苏教版(文科)高中数学高考总复习知识梳理数列求和及其综合应用(提高)

1、精品文档用心整理数列求和与综合应用【考纲要求】1熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；2.掌握数列的通项an与前n项和sn之间的关系式3注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前n项和的几种常用方法；4.能解决简单的实际问题.【知识网络】公式法分组求和数列前n项和错位相减倒序相加裂项相消与函数、方程、不等式等综合应用与几何、实际问题等【考点梳理】纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银

2、行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.数列的函数属性：因数列是函数的

3、特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑.【典型例题】类型一：数列与函数的综合应用例1.对于数列a，规定数列da为数列a的一阶差分数列，其中da=annnnn+1-a(nn*)；n一般地，规定dka为a的k阶差分数列，其中dka=dk-1annnn+1-dk-1a且kn*，k2。n资料来源于网络仅供免费交流使用（1）已知数列a的通项公式a=522精品文档用心整理13n2-n(nn*)。试证明da是等差数列；nnn+a=-22n+1(nn*)，求数列n+1-n2n+12n（2）若数列an的首项a1=13，且满足d2an-dan+1naa及a的通项公式；n（3）在（2）的条件下，判断a是否

4、存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。n解析：（1）依题意：da=ann+1-a，n2da=5(n+1)2-n13513(n+1)-n2-n=5n-4222dan+1-da=5(n+1)-4-(5n-4)=5，n数列da是首项为1，公差为5的等差数列。n2n（2）an+1-2n+1an=2n，a=22n-172n-1(n1,nn*)n217（3）令f(x)=x2-x，217则当x(-,)时，函数f(x)单调递减；417当x(,+)时，函数f(x)单调递增；417又因a=22n-172n-1=(2n)2-2n，n1717而|22-|0，an1121+x(1+x)23n2n+1（）

5、证明：a+a+12n2+ann+1=3a解析：（）a121111=+n，-1=(-1)，2a+1a33aa3ann+1nn+1n资料来源于网络仅供免费交流使用又1an精品文档用心整理2121-1=，-1是以为首项，为公比的等比数列3a33n1212-1=a33n-13nn，a=n3n3n+2（）设f(x)=112-(-x)，1+x(1+x)23n-(1+x)2-(2=3n则f(x)=-1(1+x)2-2-x)2(1+x)2(-x)3n(1+x)2(1+x)2x0，当x0；当x3n3n时，f(x)0，有1211212-(-x)12n=n1+x(1+x)2332+122-(+23n-nx)+223

6、n=1(1-1)，22令+332+122-nx=0，则x=(+3nn332+21(1-)=33n1n3nn(1-)3+a=1+(1-1)n+1-1n+1a+a+12nnn2n2n1+x1n3n3n原不等式成立【函数的极值和最值388566典型例题三】【变式2】已知数列an和bn满足：a1=l，a3n+1=2an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)其中l为实数，n为正整数.（）对任意实数l，证明数列a不是等比数列；n资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（）试判断数列b是否为等比数列，并证明你的结论；n39解析：（）假设存在实数l，使得数列a是等比数列，则a，a，a必然满足an

7、12324a=l,a=l-3,a=l-412322=aa13由a22=aa得9=0，显然矛盾，13即不存在实数l使得数列a是等比数列。n（）根据等比数列的定义：(-1)n(a-3n+21)bn+1=bn(-1)n+1a-3(n+1)+21n+1n=3n=3n=-=-3(a-3n+21)33n即2-a+n-4-3(n+1)+21(a-3n+21)n2-a-2n+14(a-3n+21)n2(a-3n+21)2nn2b=-bn+1又b1=-(a1-3+21)=-(l+18)所以当l=-18时，数列b不是等比数列；当l-18时，数列b是等比数列.nn类型二：数列与不等式例2.设an是由正数组成的等比数

8、列，sn是其前n项和，证明:log0.5s+logn20.5sn+2log0.5sn+1.解析：（1）当q=1时，sn=na1，从而snsn+2-s2=na(n+2)a-(n+1)2a2=-a20，n+111111-qa(1-qn)1（2）当q1时，s=，从而na2(1-qn)(1-qn+2)-a2(1-qn+1)2=-a2qn0.2snsn+2-sn+1=11(1-q)21由（1）（2）得:ssnn+2lg0.5s2n+1资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理log0.5s+logn20.5sn+2log0.5sn+1.举一反三：【变式1】数列xn满足：x10，xn1xn2xnc(n

9、n*)（i）证明：数列xn是单调递减数列的充分必要条件是c0（ii）求c的取值范围，使数列xn是单调递增数列。解析：（i）必要条件当c0时，xn1xn2xncxn数列xn是单调递减数列充分条件数列xn是单调递减数列x1x2x12x1ccx120得：数列xn是单调递减数列的充分必要条件是c0（ii）(i)假设xn是递增数列，由x10，得x2c，x3c22c。由x1x2x3，得0c1.由xnxn1xn2xnc知，对任意n1都有xn0即x1-cnn由式和xn0还可得，对任意n1都有c-xn+1(1-c)(c-x).n反复运用式，得c-x(1-c)n-1(c-x)(1-c)n-1.n1x1-c和c-x

10、(1-c)n-1两式相加，知2c-1(1-c)n-1对任意n1成立.nn，故0c.根据指数函数y=(1-c)x的性质，得2c-10，c1414（ii）若0c14，要证数列xn为递增数列，即xn1xnxn2c0.即证xc对任意n1成立。n下面用数学归纳法证明当0c14时，xc对任意n1成立.n（1）当n1时，x10c，结论成立.（2）假设当nk(kn*)时结论成立，即：xa211+综上，所求的a的取值范围是-9，)类型三：实际应用问题例3.某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公

11、顷？（精确到1公顷）（粮食总产量，人均粮食占有量=）耕地面积总人口数解析：方法一：由题意，设现在总人口为a人，人均粮食占有量为b吨，现在耕地共有104公顷，于是现在的粮食单产量ab104吨/公顷，10年后总人口为a(1+0.01)10，人均粮食占有量b(1+0.1)吨，若设平均每年允许减少x公顷，则10年耕地共有(104-10x)公顷，于是10年后粮食单产量为a(1+0.01)10b(1+0.1)104-10x吨/公顷.由粮食单产10年后比现在增加22%得不等式：a(1+0.01)10b(1+0.1)ab104-10x104(1+0.22)资料来源于网络仅供免费交流使用a(1+0.01)90,

12、12).按比例预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是精品文档用心整理化简可得104(1+0.01)10(1+0.1)1.22(104-10x)1041.22-104(1+0.01)10(1+0.1)即x，101.22x4(公顷)答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.方法二：由题意，设现在总人口为a人，粮食单产为m吨/公顷，现在共有耕地104公顷，于是现在104m人均粮食占有量吨/人，10年后总人口为a(1+0.01)10，粮食单产1.22m吨/公顷，若设平均每年a允许减少x公顷，则10年后耕地将有(104-10x)公顷，于是10年后粮食总产量为1.22m(104-10x)，m

13、(1+0.22)(104-10x)人均粮食占有量为，由人均粮食占有量10年后比现在增加10%得不等式：10m(1+0.22)(104-10x)m104.1.1，（余与上同）a(1+0.01)10a举一反三：【变式1】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量s（万件）近n似地满足s=n(21n-n2-5)(n=1,2,n（）a5月、6月b6月、7月c7月、8月d9月、10月【答案】c；解析：第n个月份的需求量超过1.5万件，则n-1=n(9090s-snn-121n-n2-5)-21(n-1)-(n-1)2-51.5.解不等式，得n2-15n+540，即6n5，即nlg

14、lg5，nlg5精品文档用心整理5555n年后该地区森林木材存量为：a=()na-()n-1+()n-2+.+1bn197（2）若b=a时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于a，72955197即()na-4()n-1aa，4472955441-lg2=7，lg5-2lg21-3lg2n=8.答：经过8年该地区就开始水土流失.【变式3】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【答案】设汽车使用年限为n年，f(n

15、)为使用该汽车平均费用.f(n)=110+0.9n+(0.2+0.4+0.2n)n当且仅当n10n=+11+2=3n1010=，即n=10（年）时等到号成立.10n因此该汽车使用10年报废最合算.【变式4】某市2010年底有住房面积1200万平方米，计划从2011年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2011年底和2012年底的住房面积；（2）求2030年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）【答案】（1）2011年底的住房面积为1200(1+5%)20=1240（万平方米），2012年底的住房面积为1200(1+5%)220(1+5%)20=1282（万平方米），2011年底的住房面积为1240万平方米；2012年底的住房面积为1282万平方米.（2）2011年底的住房面积为1200(1+5%)20万平方米，2012年底的住房面积为1200(1+5%)220(1+5%)20万平方米