艺术生高考数学专题讲义：考点11 函数与方程

1、考点十一函数与方程知识梳理1函数的零点(1)函数零点的定义函数yf(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点三者间关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2函数零点存在性定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0)的图象000与x轴的交点零点个数两个交点2一个交点1无交点04二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值

2、的方法叫做二分法5二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)f(b)0；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)；若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(x1)f(a)0，则令ax1(此时零点x0(x1，b)；第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步典例剖析题型一函数零点的判断和求解例1函数f(x)4x4在区间1，3上有零点.答案一个解析因为f(x)4x4=上有一个零点2.变式训练函数，所以函数f(x)4x4在区间1，3有零点的区间是例2已知函数f(x)ln(x1)，试求函数的零点个数解析令f(x)0，即ln(x1)，在同一

3、坐标系中画出yln(x1)和y的图象，可答案(2，3)解析.解题要点判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断题型二零点个数问题1x11xx知两个图象有两个交点，f(x)有两个零点变式训练函数答案1个解析函数研究函数与的零点个数是的零点，即方程的解，图象的交点，作出两个函数的图象如图，1|x|(2)函数ym有两个零点，则m的取值范围是_可知有一个交点，故有一个零点.解题要点判断函数零点个数的三种方法:(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个

4、解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点题型三参数范围问题例3(1)函数f(x)4xx2a的零点的个数为3，则a2答案(1)4(2)(0，1)解析(1)令函数f(x)=|x24x|a=0，可得|x24x|=a由于函数f(x)=|x24x|a的零点个数为3，故函数y=|x24x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，如图所示：故a=4故答案为4(

5、2)在同一直角坐标系内，画出y1和y2m的图象，如图所示，由于函数有两个零1|x|2点，故0m1.变式训练设方程|x23|a的解的个数为m，则m不可能等于_答案1解析在同一坐标系中分别画出函数y1|x23|和y2a的图象，如图所示可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解解题要点数形结合是解决此类问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，从而借助图象来求出参数的范围题型四用二分法求方程的近似解例4设计算得到答案解析因为，用二分法求方程在区间上近似解的过程中，则方程的根落在区间_根据零点存在定理知，方程的根落在区间1(2015湖北文)函数f(x)2

6、sinxsinxx2的零点个数为_解析f(x)2sinxsinxx22sinxcosxx2sin2xx2.令f(x)0，则sin2x内.f变式训练用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_答案(0，0.5)，f(0.25)f解析因为用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0(0，0.5)，第二次应计算中点值f(0.25)的函数值，然后依次进行判定当堂练习2答案22x2，则函数f(x)的零点个数即为函数ysin2x与函数yx2的图象的交点个数作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f(x

7、)的零点个数为2.2(2015湖南文)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_答案(0,2)解析将函数f(x)|2x2|b的零点个数问题转化为函数y|2x2|的图象与直线yb的交点个数问题，数形结合求解由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b1时，yx1，ycosx1，所以两图象只有一个交点，即方程xcosx0在0，)内只有一个根，所以f(x)xcosx在0，)内只有一个零点，所以选项4已知关于x的方程xlnxax1(ar)，下列说法正确的是_(填序号)有两不等根只有一正根无实数根不能确定1若函数f(x)b

8、x2有一个零点为，则g(x)x25xb的零点是_答案11解析由xlnxax1(ar)知x0，lnxax，作出函数y1lnx与y2ax的图象，易知选.5函数f(x)x32x1的零点所在的大致区间是_(填序号)(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)答案解析f(0)10，f(2)110，f(3)320，f(4)710，则f(0)f(1)20，f(x)2x3x在r上是增函数而f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0.故函数f(x)在区间(1,0)上有零点3方程log3xx30的解所在的区间是_答案(2,3)解析设f(x)log3xx3，则f(2)

9、log3210，f(x)0在(2,3)有零点，又f(x)为增函数，f(x)0的零点在(2,3)内4方程|x22x|a21(a0)的解的个数是_答案2解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点5已知f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为_答案27，1,3解析当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x)x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当x0时，由f(x)是奇函数，得f(x)f(x)x23(x)，即f(x)x23x.由f(x)x3，得x27(正根舍去)故选d.6函数f

10、(x)x3x2x1在0,2上_(填序号)有两个零点有三个零点仅有一个零点无零点答案解析由于f(x)x3x2x1(x21)(x1)令f(x)0，得x1,1.因此f(x)在0,2上仅有一个零点7函数答案的零点为_解析因为求解函数的零点，就是求解方程f(x)=0的解，而函数零点8函数f(x)6x9在区间1，3上有_个零点答案一个的解析因为，所以函数在区间1，3上有一个零点39函数f(x)3x7lnx的零点位于区间(n，n1)(nn)内，则n_.答案2解析由于f(1)40，f(2)ln210，又f(x)在(0，)上为增函数，所以零点在区间(2,3)内，故n2.2x1，x0，10已知函数f(x)x22x，x0，取值范围是_答案(0,1)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的2x1，x0，解析画出f(x)x22x，x0的图象，如图由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1)11用二分法求方程lnx2x0在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点c，则233解析由于f(1)10，fln0，所以下一个含根区间为，2.32下一个含根的区间是_3答案，22222二、解答题12已知函数解析由函数有4个零点