打印二次根式知识点

1、二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（“一）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、 分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以订一是儿为 二次根式的前提条件，如/，八 等是二次根式，而 丄卞，- -i等都不是二次根式。例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、Vx （x0）、V0、42、-2、1、y （x0, y?0）.xx y 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ 广”；第 二，被开方数是正数或0.知识点二：取值范围1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a三0 时，儿有意义，是二次根式，

2、所以要使二次根式有意义，只要 使被开方数大于或等于零即可。2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当aV 0时，z没有意义。例2.当X是多少时，3x 1在实数范围内有意义?例3.当x是多少时，2FP +丄在实数范围内有意义？x 1知识点三：二次根式二（二）的非负性表示a的算术平方根，也就是说，（-工 ）是一 个非负数，即 m 0（._）。注：因为二次根式；（丄-打 表示a的算术平方根，而正数的算术 平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平 方根是非负数，即10 （.i ），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较 多

3、，如若人|，贝S a=0,b=0 ;若卜，贝q a=0,b=0 ;若 if，贝卩 a=0,b=0。例4（1）已知y= ./T匸+、门+5,求-的值.若.厂+ ,b7=0, y求护04+呼004的值知识点四：二次根式（二）：的性质./： - （）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式）是逆用平方根的定义得出 的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，贝y，如:4.（了）2例1计算1.（、3）22. （3 5 ） 23. C 6）2例2在实数范围内分解下列因式：(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x2-3知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数

4、的平方的算术平方根等于这个数的绝对 值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身，即1,1 -;若a是负数，则等于a的相反数-a,即二同二_或衣了）；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论 a取何值,；一 定有意义；3、 化简时，先将它化成:，再根据绝对值的意义来进行化简。例1化简（1）一 9（ 2）.T4）2（ 3） 25（ 4）.访例 2 填空：当 a0 时，JO2二;当 aa,则a是什么数？例 3 当 x2，化简 _（x 2）2 - , （1 2x）2 .知识点六：- 与，的异同点1、 不同点：与匕表示的意义是不同的，亠表示一个正数a

5、的算术平方根的平方，而J表示一个实数a的平方的算术平方 根;在J 中,而 中a可以是正实数，0,负实数。但2 与乙都是非负数，即- 1 ,-。因而它的运算的结果是厂丄倚*卜吟?）有差别的，_，而-2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，小;时, ”无意义，而J知识点七：二次根式的乘除1、乘法,a 、b = ab (a0, b0)反过来：ab =、a b (aa(a0, b0)ab0, b0) 2、除法:k!（也,已反过来，（思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为 b在分母, 所以不能为0）例1 .计算(1) 4虧 X V?(2)石 X 逅(3)9 X , 27化简(1),9 16(2)

6、、16 81(3) . 9x2y2例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:(1) . (4)(9)_4_9(2) , 412 X 25 =4X25例4 .计算:(1)X 、25 =4X 25 =4,12=8 J3例5.化简:例6.已知，9 :3、最简二次根式应满足的条件:（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数 是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是 否是2 （或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条 件，就不是最简二次根式）12例1.把下列二次根式

7、化为最简二次根式（1） 3 ；（2） Jx2y4x4 y ；，8x2y34、化简最简二次根式的方法：（1）把被开方数（或根号下的代数式）化成积的形式，即分解因式；（2）化去根号内的分母（或分母中的根号）,即分母有理化;（3）将根号内能开得尽方的因数（或因式）开出来.（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）5. 有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：-卜丁宀与厂二-；说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化.13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。女口 .8 与、18知识点八：二

8、次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。(合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。例 1.计算(1) 8+ .18(2) .T6X + . 64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第 二步，将相同的最简二次根式进行合并.解：(1) , 8 + .18 =2 . 2 +3/2 = ( 2+3)2 =5,2(2)16x +、64x =4、x+8 , x = (4+8)、x=12,x例2 .计算(1) 3. 48 -9 1+3 -12 ( 2) ( . 48 + 20 ) + ( 12 -)例 3.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求(fxVix+y2 )-(x