第七章假设检验

1、第七章 假设检验一、教材说明本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、 正态总体参数的统计假设的显著性 检验方法 .。1、本章的教学目的与要求（ 1）使学生了解假设检验的基本概念；（ 2）使学生了解假设检验的基本思想；（ 3）使学生掌握假设检验的基本步骤；（ 4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系；（ 5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的 确定；（ 6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题。2、本章的重点与难点 本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布， 难点是假设检验 拒绝域的确定。二、教学内容下面主要分 3 节来讲

2、解本章的主要内容。7.1 假设检验的基本概念对总体分布或分布中的某些参数作出假设，然后利用样本的观测值所提供的信息，运 用数理统计的分析方法 ,检验这种假设是否成立，从而决定接受或拒绝“假设”,这一统计推断过程，称为 假设检验 。1. 引例 我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法 .例 1： 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量 , 它服从正态分布. 且知标准差为 0.015 千克 . 当机器正常时 , 其均值为 0.5 千克 , 某日开工后为检验包装机 是否正常 , 随机地抽取它所包装的糖 9 袋, 称得净重为 （千克 ）:0.497 0.506 0

3、.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常 ?分析：用 和分别表示这一天袋装糖重总体X的均值和标准差，则 XN（ ,0.0152）,其中 未知。问题: 已知总体 X : N（ , 2）, 且00.015,根据样本值判断 0.5还是0.5。提出两个对立假设 H0:00.5（原假设或零假设）和H1:0 （备择假设 ）.再利用已知样本作出判断是接受假设 H0 （ 拒绝假设 H1 ） , 还是拒绝假设 H0 （ 接受假设H1）. 如果作出的判断是接受 H 0, 则0 即认为机器工作是正常的 , 否则 , 认为是不正常的_x因为X是 的无偏估计量，

4、所以，若H 0为真，则x 0不应太大，咅 N(0,1),_x衡量x 0的大小可归结为衡量 士的大小。于是可以选定一个适当的正数 k,当观察0/4n_ x X值X满足0一 k时，拒绝假设H 0 ；反之，当观察值x满足0 k时，接受假设0/Tn/、nH 0。因为当H 为真时，U0 N(0,1),由标准正态分布分位点的定义得U/2,当 Xu /2时，拒绝H0,x 0u /2时，接受H0.假设检验过程如下在实例中，(1)若取定0.05,则 k u /2 U0.0251.96,我们有P(|U | 1.96)P( 吉1 1.96) 0.05.。/ n又已知n 9,00.015,由样本算得x 0.511,即

5、有|u| =2.2 1.96,于是根据小概率事件实际不可能性原理，拒绝假设H 0,认为包装机工作不正常.(2)若取定0.01,则 k u /2u0.005258,|u|=0 Wn2.22.58,于是接受假设H 0,认为包装机工作正常注:上述称为显著性水平.此例表明假设检验的结论与选取的显著性水平有密切的关系所以，必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平下作出的.2. 假设检验的基本思想及推理方法1) 假设检验基本思想(1) 在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零假设，记为H。，原假设如果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为。(2) 假设检验的依据一一小

6、概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生。(3) 假设检验的思路是概率性质的反证法。即首先假设成立，然后根据一次抽样所得的样本值得信息，若导致小概率事件发生，贝y拒绝原假设，否则接受原假设。（4）假设检验可能犯的两类错误： 第一类错误（弃真错误）：即假设H 0为真而被拒绝，记为，即P拒绝Ho|H。为真。 第二类错误（存伪错误）：假设H0不真而被接受，记为 ，即P接受Ho|H。不真。 当样本容量n定时，不可能同时减少，在实际工作中总是控制适当的小。2）假设检验的程序对任何实际问题进行假设检验，其程序一般为五步，即：根据题意提出零假设 H。（或相应备选假设 HJ。构造样本统计量并确定其分布；

7、给定显著性水平，查表确定临界值，从而得出接受域和拒绝域；由样本观测值计算出统计量的值；作出判断：若统计量的值落入拒绝域则拒绝H。，若统计量的值落入接受域则接受H。3）假设检验的主要方法U检验法、t检验法、$检验法、F检验法。例2已知某产品使用寿命 X服从正态分布，要求平均使用寿命不低于 1000小时，现从一批 这种产品中随机抽出 25只，测得平均使用寿命为 950小时，样本方差为100小时。则可用（）t-检验法2 -检验法Z-检验法F-检验法解选例3假设检验时，只减少样本容量，犯两类错误的概率（） 都增大都减少不变一个增大，一个减少nX i,假设检验i 1解选例4正态总体X N ,2 , X1

8、, X2, X n为样本，XH。：2200为已知数，在显著性水平a下，贝U当nXii 1-2X()时拒绝H 0解由于当H0成立时,(n 1)S(n 1)S*2,而 31)S*212(n 1), 故2(n1)P(n 1)S*22(n 1),于是选 7. 2单个正态总体的假设检验o2 ), o2已知,U检验法:H。:(已:0或0 或0)统计量U0/15.507故拒绝H。，接受 比：即认为这批导线的标准差显著的偏大。 7. 3两个正态总体的假设检验（1）12， 2已知，检验假设H0：12U检验法： H。： 12（耳：12）X y U22 : N（0,1）,（H。成立时）。1 2 给出，查正态表定u2

9、由样本值（X1, X2,L L，Xn），（ y1，y2,L L，y.）计算 U的值作出判断：若u u则拒绝H0，反之接受H0.（2）12，；未知，但12=:，检验假设H。：12t检验法： H。：1= 2 （ H1： 1= 2或 12或 12） T丫*2 叫（厂厂2） : “1 n2 2）（H0成立时）。n1-1）S（n2-1）5， 口 n2同前（3）1, 2,未知，检验假设 H。：12= 2（H1： 12；）F检验法:H0:S；2/S；2 : Fg 1,n21）（血成立时）（一） 已知12及2，检验假设H。：12例1由累积资料知道甲，乙两矿的含灰率服从X N（1,7.5），丫N（2,2.6 ）

10、。现从两矿中各取几个试件，分析其含灰率为：甲矿：24.3 20.8 23.7 21.3 17.4（%乙矿：18.2 16.9 20.2 16.7(%)问：甲乙两矿所采煤的含灰率的数学期望1和2有无显著性水平差异？（显著性水平a=0.10 ) . ( Z0.901.28,Zo.951.64)解已知12及I，假设检验H : 12，用Z检验法。提出零假设H : 12，对比：！2对显著性水平n2x y (1| 22:12n1n20.10 ,由Z0.95观察值。X21.5187爲2.6.54选取统计量Z，当H成立时，ZN （0.1 ）1.64=1.64，确定临界域计算统计量Z的2 )x y2221.5，

11、丫 18 于是a 1.6422.39由于 Z =2.39 1.64，故拒绝H0，即可以认为1和2有显著性差异。（二）未知，但12；，假设检验H。： 1例2某物品在处理前与处理后抽样分析含脂率（如下：处理前 x: 0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.17处理后 y： 0.13 0.15 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12设含脂率分别服从正态分布N（ 1, 12）,N（2,；），对显著性水平a=0.05，试问：处理前后的平均含脂率有无显著性差异？（t0.975(13)2.160,t0.975(14)2.145)分析 首先需要F-检验法验证二总体方

12、差是否有显著性差异，在无显著性差异（视为相等） 的条件下，然后利用 T-检验法在检验二总体均值是否有显著性差异。解（1）利用F-检验法检验二总体方差有无显著性差异。检验假设H 0 :S12选用统计量 F芬，当H0:成立时，F-Fg 1,n2 1)S2r2 对给定显著性水平 a=0.05，有F-分布表得临界值,F a (6,7)5.12, Fa (6,7)1 -21 10.175 Fa (6,7)5.702计算统计量F的样本观察值1 n1Xi0.24,Yni i1 n2Yi0.13n? i 1s2n1(Xii 12X)7.58*10 3S；1n21n2(Yi 1Y)23.9*10 3(2)利用S

13、21.93(0.175,5.12)，接受H。，认为二总体方差无显著性差异。T-检验法检验二总体均值有无显著性差异。检验假设H 0 :12, H1 :22 选取统计量(X y) ( 12)t(m n 2),(ni 1)Si2 (n2 1)S；.mn 2 (n1 n2 2)1小n2H0成立时，T (n1 n? 2)对给定显著性水平 a=0.05，得拒绝域t.975(13)2.160 计算统计量T的观测值t八.“2 2)(n 1 1)S2 (USn0.24 0.137*8*13 卫*6.9676* 7.5*10 3 7*3.9*107 80.2692849由于t2.849 10975 (13) 2.

14、160。故拒绝H。，接受H1。即处理后含脂率有显著差异。（三）均值未知，检验假设Ho例3某一橡胶配方中，原用氧化锌5g，现减为1g，若分别用两种配方做一批实验，5g配方测9个值，得橡胶伸长率的样本差是 S； 63.86 ； ig配方测3个值，橡胶伸长率的样本差是S；236.8。设橡胶伸长率遵从正态分布，问两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异？ (a=0.10)( F0.95(8,9)3.23,F0.95(9,8)3.39)分析两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异，是通过样本值去判断成立，是均值未知的两个总体方差是否相等的检验,5g配方和1g配方记为X N( 1, 12),Y N(2,；

15、)解检验假设H 0 :2选取统计量FS21S；22当Ho成立时S2?F(m 1m 1)S2对显著性水平 a=0.10由题设 Fo.95（8,9）3.23，F0-(8,9) E0.295。3.39故拒绝域为0,0.2953.23, 计算统计量F的样本观察值厂S2 63.86F 舟0.2697S； 236.8由于F=0.2697（0.295,3.23），即F落入拒绝域，应拒绝 H 0 ,接受 比，即在 =0.10下认为两个总体的方差是不等的。注：若将显著性水平改为a=0.02，此时F1 a (8,9)12F0.99 (8,9)5.47, F a (9,8)F.99(9,8)5.911 -9此时拒绝

16、域110,Fa(8,9)F1a(8,9),0,F0.99,0,5.47,0,0.1695.47,21 2F0.99 (9,8)5.91样本观察值F=0.2697未落入拒绝域，故接受H0，即认为两种配方总体方差无显著差异,说明显著性水平越小，否定零假设越困难。(四)均值未知，检验假设Ho例4有甲乙两车床生产同一型号的滚珠，根据已有经验可以认为，这两台车床生产的滚珠 都服从正态分布，问题是要比较台车床生产的滚珠的直径的方差。现在从这两台车床的产品中分别抽取8个和9个，经计算得X甲=15.01，X乙=14.99，S甲=0.0955，S乙=0.0261，对 显著性水平a=0.05，试问：乙车床产品的方

17、差是否比甲车床的小？(f.95(7,8)3.50, f.95(8,7)373, f.975(7,8)453, 975(8,7)4.90)分析 由题意，是验证 甲乙是否成立，而单边检验所提假设含等号，故此题可假设为H。：甲解 利用F-检验法检验两总体方差比。检验假设H 0 :甲 乙，H1 :甲 乙选取统计量F自由度是7,第二自由度是8的F-分布由题知f.95(7,8)=3.50，故拒绝域为3.50,统计量F的样本观察值0.09550.02613.694由于f=3.659 3.50，故应拒绝H。，接受比。即乙车床产品的直径的方差比甲车床的小。二、两个正态总体均值差的检验、r2设X1,X2, ,Xm

18、是来自总体X服从N( 1, 1 )的样本，yy2, , y.是来自总体Y服2从N( 2, 2 )的样本，且两样本相互独立，考虑如下的三种检验：H。：12 0vsH1:120(1;H0 :12 0vsH1:120(2)H。：12 0vsH1 :120(3)主要分两种情况讨论。1、1, 2已知时的两样本的检验2 2此时i 2的估计x y的分布完全已知，x yN（i2, ），由此可m n采用U检验法，检验统计量为x yI22L 二.m nX y在i 2时，UN （0,1）。检验的拒绝域取决于备择假设的形式。上述三m n对假设检验的拒绝域分布为：W U;U U1 W U;U U W U;U U 1 2

19、2、 12但未知时的两样本t检验在12I2未知时，类似于单个正态总体方差未知时均值的检验，我们仍用的无偏估计代替 2，而此时可以证明2的无偏估计为：SWX)2n(yi1y)2 (m 曲(n 1)S2于是有(Xy)2)t(mn 2)从而检验统计量为x ySw11n0时，Tt(m n2）。上述三对假设检验的拒绝域分布为:SwW T;T t1 (m n 2)W T;T t (m n 2)W T;T t (m n 2)2例7. 2 .3某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，从两种铸件中各抽取一个容量分别为镍合金 76.4376.2173.58铜合金 73.6664.27

20、69.348和9的样本，测得其硬度(一种耐磨性指标)为:69.6965.2970.8382.7572.3471.3769.7768.1267.2768.0762.610.05下判断镍根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显著性水平合金的硬度是否有明显提高?解略。综上，关于两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总成如下的表:条 件原假设H。备择假设H1检验统计量 及其分布拒绝域12已 知1 21 2UL2-y 2 N (0,1)J 12U U11 21 2U U00UU1 21 2未知1 21 2x yT t(m n 2)1 1SwJ _V m nT t1(mn 2)1 21 2T

21、t (m n 2)1 21 2T匚少n 2)2正态总体方差的检验设总体X N(，2)，X1, X2,Xn曰十 是来:自该总体的样本,对方差2考虑如下的三种检验：H。:2 20vs H1 :220(1)H。:2 20vs H1 :220(2)H。:2 20vs H1 :220(3)1、均值未知时方差的检验由于未知,nS2-(Xin 1 i 1x)2是2的无偏估计，且22(n 1)对于显著性水平，对应上述三种假设检验的拒绝域分布为:2；( n 1)S2; 2o21 (n 1)2.(n 1)S22 (n 1)2 2.(n 1)S(n1)或2(n 1)S2022(n1)例7.2.4某类钢板每块的重量X

22、服从正态分布，其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过0.016 kg2。现从某天生产的钢板中随机抽取25块，得其样本方差 S2 =0.025 kg问该天生产的钢板重量的方差是否满足要求？0.05。解略。2、均值已知时方差的检验此时，检验统计量取为n2(:Xi)2i 1且 22 r r0时2，且0n2(Xii 1202(n)故对均值 已知时方差的三种检验，我们只需将均值未知时方差的三种检验中2 分布的自由度变一下就可得到检验的拒绝域。综上，关于单个正态总体方差的假设检验问题可汇总成如下的表:条 件原假设H0备择假设H1检验统计量 及其分布拒绝域2 202 202 2 、1 (n)已 知220220n(Xi2i 12)2(n)22 (n)20221p (n)222200或22,n)222222(n 1)002 (n1)S22 /八12 (n 1)未2222022(n 1)知002212(n 1)2222