2009年高考文科数学试题分类汇编立体几何

1、2009年高考文科数学试题分类汇编立体几何一、选择题1. 1.(2009年广东卷文)给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 a和 b和 c和 d和 【答案】d【解析】错, 正确, 错, 正确.故选d2. （2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）a若，则 b若，则 c若，则 d若，则 c

2、【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系【解析】对于a、b、d均可能出现，而对于c是正确的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.（2009北京卷文）若正四棱柱的底面边长为1，与底面abcd成60角，则到底面abcd的距离为（ ） ab1cd【答案】d.w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，如图，故选d.4. (2009山东卷文)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )a.充分不必要条件 b.必要不

3、充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件 .答案:b.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.5.（ 2009全国卷文） 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为（a） (b) (c) (d) 答案：c解析：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，cdba,因此求eba中abe即可，易知eb=,ae=1,ab=,故由余弦定理求cosabe=，或由向量法可求。6. （2009江西卷文）如图，在四面体中，截面是正方形，则

4、在下列命题中，错误的为. . 截面 . . 异面直线与所成的角为答案：c【解析】由，可得，故正确；由可得截面，故正确； 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的，故选.7. （2009四川卷文）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是 a. b. c. 直线 d. 直线所成的角为45【答案】d【解析】ad与pb在平面的射影ab不垂直，所以a不成立，又，平面pab平面pae，所以也不成立；bcad平面pad, 直线也不成立。在中，paad2ab，pda45. d正确8. （2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有三点，=90， 球心o到平面的距离是，则两点的球面距离

5、是 a. b. c. d.2【答案】b【解析】ac是小圆的直径。所以过球心o作小圆的垂线，垂足是ac的中点。 ，ac3，bc3，即bcoboc。 ，则两点的球面距离9. （2009湖北卷文）如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，acb=900,acc1=600,bcc1=450,侧棱cc1的长为1，则该三棱柱的高等于a. b. c. d. 【答案】a【解析】过顶点a作底面abc的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长.10. （2009湖南卷文）平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为【 c 】a3 b4 c5 d6 解:如图，用列举法知合要求的棱为：、，故选c.11. （2009辽

6、宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为（a）0.8 （b）0.75 （c）0.5 （d）0.25【解析】设地球半径为r,则北纬纬线圆的半径为rcos60r 而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.【答案】c12. （2009全国卷文）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为(a) (b) (c) (d) 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理7）解：设的中点为d，连结d，ad，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选d 13. （2009陕西卷文）若正方体的

7、棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (a) (b) (c) (d) 答案:b. 解析:由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底同高同棱长的正四棱锥），所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积为, 故选b.15. （2009宁夏海南卷文） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点e，f，且，则下列结论中错误的是 （a） （b） （c）三棱锥的体积为定值 （d）【答案】d【解析】可证故a正确，由平面abcd，可知，b也正确；连结bd交ac于o，则ao为三棱锥的高，三棱锥的体积为为定值，c正确；d错误。选d.16. （2009宁夏

8、海南卷文）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为 （a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】棱锥的直观图如右，则有po4，od3，由勾股定理，得pd5，ab6，全面积为：66265644812，故选.a。17. （2009重庆卷文）在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ ）a若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为b若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为c若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为d若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为【答案】c解析设底面边长为1，侧棱长为，过作。在中，由三角形面积关系得w.w.w.k.s.5.u.c.o.

9、m 设在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故为点到平面 的距离，在中，又由三角形面积关系得于是，于是当，所以，所以二、填空题1. （2009全国卷文）设oa是球o的半径，m是oa的中点，过m且与oa成45角的平面截球o的表面得到圆c。若圆c的面积等于，则球o的表面积等于 答案：8解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由2. （2009浙江卷文）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体

10、积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为183. （2009江苏卷）设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. 【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是(1)(2)4. （2009安徽卷文）在空间直角坐标系中，已知点a（1，0，2），b(1，-3，1)，点m在y轴上，且m到a与到b的距离相等，

11、则m的坐标是_。【解析】设由可得故【答案】(0,-1，0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5. （2009安徽卷文）对于四面体abcd，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。(1)相对棱ab与cd所在的直线是异面直线；(2)由顶点a作四面体的高，其垂足是bcd的三条高线的交点；(3)若分别作abc和abd的边ab上的高，则这两条高的垂足重合；(4)任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；（5）分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】由空间四面体棱,面关系可判断正确,可举例说明错误.【答案】6. （2009四川卷文

12、）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 【答案】90【解析】作bc的中点n，连接an，则an平面bcc1b1， 连接b1n，则b1n是ab1在平面bcc1b1的射影，b1nbm，ab1bm.即异面直线所成的角的大小是907. （2009全国卷文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_.【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为，圆m的半径为，则，即由题得，所以。8. 2009陕西卷文）如图球o的半径为2，圆是一小圆，abo1o，a、b是圆上两点，若=，则a,b两点间的球面距离为

13、.答案: 解析:由,=2由勾股定理在中则有, 又= 则 所以在，则，那么 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由弧长公式得.9. （2009福建卷文）如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是 解析 解法1 由题意可知当俯视图是a时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选c. 解法2 当俯视图是a时，正方体的体积是1；当俯视图是b时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是c时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是d时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选c

14、.10.11.三、解答题1. (2009年广东卷文)（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥pefgh,下半部分是长方体abcdefgh.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线bd平面peg【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为：（）如图,连结eg,hf及 bd，eg与hf相交于o,连结po. 由正四棱锥的性质可知,平面efgh , 又 平面peg 又 平面peg；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. （2009浙江卷文

15、）（本题满分14分）如图，平面，分别为的中点（i）证明：平面；（ii）求与平面所成角的正弦值（）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面acd ，dc平面acd， 所以平面acd（）在中，所以 而dc平面abc，所以平面abc 而平面abe， 所以平面abe平面abc， 所以平面abe由（）知四边形dcqp是平行四边形，所以 所以平面abe， 所以直线ad在平面abe内的射影是ap， 所以直线ad与平面abe所成角是 在中， ，所以3. （2009北京卷文）（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点e在棱pb上.（）求证：平面； （）当且e为pb的中点时，求ae与平面p

16、db所成的角的大小.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）四边形abcd是正方形，acbd，pdac，ac平面pdb，平面.（）设acbd=o，连接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo为ae与平面pdb所的角， o，e分别为db、pb的中点， oe/pd，又， oe底面abcd，oeao， 在rtaoe中， ，即ae与平面pdb所成的角的大小为.【解法2】如图，以d为原点建立空间直角坐标系， 设则，（），acdp，acdb，ac平面pdb，平面.（）当且e为pb的中点时， 设acbd=o，连接oe

17、， 由（）知ac平面pdb于o， aeo为ae与平面pdb所的角， ，即ae与平面pdb所成的角的大小为.4. （2009全国卷文）（本小题满分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，abac,d、e分别为aa1、b1c的中点，de平面bcc1（）证明：ab=ac （）设二面角a-bd-c为60,求b1c与平面bcd所成的角的大小解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取bc中点f，通过证明af平面bcc1,再证af为bc的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形afed是正方形可证平面def平面bdc，从而找到线面夹角求解。此题两问

18、也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。解法一：（）取bc中点f，连接ef，则ef，从而efda。acba1b1c1de连接af，则adef为平行四边形，从而af/de。又de平面，故af平面，从而afbc，即af为bc的垂直平分线，所以ab=ac。（）作agbd，垂足为g，连接cg。由三垂线定理知cgbd，故agc为二面角a-bd-c的平面角。由题设知，agc=600. 设ac=2，则ag=。又ab=2，bc=，故af=。由得2ad=，解得ad=。故ad=af。又adaf，所以四边形adef为正方形。因为bcaf，bcad，afad=a，故bc平面def，因此平面bcd平面def。连接ae、d

19、f，设aedf=h，则ehdf，eh平面bcd。连接ch，则ech为与平面bcd所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因adef为正方形，ad=，故eh=1，又ec=2，所以ech=300，即与平面bcd所成的角为300.解法二：（）以a为坐标原点，射线ab为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系axyz。设b（1，0，0），c（0，b，0），d（0，0，c），则（1，0，2c）,e（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由de平面知debc， =0，求得b=1，所以 ab=ac。（）设平面bcd的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 则y=1,

20、 z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60知，=60，故 ，求得 于是 ， ， 所以与平面所成的角为305. （2009江苏卷）（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）ef平面abc； （2）平面平面.【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。6. （2009安徽卷文）（本小题满分13分）如图，abcd的边长为2的正方形，直线与平面abcd平行，g和f式上的两个不同点，且ea=ed，fb=fc， 和是平面abcd内的两点，和都与平面abcd垂直，（）证明：直线垂直

21、且平分线段ad：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若ead=eab=60，ef=2，求多面体abcdef的体积。【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。【解析】(1)由于ea=ed且点e在线段ad的垂直平分线上,同理点f在线段bc的垂直平分线上.又abcd是四方形线段bc的垂直平分线也就是线段ad的垂直平分线即点ef都居线段ad的垂直平分线上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以,直线ef垂直平分线段ad.(2)连接eb、ec由题意知多面体abcd可分割成正四棱锥eabcd和正四面体ebcf两部分.设ad中点为m,在

22、rtmee中,由于me=1, .abcd又bcf=vcbef=vcbea=veabc多面体abcdef的体积为veabcdvebcf=7. （2009江西卷文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则mn是pn在平面abm上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为o是bd的中点，则o点

23、到平面abm的距离等于d点到平面abm距离的一半，由（1）知，平面于m，则|dm|就是d点到平面abm距离.因为在rtpad中，所以为中点，则o点到平面abm的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为. （3）设所求距离为，由，得：8. （2009四川卷文）（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求证：；（ii）设线段、的中点分别为、，求证： （iii）求二面角的大小。【解析】解法一：因为平面abef平面abcd，bc平面abcd，

24、bcab，平面abef平面abcd=ab，所以bc平面abef.所以bcef.因为abe为等腰直角三角形，ab=ae，所以aeb=45，又因为aef=45,所以feb=90，即efbe.因为bc平面abcd, be平面bce,bcbe=b所以 6分（ii）取be的中点n,连结cn,mn,则mnpc pmnc为平行四边形,所以pmcn. cn在平面bce内,pm不在平面bce内, pm平面bce. 8分（iii）由eaab,平面abef平面abcd,易知ea平面abcd.作fgab,交ba的延长线于g,则fgea.从而fg平面abcd,作ghbd于h,连结fh,则由三垂线定理知bdfh. fhg

25、为二面角f-bd-a的平面角. fa=fe,aef=45,aef=90, fag=45.设ab=1,则ae=1,af=,则在rtbgh中, gbh=45,bg=ab+ag=1+=, 在rtfgh中, , 二面角的大小为 12分 解法二: 因等腰直角三角形，所以又因为平面，所以平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (i) 设，则，从而 ，于是， , 平面，平面， （ii），从而 于是 ，又平面，直线不在平面内， 故平面（iii）设平面的一个法向量为，并设（ 即 取，则，从而（1，1，3） 取平面d的一个法向量为 故二面角的大小为9.（ 2009湖北卷文）（本小题满分12分） 如图，四棱

26、锥sabcd的底面是正方形，sd平面abcd,sdada,点e是sd上的点，且dea(01). ()求证：对任意的（0、1），都有acbe:()若二面角c-ae-d的大小为600c，求的值。本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分） （）证发1：连接bd，由底面是正方形可得acbd。 sd平面，bd是be在平面abcd上的射影，由三垂线定理得acbe.(ii)解法1：sd平面abcd，平面， sdcd. 又底面是正方形， dd，又ad=d，cd平面sad。过点d在平面sad内做dfae于f，连接cf，则cf

27、ae， 故cfd是二面角c-ae-d 的平面角，即cfd=60在rtade中，ad=, de= ， ae= 。于是，df=在rtcdf中，由cot60=得， 即=3 ， 解得=10. （2009湖南卷文）（本小题满分12分） 如图3，在正三棱柱中，ab=4, ,点d是bc的中点，点e在ac上，且dee.（）证明：平面平面; （）求直线ad和平面所成角的正弦值。解:（）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又de平面abc，所以de.而dee，,所以de平面.又de 平面，故平面平面. （）解法 1: 过点a作af垂直于点,连接df.由（）知，平面平面，所以af平面,故是直线ad和平面所成的角。 因

28、为de，所以deac.而abc是边长为4的正三角形，于是ad=，ae=4-ce=4-=3.又因为，所以e= = 4, , .即直线ad和平面所成角的正弦值为 .解法2 : 如图所示，设o是ac的中点，以o为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是a(2,0,0,), (2,0,), d(-1, ,0), e(-1,0,0).易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.设是平面的一个法向量，则解得.故可取.于是 = . 由此即知，直线ad和平面所成角的正弦值为 .11.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）如图，已知两个正方形abcd 和dcef不在同一平面内，m，n分别为ab

29、，df的中点。（i）若cd2，平面abcd 平面dcef，求直线mn的长；（ii）用反证法证明：直线me 与 bn 是两条异面直线。 （19）解 （）取cd的中点g连结mg，ng. 因为abcd，dcef为正方形，且边长为2， 所以mgcd，mg2，. 因为平面abcd平面dcef， 所以mg平面dcef，可得mgng. 所以 6分（）假设直线me与bn共面， .8分则平面mben，且平面mben与平面dcef交于en，由已知，两正方形不共面，故平面dcef.又abcd，所以ab平面dcef.而en为平面mben与平面dcef的交线，所以aben.又abcdef,所以enef，这与矛盾，故假设

30、不成立。 所以me与bn不共面，它们是异面直线。 .12分12. （2009全国卷文）(本小题满分12分) 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。 （i）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。（同理18） 【解析】本小题考查空间里的线线关系、二面角，综合题。（i）解法一：作交于n，作交于e，连me、nb，则面，,设，则,在中，。在中由解得，从而 m为侧棱的中点m. 解法二:过作的平行线.（ii）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过作交于,作交于,作交于,则,面,面面,面即为所求二面角的补角.法二：利用二面

31、角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为am的中点，取sa的中点g，连gf，易证，则即为所求二面角.解法二、分别以da、dc、ds为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系dxyz，则。sabcdmzxy（）设，则，由题得，即解之个方程组得即所以是侧棱的中点。 法2：设，则又故，即，解得，所以是侧棱的中点。（）由（）得，又，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即， 二面角的大小。13. （2009四川卷文）（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求证：；（ii）设线段、的中点分别为、，求证： （iii）求二面角的大小。【解析】解法一：

32、因为平面abef平面abcd，bc平面abcd，bcab，平面abef平面abcd=ab，所以bc平面abef.所以bcef.因为abe为等腰直角三角形，ab=ae，所以aeb=45，又因为aef=45,所以feb=90，即efbe.因为bc平面abcd, be平面bce,bcbe=b所以 6分（ii）取be的中点n,连结cn,mn,则mnpc pmnc为平行四边形,所以pmcn. cn在平面bce内,pm不在平面bce内, pm平面bce. 8分（iii）由eaab,平面abef平面abcd,易知ea平面abcd.作fgab,交ba的延长线于g,则fgea.从而fg平面abcd,作ghbd于h,连结fh,则由三垂线定理知bdfh. fhg为二面角f-bd-a的平面角. fa=fe,aef=45,aef=90, fag=45.设ab=1,则ae=1,af=,则在rtbgh中, gbh=45,bg=ab+ag=1+=, 在rtfgh中, , 二面角的大小为12分 解法二: 因等腰直角三角形，所以又因为平面，所以平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (i) 设，则，从而 ，于是， , 平面，平面， （ii），从