华中科技大学复变函数

1、 通 知 以班为单位买练习册（每册五元） 时间：本周周三下午 地点： 行政楼234； 引引 言言 在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano 引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 Euler 公式 揭示了复指数函数

2、与三角函数之 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss ( 德国1777-1855)与W.R.Hamilton ( 爱尔兰1805-1865) 定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和 发展。 ? 1040 xx? 515515?与 cossin i ei ? ? aib? 复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着 广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平 面问题的有力工

3、具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的 推广和发展 。 第一章 复数与复变函数 1.1复数及其表示法 一对有序实数（ ）构成一个复数，记为 . iyxz? 自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象. 由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有 的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复 变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法 奠定必要的基础. x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), . 1 i ? ? zx iy? 称为 Z 的共轭复数。 与实数不同, 两个复数相

4、等 他们的实部和虚部都相等他们的实部和虚部都相等 特别地，特别地， ? 00?yxiyxz 1.代数形式 : iyxz? 复数的表示法 1)点表示 zxiy?复数复数 y z(x,y) x x 0 y 复平面 实轴 虚轴 z(x,y) XOY 上点 ? 复平面 一般说来, 任意两个复数不能比较大小 . 2) 向量表示 -复数z的辐角(argument) 记作Arg z=? . 任何一个复数z? ?0有无穷多个幅角, ,将满足 ?p ?0?p 的?0 称为Arg z的主值, 记作?0=arg z .则 Arg z=?0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数) ?复数z=x+iy矢径z

5、z 0 x y x y ? z=x+iy z 22 zzrxy?-复数z的模 | |,| | |,| |,| 22 zzz z yxz zyzx ? ? ? zr? z ? r 与x轴正向的夹角 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在第三象限 在第二象限 在第一、四象限 z x y z x y z x y z ,arctan ,arctan ,arctan arg p p 当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arctan 22 y x pp ?其中 说明：当 z 在第二象限时， arg0 22 z pp ?p?p? ? tan()tan()tan y x ?pp

6、 ? ?arctan y x ?p? arctan. y x ?p? arg z与x和y的关系: 2.指数形式与三角形式 ),(zArgzr? )sin(cos?irz? ?i re z ? 利用直角坐标与极坐标的关系 : x = r cos?, y = r sin?, 可以将z表示成三角表示式: 利用欧拉公式 e i? = cos? + i sin? 得指数表示式: 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式 . 1)122 ;2)sincos. 55 zizi pp ? ? 解 1) |1244.rz? z在第三象限, 因此 235 arctanarctan. 3612 ?ppp ? ?

7、? ? ? 因此 5 6 55 4cos()sin()4 66 i zie p pp ? ? ? ? ? 2) 显然, r = | z | = 1, 又 3 sincoscos, 52510 3 cossinsin. 52510 ppp p ppp p ? ? ? ? ? ? ? ? 因此 3 10 33 cossin 1010 i zie p pp? 练习： 写出 的辐角和它的指数形式。 13 2 i z ? ? 解： ? ? 3 22 argarctanarctan3, 1 233 z pp ppp? ? ? 2 arg22, 3 ArgzzkkkZ p pp? 1,rz? 23 . i

8、ze p ? 1.2复数的运算 222111 ,iyxziyxz?设 )0( )()( )( 2 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2 1 1221212121 212121 ? ? ? ? ? ? ? ? ? z yx yxyx i yx yyxx z z yxyxiyyxxzz yyixxzz z1+z2=z2+z 1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3) z1(z2z 3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 . 复数运算满足交换律 ,结合律和分配律 : 1 . 四则运算 加减法与平行四边形加减法与平行四边形

9、 法则的几何意义法则的几何意义: 乘、除法的几何意义乘、除法的几何意义 : 1 11 i zr e ? ? 2 22 i zr e ? ? 12 () 121 2 i z zr r e ? ? , 121 212 1212 rg z zr rzz Argz zAzArgz ? ? ? ? , 1 z 2 z 12 zz? 21 zz? , 定理定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 , 两个两个 复数乘积的幅角等于它们幅角的和复数乘积的幅角等于它们幅角的和 . 几何上几何上 z1z 2 相 相 当于将 z2 的 模扩大模扩大 |z1| 倍倍 并旋转一个角

10、度Arg z 1 . 0 1 1 z 2 z 12 z z 1 r 2 r 1 2 r r 1 ? 2 ? 1 ? 12 ? ? x y 1 iz 1 2z 2112 1 212 1 zzzz r rrr ? ? 2 21 1 2 211 1 2 21 1 0 z zz zz zzz z z ArgzArgArgz z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 () 22 11 i zr e zr ? ? 2 2 11 2 21 1 zz zz z ArgArgzArgz z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 按照乘积的定义 , , 当z1?0时, , 有 定理2 2 两个复数的商的

11、模等于它们的模的商 , , 两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差 . ? 2 2 . . 乘方与开方运算 1）乘方 ?cossin nninn zr ernin ? ? De Moivre 公式： ?cossincossin n inin? 2 ）开方: 若满足， 则称w为z的n次方根， n wz? 记为 . n wz? ziArgwinArg n ezew?于是 2 (0,1,2,1) n wz argzk Argw n kn p ? ? ? ? ? ? ? ? ? 推得 2 1 22 cossin (0,1,1) arg zk i n n n n wzze arg zkarg z

12、k ri nn kn p pp ? ? ? ? ? ? ? 从而从而 几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心 , r 1/n为半径的圆 的内接正n边形的n个顶点。 例2 求 4 1. i? 解 因为 12 cossin, 44 ii pp? ? ? ? 所以 84 22 44 12 cossin,(0,1,2,3) 44 kk iik pp pp ? ? ? ? ? ? ? ? 即 8 0 8 1 8 2 8 3 2 cossin, 1616 99 2 cossin, 1616 1717 2 cossin, 1616 2525 2 cossin. 1616 wi wi wi wi pp p

13、p pp pp ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 四个根是内接于中心在原点半径为 21/8的圆的正方形的四个顶点 . 2 8 2 1+i w 0 w 1 w 2 w 3 O x y 练习 求复数 的模与辐角主值。 3 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? i i ? 2 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i i 1.31.3复数形式的代数方程与平面几何图形复数形式的代数方程与平面几何图形 很多平面图形能用复数形式的方程 (或不等式)来 表示; 也可以由给定的复数形式的方程 (或不等式)来 确定它所表示的平面图形 . 例3 将通过两点z 1=x1

14、+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的 方程来表示. 解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为 121 121 (), () (). xxt xx t yyt yy ? ? ? ? ? ? ? 因此, 它的复数形式的参数方程为 z=z 1+t(z2-z1). (-? tM 平面上以 z 0为中心, d (任意的正数)为半径的圆: |z?z0|d 内部的点的集合称为 z 0的邻域, 而称由不等式 0|z?z0|M （ M0 ） 无穷远点的邻域 M|z|+? 无穷远点的去心邻域 无穷远点的邻域 o x y N ? M 设设G为一平面点集,z0为为G中任意一点. .如

15、果存在如果存在z0的一 个邻域,该邻域内的所有点都属于 G,则称z 0为 为G的的内点. 平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件如果它满足下列两个条件 : 设设D为复平面内的一个区域为复平面内的一个区域 , 如果点P不属于D, 但在P的任意小的邻域内总包含有的任意小的邻域内总包含有 D中的点, 这样的点P 称为D的的边界点. D的所有边界点组成 D的的边界. 区域的 边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的 . 如果G内的每个点都是它的内点内的每个点都是它的内点 , 则称G为为开集. 1) D是一个是一个开集; 2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于 D 的一条折线连

16、接起来的一条折线连接起来 . 区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域 , 记作?D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面 , 即存在正数 M, 使区域 D的每个点z都满足 |z|M, 则称 D 为有界的, 否则称为无界的. 2. 单连通域与多连通域 没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线. 如果简单曲 线 C的起点与终点闭合 , 则曲线 C 称为简单闭曲线. z(a)=z(b) 简单,闭 z(a) z(b) 简单,不闭 z(a)=z(b) 不简单,闭 不简单,不闭 z(a) z(b) 任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三 个互不相交的点集 , 其中除去 C 外, 一个

17、是有界区域 , 称为 C 的内部, 另一个是无界区域 , 称为 C 的外部, C 为它们的公共边界 . 简单闭曲线的这一性质 , 其几何直 观意义是很清楚的 . 内部 外部 C 定义定义 复平面上的一个区域 D, 如果在其中任作一条简单 闭曲线, 而曲线的内部总属于 D, 就称为单连通域, 一个 区域如果不是单连通域 , 就称为多连通域. 复连通区域 单连通区域 D D 1.5 复变函数 1. 复变函数的定义 定义 设 D 是复平面中的一个点集 , f Dzw? ?数数复 ? ? wf z? 称为复变函数. 其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u ,v . 因而函数 w = z2 对应于

18、两个二元函数 : u = x 2 ?y 2, v = 2xy ? ,f xiyu x yiv x y? 例如, 考察函数 w = z2. 令 z = x+iy, w = u+iv , 则 u+iv = (x+iy)2 = x2 ?y 2+i2xy , 在以后的讨论中 , , D常常是一个平面区域 , 称之为 定义域 . . 如无特别声明, , 所讨论的函数均为 单值函数. 2. 映射的概念 函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点 集D(定义集合) )变到 w平面上的一个点集 G ( (函数值集合) 的映射( (或变换). ). 如果 D 中的点 z 被映射 w=f (z)

19、 映射 成 G中的点 w, 则 w 称为 z 的象( (映象), 而 z 称为 w 的 原象. . x u D G Z z w W=f(z) v y W 设函数设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2 ?y 2+i2xy , 有有 u = x 2 ?y 2, v = 2xy x y O u v O z 1 z 2 w 2 z 3 w 3 w 1 1 2 3 12 1 zi zi z ? ? ? ? 1 2 3 1 34 1 w wi w ? ? ? ? ? ? Im0 Re0 1 zy zx z ? ? ? 22 Im20 1 wxy wuv ? ? 1.6 复变函数的极限和连续性复

20、变函数的极限和连续性 1.函数的极限 定义 设函数 w = f (z)定义在 z 0的去心邻域 0|z?z0|0, 相应地必有正 数d (e) (0 d ?r), 使得当 0 |z?z 0|d 时,有| f (z)?A |e ,则 称A为f (z)当 z趋向于z 0时的极限, 记作 Azf zz ? ? )(lim 0 或记作当 z? z 0 时 , f (z)? A. ? ?dd? 2 0 2 00 00yyxxzz注意： 几何说明几何说明: : x y O z 0 d z O u v A e f(z) 0 lim ( ) zz Af z ? ?意味着：意味着： 0 ( ) z zf z 当

21、 从平面上任一方向、沿任何路径、以任意 方式趋近于 时，均以A为极限。 等价定义： 设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u 0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则 0 0 0 0 0 0 0 lim(,) lim(). lim(,) xx yy zz xx yy ux yu fzA v x yv ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 运算性质： )(lim)(lim)()(lim) 1 ( 000 zgzfzgzf zzzzzz? ? )(lim)(lim)()(lim)2( 000 zgzfzgzf zzzzzz? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0)(lim )(lim )(lim )( )( lim)3( 0 0 0 0 zg zg zf zg zf zz zz zz zz 当当 z? ? 0 时的极限不存在时的