完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思

1、平面向量的数量积教学设计及反思交口第一中学 赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高 中数学的一个重要概念， 它是沟通代数、 几何与三角函数的一种重要工具， 在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系 是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂 直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它 的易理解和易操作的特点。一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的 概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知 识垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面

2、加以 设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与 夹角的计算。二、教学目标：1. 了解向量的数量积的抽象根源。2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】 1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：2课时五、教学方案及其设计意图： 1平面向量数量积的物理背景 平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问 题的抽象。 首先说明放置在水平面上的物体受力 F 的作用在

3、水平方向上的 位移是 s，此问题中出现了两个矢量， 即数学中所谓的向量， 这时物体力 F 的所做的功为 W F s cos ，这里的 是矢量 F 和 s 的夹角，也即是两个 向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量 的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们 一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非 零向量 a, b 的数量积的概念。2平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量 与，它们的夹角是 ，则数量 |a|b|cos 叫与 的数量积，记作 a b，即有 a b = |a|b|cos ，（ ）.并规定 0 与任何向量的

4、数量积为 0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义 a b = |a|b|cos 无法得到，因此另外进行了规定。3. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与，作OA，OB ，则（）叫与的夹角.a b a b cos ，a b 是记法， a b cos 是定义的实质它是一个实 数。按照推理，当 0 时，数量积为正数；当 时，数量积为零；22当 时，数量积为负。24. “投影”的概念定义： |b|cos 叫做向量 b在 a 方向上的投影。7投影也是一个数量，它的符号取决于角 的大小。当 为锐角时投影为 正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为 0；当 = 0

5、时投影为aba|b|；当 = 180 时投影为 |b|. 因此投影可正、可负，还可为零根据数量积的定义，向量 b在 a方向上的投影也可以写成注意向量 a 在 b 方向上的投影和向量 b 在 a 方向上的投影是不同的， 应结合图形加以区分5向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积 . 向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何 意义实质上是将乘积拆成两部分： a 和 b cos 。此概念也以物体做功为基 础给出。 b cos 是向量 b 在 a 的方向上的投影。6两个向量的数量积的性质 ：设 a、b 为两个非零向量

6、，则(1) a b a b = 0；(2) 当 a 与 b 同向时， ab = |a|b|；当 a 与 b 反向时， a b = |a|b|. 特别的 aa = |a|2或|a| a a(3) |a b| |a|b|(4) cos a b ，其中 为非零向量 a和 b的夹角。ab例 1. (1) 已知向量 a ,b，满足 b 2,a与 b的夹角为 600 ,则b在a上的投影 为(2)若 b 4,a b 6,则a在 b方向上投影为 例 2. 已知 a 3 ， b 4 ，按下列条件求 a b(1)a/b (2)a b (3) a与 b的夹角为 15007. 平面向量数量积的运算律1交换律： a b

7、 = b a证：设 a，b 夹角为 ，则 a b = |a|b|cos ，b a = |b|a|cosa b = b a2数乘结合律： ( a) b = (ab) = a( b)证：若 0，( a) b = |a|b|cos ， (ab) = |a|b|cos ，a ( b) = |a|b|cos ， 若 0，( a) b =| a|b|cos( ) = |a|b|( cos ) = |a|b|cos ， (ab)|a|b|cos ，a( b) =|a| b|cos( ) = |a|b|( cos ) = |a|b|cos .3分配律： (a + b) c = ac + b c在平面内取一点

8、O，作OA = a， AB = b，OC = c， a + b （即OB）在 c 方向上的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和，即|a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos 2| c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos 2 ， c(a + b) = ca + cb即：(a + b)c = ac + bc）（） （ ） 例 3 已知 a、b都是非零向量，且 a + 3b与7a 5b垂直，a4b 与 7a 2b垂直，求 a 与 b 的夹角 . 解：由（a + 3b）（7a 5b） = 0（a 4b）（7a 2b） = 0

9、 两式相减： 2ab = b2 代入或得： a2 = b2 设 a、 b 的夹角为 ，则 cos7a2 + 16ab 15b2= 07a2 30ab + 8b2 =0a b b21 = 60|a|b| 2|b|22说明：（ 1）一般地， （）（ ） （ 2） ，0 （3）有如下常用性质： 评述： (1)在四边形中， AB，BC，CD， DA是顺次首尾相接向量， 则其和向量是零向量，即 0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积， 因为数量积的定义式 中含有边、角两种关系 .例 4 若记 a a a2 ，求证： (1)(a b)2 a2 2a b b2;(2)(a

10、b)(a b) a2 b2. 以此作为今后求模的基础。围绕向量的数量积的定义，可开发出解决几何问题中有用的知识：垂 直的判断，夹角的计算和线段长度的计算。根据教学实际，有的数学知识 可提出问题让学生解决，并总结、概括出一般的结论或规律，但有些知识 学生听讲时，理解起来都比较困难，就需要老师的讲解，此时恰当的处理 方式是：先让学生学会，再说明道理。这里，两个向量垂直的判断和夹角 的计算，可通过让学生自己做题后总结出来；而计算模则需要老师讲解并 加 以 强 化 ： 由 ab a bcos ， 当 b = a 时 ， a2 a a a a cos0 aa a2 .接着演示例题并练习。例 2已知 a

11、2,b 3, 且 a, b 夹角是 60 ，求 a (a b); a b. 小结与反思：以问题的形式，来反馈一节课的重点是否突出，难点是否突破。 问题一：关于向量的数量积的概念包括哪些主要内容？如何引入的？ 问题二：说出向量数量积的几何意义及运算律。 问题三：用向量的数量积可解决几何中的哪三大问题？如何解决？ 数量积的概念包括两个非零向量的夹角的定义和范围、 数量积的定义。 向量数量积的几何意义是： a b 是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 方向上的投影的乘积；运算律有三条：。用向量的数量积可解决几何中三大问题：垂直的判a断b、夹角的计算和求线段长度。 a b a b 0； cos a

12、b ； aa2板书设计： 整个板面分成三列，把重点知识数量积的定义放在中间显著位 置。由其衍生出来的几何意义、运算律放在其下面，再把后面的三大问题 放在中间一列的中间位置；左边一列，是两个向量夹角的相关概念；右列 集中放例题。教学记： 本节课的设计注重教学目标的明确；注重根据学生的认知规律而 科学地进行知识序列的呈现；注重调动学生参与教学活动；注重课堂效果 的实效性。高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数 学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、 结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信 心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助 学生克服机械记忆概念的学习方式。教师是学生学习的引导者、