MATLAB符号运算功能PPT课件

1、1,第四次课,第三章 符号运算功能,2,上次课内容回顾:,矩阵及其运算 主要介绍了特殊矩阵的生成如空阵、全零阵、全1阵等的生成,矩阵的一些特殊操作如变维、变向、抽取、扩展. 数组及其运算 主要介绍了基本数组运算数、组函数运算和数组逻辑运算. 多项式运算 主要介绍了多项式的表示方法、多项式运算.,3, 3.1 符号表达式的生成,目 录, 3.2 符号和数值之间的转换, 3.3 符号函数的运算, 3.5 符号矩阵的运算, 3.4 符号矩阵的创立, 3.6 符号微积分, 3.7 符号代数、微分方程求解, 3.8 符号函数的二维图,4,概 述,MATLAB自产生之日起就在数值计算功能上独占鳌头，广受各

2、专业人员的欢迎。但是在数学、物理、力学等各种科研、工程应用中还经常遇到符号运算的问题，因此一部分MATLAB用户不得不掌握另一种符号计算语言，如Maple、Mathematic、MathCAD等等，这就带来了一些不便。为了解决这个问题，Mathworks公司于1993年从加拿大滑铁卢大学购入了Maple的使用权，并在此基础上，利用Maple的函数库，开发了MATLAB语言的又一重要工具箱符号计算工具箱（Symbolic Toolbox)。从此MATLAB便集数值计算、符号计算和图形处理三大基本功能于一体，成为数学计算各语言中功能最强、操作最简单和最受用户喜爱的语言。,5, 3.1 符号表达式的

3、生成, 符号运算的特点： 在符号运算过程中，变量都是以字符形式保存和运算，即使是数字也被当做字符来处理。 符号表达式的形式： 符号函数 不包括等号 符号方程 必须带等号 创建方法: 符号函数和符号方程 创建方法相同，最简单的方法和MATLAB中字符串变量的生成方法相同。 创建符号函数 f=log(x) f=log(x),6, 创建符号方程 equation=a*x2+b*x+c=0 equation=a*x2+b*x+c=0 创建符号微分方程 diffeq=Dy-y=x diffeq =Dy-y=x 注意：1）由这种方法创建的符号表达式对空格是很敏感的。因此，不要在字符间乱加空格符，否则在其它

4、地方调用此表达式的时候会出错。 2）由于符号表达式在MATLAB中被看成是1*1阶的符号矩阵，因此，它也可用sym和syms命令来创建。 如： f=sym( sin(x) ) f=sin(x) f=sym( sin(x)2=0 ) f=sin(x)2=0,7,syms x t; f=sin(x)+cos(t) f=sin(x)+cos(t) 此方法不能用来创建符号方程,syms x; f=sin(x)+cos(x) f=sin(x)+cos(x),8, 3.2 符号和数值之间的转换,目的：有时符号运算的目的是得到精确的数值解，这样就需要对得 到的解析解进行数值转换。在MATLAB中转换主要由两

5、个函 数digits和vpa完成。而这两个函数在实际中经常同变量替换 函数subs配合使用，其调用格式为： digits(D) 函数设置有效数字个数为D的近似解精度； R=vpa(S) 符号表达式S在digits函数设置下的精确的数值解； vpa(S,D) 符号表达式S在digits(D)精度下的数值解； 例题：求方程 3x2-ex=0 的精确解和各种精度的近似解。 s=solve( 3*x2-exp(x)=0 ),s = -2*lambertw(-1/6*3(1/2) -2*lambertw(-1,-1/6*3(1/2) -2*lambertw(1/6*3(1/2),9,vpa(s) ans

6、 = .91000757248870906065733829575944 3.7330790286328142006199540298434 -.45896226753694851459857243243408 vpa(s,6) ans = .910008 3.73308 -.458962,例题：设函数为 f(x)=x-cos(x)，求此函数在 x =点的值。 x=sym(x),f=x-cos(x),f1=subs(f, pi,x) f1=pi+1,10,numeric(f1) ans = 4.1416 double(f1) ans = 4.1416,digits(25); vpa(f1),a

7、ns =4.141592653589793238462643,11, 3.3 符号函数的运算,一、复合函数运算 若函数 z=z(y) 的自变量y 又是x 的函数y=y(x)，则求z对x的函数的过程称为复合函数运算。在MATLAB中，此过程可由功能函数compose来实现。 调用格式： compose(f,g) 返回当f=f(x)和g=g(y)时的复合函数f(g(y),这里x为findsym定义的f的符号变量， y为findsym定义的g的符号变量. compose(f,g,z) 返回的复合函数以z为自变量。 compose(f,g,x,z) 返回复合函数f(g(z),且使得x为f的独立变量，即

8、如果f=cos(x/t),则compose(f,g,x,z) 返回cos(g(z)/t),而compose(f,g,t,z) 返回cos(x/g(z)。,12,compose(f,g,x,y,z) 返回的复合函数f(g(z),并使得x为f的独立变量，y为g的独立变量。,复合函数运算示例： syms x y z t u; f=1/(1+x2); g=sin(y); h=xt; p=exp(-y/u); compose(f,g);,ans =1/(1+sin(y)2),compose(f,g,t);,ans =1/(1+sin(t)2),compose(h,g,x,z);,13, compose(

9、h,g,t,z); ans =xsin(z) compose(h,p,x,y,z); ans =exp(-z/u)t compose(h,p,t,u,z); ans =xexp(-y/z),ans =sin(z)t,14, 3.4 符号矩阵的创立,在MATLAB中创建符号矩阵的方法和创建数值矩阵的形式很相似，只不过要用到符号定义函数sym。 一、使用sym函数直接创建符号矩阵 矩阵元素是任何不带等号的符号表达式，各符号表达式的长度可以不同 如：a=sym(1/s+x,sin(x) cos(x)2/(b+x);9,exp(x2+y2),log(tanh(y) ),a = 1/s+x, sin(x

10、), cos(x)2/(b+x) 9, exp(x2+y2), log(tanh(y),15,二、用创建子阵的方法创建符号矩阵 ms=1/s,sin(x) ; 1 ,exp(x) ms =1/s,sin(x) 1 ,exp(x) 注意：要保证同一列的各元素字符串具有相同的长度，为此 在较短字符串的前后可用空格符补充。 b=a; exp(-i), 3 ,x3+y9 ,b = 1/s+x, sin(x), cos(x)2/(b+x) 9, exp(x2+y2), log(tanh(y) exp(-i), 3, x3+y9 ,三、将数值矩阵转化为符号矩阵 在MATLAB中，数值矩阵不能直接参与符号运

11、算，必须先转化为符号矩阵。,16,如：a=2/3,sqrt(2),0.222;1.4,1/0.23,log(3) b=sym(a) 四、符号矩阵的索引和修改 用矩阵的坐标括号表达式实现。 如：对上例中的矩阵b的索引和修改。 b(2,3) %矩阵的索引 b(2,3)=log(3) %矩阵的修改,b = 2/3, sqrt(2), 111/500 7/5, 100/23, 4947709893870346*2(-52),b = 2/3, sqrt(2), 111/500 7/5, 100/23, log(3),17, 3.5 符号矩阵的运算,一、基本运算 1. 符号矩阵的四则运算 矩阵的加（+）、

12、减（-）法 例如：a=sym(1/x,1/(x+1);1/(x+2),1/(x+3) ); b=sym(x,1;x+2,0); b+a 矩阵的乘（*）、除（/、）法 如： ab,ans = 1/x+x, 1/(x+1)+1 1/(x+2)+x+2, 1/(x+3),18, 矩阵的转置（） 如：a,ans = -6*x-2*x3-7*x2, 3/2*x2+x+1/2*x3 6+2*x3+10*x2+14*x, -1/2*x3-2*x2-3/2*x,simple(ans),ans = -x*(x+2)*(2*x+3), 1/2*x*(x+2)*(x+1) 2*(x+3)*(x+1)2, -1/2*

13、x*(x+3)*(x+1),ans = 1/conj(x), 1/(2+conj(x) 1/(1+conj(x), 1/(3+conj(x),19,2. 符号矩阵的行列式运算 如：det(a) ans=2/x/(x+3)/(x+1)/(x+2) 3. 符号矩阵的逆 如：inv(b) 4. 符号矩阵的秩 如; rank(a) ans=2 5. 符号矩阵的幂运算 如：a2,ans = 0, 1/(x+2) 1, -x/(x+2),ans = 1/x2+1/(x+1)/(x+2), 1/x/(x+1)+1/(x+1)/(x+3) 1/(x+2)/x+1/(x+3)/(x+2), 1/(x+1)/(x

14、+2)+1/(x+3)2,20,6. 符号矩阵的指数运算 符号矩阵的“数组指数”运算由函数exp实现, 如：exp(b)； 符号矩阵的“矩阵指数”运算由函数expm实现; 如：expm(b), exp(b) ans = exp(x), exp(1) exp(x+2), 1,expm(b) a=0 1;3 2 syms t expm(a*t),ans = 1/4*exp(3*t)+3/4*exp(-t), -1/4*exp(-t)+1/4*exp(3*t) -3/4*exp(-t)+3/4*exp(3*t), 3/4*exp(3*t)+1/4*exp(-t),21,二、矩阵分解 1. 符号矩阵的

15、特征值分解 函数eig 如： x,y=eig(b); x=simple(x),x = 1, 1 -1/2*x+1/2*(x2+8+4*x)(1/2), -1/2*x-1/2*(x2+8+4*x)(1/2),y = 1/2*x+1/2*(x2+8+4*x)(1/2), 0 0, 1/2*x-1/2*(x2+8+4*x)(1/2),2. 符号矩阵的约当标准形函数 jordan 如：a=sym(1 1 2;0 1 3;0 0 2 ) x,y=jordan(a),22,3.符号矩阵的三角抽取 函数diag tril triu 如： z=sym(x*y xa sin(y);ta log(y) b;y e

16、xp(t) x ),x = 5, -5, -5 3, 0, -5 1, 0, 0,y = 2, 0, 0 0, 1, 1 0, 0, 1,z = x*y, xa, sin(y) ta, log(y), b y, exp(t), x,triu(z); diag(z); tril(z),ans = x*y, xa, sin(y) 0, log(y), b 0, 0, x ,ans = x*y log(y) x,ans = x*y, 0, 0 ta, log(y), 0 y, exp(t), x,23,四、符号矩阵的简化 1. 因式分解函数 factor 调用格式： factor(S) 输入变量为一

17、符号矩阵，此函数将分解矩阵的各个元素； S包含的所有元素为整数，则计算最佳因式分解式。 如: 符号表达式的分解 syms x factor(x9-1) 分解大整数(factor(sym( N ) factor(sym( 12345678901234567890 ),ans = (x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1),ans = (2)*(3)2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541),24,2. 符号矩阵的展开函数 expand 调用格式： expand(s) 对符号矩阵的各元素的符号表达式进行展开，也常用 于三角函数、指数函数和对数函数的展开中

18、。,如： syms x y expand(x+1)3) 多项式展开 expand(sin(x+y) 三角函数展开,ans = x3+3*x2+3*x+1,ans = sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y),3. 同类式合并 函数 collect 调用格式： collect(S,v) 将符号矩阵S中的各元素的v的同幂项系数合并； collect(S) 对由findsym函数返回的默认变量进行同类项合并。,25,如：syms x y collect(x2*y+y*x-x2-2*x) ans =(y-1)*x2+(y-2)*x collect(x2*y+y*x-x2-2*x,y) a

19、ns =(x2+x)*y-x2-2*x 4. 符号简化 函数 simple和 simplify simple 用于寻找符号矩阵或符号表达式的最简型。调用格式： simple(S) 对表达式S 尝试多种不同的算法简化，以显示S的长度最 短的简化形式，若S为一矩阵，则结果是全矩阵的最短 形，而非每个元素的最短形。,simplify 符号简化函数 调用格式： simplify(S) 简化符号矩阵的每一个元素。,26,如：syms x c alpha beta simplify(sin(x)2+cos(x)2) ans=1 simplify(exp(c*log(sqrt(alpha+beta) ans

20、 =(alpha+beta)(1/2*c) 5. 分式通分 numden 求解符号表达式的分子和分母。 调用格式： N,D=numden(A) 把A的各元素转换为分子和分母都是整系数的 最佳多项式型。 如： n,d=numden(x/y+y/x),n = x2+y2,d = x*y,27, 3.6 符号微积分,一、符号极限 极限的求解可由limit函数来实现，调用格式： limit(F,x,a) 计算符号表达式F在xa条件下的极限值； limit(F,a) 计算符号表达式中由findsym(F)返回的独立变量 趋向于a的极限值； limit(F) 计算a=0时的极限； limit(F,x,a,

21、 right)或limit(F,x,a, left) rigft,left用来指定取极限 的方向。 如： syms x a t h; limit(sin(x)/x) ans=1 limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) ans=exp(6*t) limit(1/x,x,0,right) ans=inf,28,二、符号积分 1. 符号积分函数 int ，调用格式： int(S) 计算符号表达式S对由findsym返回的符号自变量的不定积分， S为符号矩阵或符号数量，若S为常数，则积分针对x。 int(S,v) 计算符号表达式S对符号自变量v的不定积分，v是一数量 符号量。 int(S

22、,a,b) 计算符号表达式S对默认符号变量从a到b的定积分，a和 b为双精度或符号数量。 int(S,v,a,b) 计算符号表达式对变量v从a到b的定积分。 如：syms x x1 alpha u t; A=cos(x*t),sin(x*t);-sin(x*t),cos(x*t),A = cos(x*t), sin(x*t) -sin(x*t), cos(x*t),29,int(A,t),ans = 1/x*sin(x*t), -cos(x*t)/x cos(x*t)/x, 1/x*sin(x*t),int(x1*log(1+x1),0,1) ans=1/4,30,三、符号微分和差分 微分和差

23、分函数 diff 调用格式： diff(S) 对由findsym返回的自变量，求符号表达式S的微分。 diff(S, v)或diff(S,sym(v) 对自变量v，求表达式S的微分 diff(S,n) 对于正整数n，对表达式S微分n次。 如： x=sym(x); t=sym(t); diff(sin(x2) ans=2*cos(x2)*x diff(t6,6) ans=720,31, 3.7 符号代数、微分方程求解,一、线性方程组的符号解法 线性方程的符号求解函数 linsolve solve 此方法可得到方程组的精确解，所得的解析解可由函数vpa转换在浮点近似数值。 例：试对数值方程组用符号

24、求解函数来求解。 a=sym(10, 1, 0;-1 ,10 ,2;0 ,2 ,10 ) b=(9;7;6 ) linsolve(a,b) vpa(ans,5),ans = 473/475 91/95 376/475,ans = .99579 .95789 .79158,32,二、非线性方程的符号解法 非线性方程的符号求解由函数fsolve实现，调用格式为： X=fsolve(fun,x0) fun为所要求解的函数名，通常以M文件的形 式给出，返回函数值F=fun(x)，x0为求解方程的初始值。,例：用fsolve函数求解下面非线性方程。,解：首先编制函数文件fc.m 如下 fc.m func

25、tion y=fc(x) y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1)-0.2*cos(x(2) y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1)+0.2*sin(x(2) y=y(1) y(2);,33,在MATLAB命令窗口输入： x0=0.5,0.5 fsolve(fc,x0),ans = 0.5265 0.5079,三、常微分方程的符号解 常微分方程的符号解由函数 dsolve来计算，主要调用格式为： dsolve(equ1, equ2,),以代表微分方程及初始条件的符号方程为输入参数，多个方程或初始条件可在一个输入变量内联立输入，且以逗号分隔。默认的独立变量为t ，也可把t变为其它的符号

26、变量。字符D代表对独立变量的微分，通常指d/dt。紧跟D的数字代表高阶微分如D2为d2/dt2。紧跟此操作符的任何符号都可作被微变量，如D3y代表对y(t)的3阶微分。,34,例: dsolve(Dx=-a*x) ans =C1*exp(-a*t) S=dsolve(Du=v,Dv=w,Dw=-u, u(0)=0,v(0)=0,w(0)=1) S = u: 1x1 sym v: 1x1 sym w: 1x1 sym S.u ans =1/3*3(1/2)*exp(1/2*t)*sin(1/2*t*3(1/2)- 1/3*exp(1/2*t)*cos(1/2*t*3(1/2)+1/3*exp(-t) 注意：用户定义的符号变量不能再