第九章直线平面简单几何体(B)(第11课)直线与平面垂直(4).

1、课题：9. 4直线和平面垂直（四）教学目的:1 掌握三垂线定理及其逆定理的证明.2 正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直+教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明教学难点： 用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 *教学过程：一、复习引入：1直线和平面的位置关系（无数个公共点）；A （有且只有一个公共点）（没有公共点）（1）直线在平面内aa Iall（2 ）直线和平面相交（3 ）直线和平面平行2线面平行的判定推理模式：丨 ，m ,l llm lll定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平

2、面平行3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么 这条直线和交线平行 推理模式：丨，丨 ,I m l llm.4 .线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直”其中直线叫做平面的 垂线，平面叫做直线的 垂面交点叫做 垂足.直线与平面垂直简称 线面垂直，记作：a丄a +5 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面OA6 +直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于 一个平面，那麽这两条直线平行7 +三垂线定理 在平

3、面内的一条直线， 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面 的一条斜线的垂直关系；PO ,0（2）推理模式：PAI Aa , a 0A&三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂 直，那麽它也和这条斜线的射影垂直”P0 ,0推理模式： PAI Aa , a AP注意：三垂线指 PA PQ AO都垂直a内的直线 a其实质是：斜线和平面内 一条直线垂直的判定和性质定理 .要考虑a的位置，并注意两定理交替使用 三、讲解范例：例1如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只有量角器和皮尺作测量工具

4、，能否测出电塔顶与道路的距离？ 解：在道路边取点 C，使BC与道路边所成的水平角等于 90,再在道路边取一点 D，使水平角 CDB 45,测得C, D的距离等于20m ,/ BC是 AC在平面上的射影，且 CD BC二CD AC （三垂线定理）因此斜线段AC的长度就是塔顶与道路的距离，/ CDB 45,CD BC,CD 20m , BC 20m,在 Rt ABC 中得 | AC| . AB2 BC2 202答：电塔顶与道路距离是 25m .例2.点A为 BCD所在平面外的一点，点 0为点A在平面BCD内的射影,若 AC BD,AD BC，求证：AB CD .证明：连结OB,OC,OD ,/ A

5、O 平面 BCD，且 AC BD BD OC （三垂线定理逆定理）同理OD BC, O为 ABC的垂心， OB CD ,又 AO 平面BCD , AB cd （三垂线定理）例3.已知：四面体S ABC中，SA 平面ABC,B点A在面SBC上的射影，求证： H不可能是 SBC的垂心. 证明：假设H是 SBC的垂心，连结 BH，则BH SC,/ BH 平面 SBC BH是AB在平面SBC内的射影， SC AB （三垂线定理）又 SA 平面ABC, AC是SC在平面ABC内的射影 AB AC （三垂线定理的逆定理） ABC是直角三角形，此与“ABC是锐角三角形”矛盾假设不成立，所以，H不可能是 SB

6、C的垂心.例4.已知：如图，在正方体ABCD ABiGDi 中，E是 CCi 的中点,F是AC, BD的交点，求证：AF 平面BED .证明：AA, 平面ABCD , AF是AiF在面ABCD上的射影又 AC BD , A,F BD取BC中点G，连结FG, B1G , A1B1 平面 BCCiBi, FG 平面 BCC1B1 , B,G为AiF在面BCCi Bi上的射影，又正方形BCCiBi中，E,G分别为CCi,BC的中点, BEBiG , AiFBE （三垂线定理）又EBI BD B, AiF平面 BED .四、课堂练东习：AB= AC= i3,1.如图，PA ABC所在平面, BC的距离

7、.BC= iO, PA= 5,求点 P到直线参考答案：设BC的中点为D,连结PD AB= AC= i3, BC= iO,.ADL BC.且 AD= i2.又 PAL平面 ABC PD丄 BC即PD的长度就是 P到直线BC的距离.而 PD = i3.2 .如图，|是平面a的斜线， 斜足是O A是|上任意一点，AB是平面a的垂线,B是垂足，设 OD是平面a内与 OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C,若直线 l与平面a所成的角9= 45,/ BOC= 45，求/ AOC的大小.参考答案：连结BCAC是斜线AB1 aBC是射影卜二BC丄OD设AB = CL ,AC1OD.B0= a, A0= 72aMtABOC中，VZ5OC = 4亍,:.OC=- 二在RtAEOC中，有/ AOC = 60 .五、小结：我