2020届高考数学山东省二轮复习训练习题：专题三第1讲空间几何体、表面积与体积

1、专题三立体几何第 1 讲空间几何体、表面积与体积一、选择题1.水平放置的 ABC 的直观图如图 ,其中 BO=CO=1,AO= 3 ,那么原 ABC 是一个2()A. 等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形3答案AAO=2AO=2 2 =3,BC=BO+CO=1+1=2,在 Rt AOB 中,AB= 12 + (3) 2 =2,同理 AC=2,所以 ABC 是等边三角形 .2.给出下列几个命题 :在圆柱的上、 下底面的圆周上各取一点 ,则这两点的连线是圆柱的母线 ;底面为正多边形 ,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 ;棱台的上、下底面可以不相

2、似 ,但侧棱长一定相等 .其中正确命题的个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3答案 B 错误 ,只有这两点的连线平行于轴时才是母线 ;正确 ;错误 ,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 ,各侧棱延长线交于一点 ,但是侧棱长不一定相等 .3.(2019 湖北武汉 5 月模拟 )已知长方体全部棱长的和为36,表面积为 52,则其体对角线的长为 ()A.4 B.29C.223 D.417答案B 设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,由已知得 4(?+ ?+ ?)= 36,2(?+ ?+ ?)= 52,的两边同时平方得 x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=81, 把代入得 x2+y2

3、+z2=29,所以长方体的体对角线的长为 29.故选 B.4.已知圆柱的高为 2,底面半径为 3,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于 ()A.4 B.16 C.32 D.1633222答案 D表面积为R=16故.选 D.如图 ,球的半径 R=?4+ A? =1 + 3=2,5.(2019 山西六校联考 )如图 ,一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为9 cm,高为 36cm.玻璃杯内水深为33 cm,将一个球放在杯口 ,球面恰好与水面接触 ,并且球面与杯口密闭.若不计玻璃杯的厚度 ,则球的表面积为 ()A.900 cm2 B.450cm2C.800 cm2 D.40

4、0cm2答案A由已知 ,球嵌入玻璃杯的高度 h=36-33=3(cm).设球的半径为 R(cm),则222所以该球的表面积22所以选=900 (cmA.R =9 +(R-3) ,解得 R=15,S=4R),6.已知矩形 ABCD 的顶点都在球心为O,半径为 R 的球面上 ,AB=6,BC=2 3,且四棱锥O-ABCD 的体积为 83,则 R 等于 ()47D.13A.4 B.23C. 91答案A设球心 O 到平面 ABCD 的距离为 h,由题意可知 V O-ABCD =3S 矩形1ABCD h=3623h=83,解得 h=2,又矩形 ABCD 所在的截面圆的半径为12212+ (2 3)2=2

5、3,从而球的半径 R=22+ (2 3)2=4.故选 A.2 ?+ B?= 627.(2019广州模拟 )三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC 平面 ABC,AB AC,PA=PC=AC=2,AB=4,则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为 ()A.23 B.23 C.64 D. 64 43答案D如图 ,设 O为正 PAC 的中心 ,D 为 RtABC 斜边的中点 ,H 为 AC 的中点 ,连接 PH,HD.由平面 PAC平面 ABC 得 OH平面 ABC. 作 OO HD,OD OH,则交点 O223231为三棱锥 P-ABC 的外接球的球心 ,连接 OP,又 OP= ,OO=DH=2 A

6、B=2.3 PH=322= 32222416264R =OP =OP +OO =3+4= 3 ,三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积 S=4R= 3.8.(2019 福建福州质检 ,11)如图 ,以棱长为 1 的正方体的顶点A 为球心 ,2为半径作一个球面 ,则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()3B.2A. 4C.3D.924答案C 正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分,如图 ,上底面被截得的弧长是以A 1 为圆心 ,1 为半径的圆周长的 14,所以所有弧长之和为2 334 = 2 .故选 C.9.把一个皮球放入如图所示的由8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨

7、架内,使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点 (皮球不变形 ),则皮球的半径为 ()A.103 cm B.10 cmC.102 cm D.30 cm答案 B 在四棱锥 S-ABCD 中 ,所有棱长均为 20 cm,连接 AC,BD 交于点 O,连接 SO, 如图 ,则 SO=AO=BO=CO=DO=10 2 cm,易知点 O 到 AB,BC,CD,AD 的距离均为 10 cm,在等腰三角形 OAS 中,OA=OS=102 cm,AS=20 cm,所以 O 到 SA 的距离 d=10 cm,同理可证 O 到 SB,SC,SD 的距离也为 10 cm,所以球心为四棱锥底面 ABCD 的中心 ,所以皮

8、球的半径 r=10 cm.10.(多选 )如图 ,正三棱柱 ABC-A 1B1C1 各条棱的长度均相等 ,D 为 AA 1 的中点 ,M,N 分别是线段 BB1 和线段 CC1 上的动点 (含端点 ),且满足 BM=C 1N, 当 M,N 运动时 ,下列结论中正确的是 ()A. 在 DMN 内总存在与平面ABC 平行的线段B.平面 DMN 平面 BCC1B1C.三棱锥 A 1-DMN 的体积为定值D.DMN 可能为直角三角形答案ABC用平行于平面ABC 的平面截平面 DMN, 则交线平行于平面ABC, 故 A 正确 ;当 M,N 分别在 BB 1,CC1 上运动时 ,若满足 BM=C 1N,则

9、线段 MN 必过正方形 BCC1B1 的中心 O,由 DO平面 BCC1B1 可得平面 DMN 平面 BCC1B1,故 B 正确 ;当 M,N 分别在 BB 1,CC1 上运动时 ,A1DM 的面积不变 ,点 N 到平面 A 1DM 的距离不变 , 所以三棱锥 N-A 1DM 的体积不变 ,即三棱锥 A 1-DMN 的体积为定值 ,故 C 正确 ;若 DMN 为直角三角形 ,则必是以 MDN 为直角的直角三角形 ,易证 DM=DN, 所以 DMN 为等腰直角三角形 ,所以 DO=OM=ON, 即 MN=2DO. 设正三棱柱的棱长为 2,则 DO=3,MN=2 3.因为 MN 的最大值为 BC1

10、 ,BC1=22,所以 MN 不可能为 23,所以 DMN 不可能为直角三角形 ,故 D 错误 .故选 ABC.二、填空题?11.已知一个正方体外接球的体积为1的值为.V 1,内切球的体积为 V 2,那么 ?2答案33解析设正方体的棱长为 a,4333a3? ?3123则1143 =() =(1)=(3) =33.?=?3 ?2 a22212.如图 ,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为 4 cm,圆柱的底面面积为 9 3 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm 的正三棱柱零件 ,则该正三棱柱零件的底面边长为cm.(不计损耗 )答案210解析

11、 V3),正六棱柱=2434=963(cmV 圆柱 =934=363(cm3 ),V 正三棱柱 =963-363=603(cm3).设正三棱柱零件的底面边长为a cm,则1 a 3 解得22 a6=60 3,a=2 10.故正三棱柱零件的底面边长为 210 cm.13.(2019 河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1 的三棱锥 ,各侧棱长都相等 ,底面是边长为2 的等边三角形 ,则三棱锥的表面积为,若三棱锥内有一个体积为V 的球 ,则 V 的最大值为.答案43381解析该三棱锥侧面的斜高为12223123 底3),则 S侧 =3 ( 3+ 1 = 3223=2 3,S=1 32=3,所

12、以三棱锥的表面积S 表 =23+3=33.由题意知 ,当球与三棱锥的四个面2都相切时 ,其体积最大 .设三棱锥的内切球的半径为 r,则三棱锥的体积 V锥=31 S 表r=31 S1所以三棱锥的内切球的体积最大为4341,所以 33r=3,所以 r=V =3r底3,=81 .max14.(2019湖北联考 )一个帐篷下部的形状是高为2 m 的正六棱柱 ,上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥 (如图所示 ).当帐篷的顶点 D 到底面中心 O1 的距离为时,帐篷的体积最大 .答案7 m解析设 DO1 为 x m(2x5),由已知得 ,正六棱锥底面边长为 9-(?-2)22=5+ 4?-? m,底面

13、正六边形的面积为32 233226=,4(5+ 4?-?)2(5+4x-x ) m3 32)13 33 32 ) 2 +所以帐篷体积为 V(x)=2 (5+4x-x2+3 2 (5+4x-x2)(x-2)=2 (5+4x-x1333 (x -2) = 2 (5+4x-x 2)(x+4),所以 V(x)=2 (21-3x2),当 2x0,V(x) 单调递增 ;当7x5 时 ,V(x)0,V(x) 单调递减 ,所以当 x=7时,V(x) 取得最大值 .命题拓展预测1.我国南北朝时期的科学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同 ,则积不容异.”意思是 :如果两个等高的几何体在等高处的水平截面的面

14、积恒等,那么这两个几何体的体积相等 .利用此原理求以下几何体的体积 :如图 ,曲线 y=x2 (0 y L)和直线 y=L 围成的封闭图形绕 y 轴旋转一周得几何体 Z,将 Z 放在与 y 轴垂直的水平面 上,用平行于平面 ,且与 Z 的顶点 O 距离为 l 的平面截几何体 Z,得截面圆的面积为 (?)2= l由.此构造右边的几何体Z1(三棱柱 ABC-A 1B1C1),其中 AC 平面 ,BB1C1C ,EFPQ ,AC=L,AA1 ? ,AA1= ,Z1 与 Z 在等高处的截面面积都相等 ,图中EFPQ 和BB1C1C 为矩形 ,且PQ= ,FP=l,则几何体 1 的体积为 ()23A.

15、L B. L1213C.2L D.2 L答案C由题意可知 ,在高为 L 处,几何体 Z 和 Z1 的水平截面面积相等 为 所以,L,?= L,所以 BC=L,矩形 ? C11所以 ?12?- ABC =L三棱柱? ? =S2,故选 C.1112.已知三棱锥 P-ABC 的棱 AP,AB,AC 两两垂直 ,且长度都为 3,以顶点 P 为球心 ,2 为半径作一个球 ,则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和等于()A.3 B.324D.5C. 36答案B如图所示 ,由题意知 RtPAC,Rt PAB 为等腰直角三角形 ,且AP=AB=AC= 3.以顶点 P 为球心 ,2 为半径作一个球 ,设球 P 与 Rt PAC 的边 PC,AC 分别