2)cos(ap= cos ocos p?sin ain p , tan aa n ptan( a-P = 1?tan aan p6)二倍角的正弦、余弦、正切公式=2sin a cos a .2 . 2= 2cos a 一 1 = 1 2sin a2=cos a- 2 sin a 二1 一 cos2a21 +cos2a；cos Ct =222ta na(1)sin 2(2)cos 2aa sin2Cttan 2