离心率的五种求法

1、离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现 椭圆的离心率0 : e : 1，双曲线的离心率 e . 1，抛物线的离心率 e =1.直接求出a, c，求解e已知标准方程或a,c易求时，可利用离心率公式来求解。e a2例1.过双曲线C： x2y2 =1（b .0）的左顶点A作斜率为1的直线l，若丨与双曲线M的两b条渐近线分别相交于点B、C,且|AB|=|BC|，则双曲线 M的离心率是（）A. 10 B.5 C. 103D.,52分析：这里的a =1, b21，故关键是求出b2，即可利用定义求解。解：易知A （-1 , 0）,则直线l的方程为的交点分别为B（1 bb 1

2、 b 1)、C(J1y =xb-1。直线与两条渐近线 y二-bx和y二bx又 |AB|=|BC|，可解得 b2 =9，贝UUd 0）的一条渐近线方程为 y = 4 x，则双曲线的，3离心率为（）A. 53B. 43D.-2分析:本题已知b二4，不能直接求出3a、c,可用整体代入套用公式。解：因为双曲线的一条渐近线方程为=3x，所以-，则从而选Ao1.设双曲线2 2xy彳1ab(a0,b 0)的渐近线与抛物线 y2二X 7相切，则该双曲线的离心率等于（C）二、厂J = . 5.e =1 ：代入抛物线方，即丄=4a222.过双曲线笃a2=1(a0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线

3、的b2两条渐近线的交点分别为b,c .若A百=2BC，则双曲线的离心率是()2A.、.2b.、3c.、.5d.,10答案：C【解析】对于 A(a,0 )，则直线方程为x y-a =0，直线与两渐近线的交点为B，C,a2ab(叫，汽)，BC =（2 22a b 2a b ） g a2 -b2），ab.a babuur uirno o . 2因此 2AB 二 BC,. 4a2 二b2，即 =4 , ，ae 二1 b2 = 5=1( a b 0)的左焦点R作x轴的垂线交椭圆于点 P，F2为右焦点,若 f1pf2则椭圆的离心率为()A.2-IbIc.311D.-23【解析】b2因为 P（ -C, -一

4、），再由.F1PF -60 有a1 _ 2 =空，故选B33e =1弓3b2-2a,即b 2从而可得2a 3A. ；3b.2C. , 5D. ,62 2 ,解：由题双曲线 笃一器=1 a0, b0的一条渐近线方程为 丫=：巴,程整理得ax? _bx a = 0，因渐近线与抛物线相切，所以b4a 0、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助 a、b、c之间的关系，构造 a、c的关系（特别是齐二次式），进而 得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。2 2X V例3.已知椭圆 2 =1（a b - 0）的左焦点为F，右顶点为 A，点B在椭圆上，且a buur uurBF _x轴，直线 AB交y轴

5、于点P 若AP =2PB，则椭圆的离心率是（）aIbJc.2 211D.32【解析】对于椭圆，因为uur uur1AP=2PB，贝V 0A=20F, a =2c,. e 二一 22y2 =1（ a 0,b - 0 ）的两个焦点，若 F2 , P（0,2b）是正 b三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）1.设R和F2为双曲线2 X2 aA. 3B. 2C. 5D. 32 2二 c【解析】由tan 6 2b 3有 3c2 =4b2 =4(c2 -a2),则 e=c =2,故选 B.a2.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为离心率为（）R、F2 , F,MF2 =120，则双曲线的解：如图所示，不

6、妨设 M 0,b , Fi -c,0 ,F2 c,0，则MF1 = MF2=Jc2 +b2，又 F2 =2c,在 F1MF2中，由余弦定理，得 cos F1MF2MF1 2 + MF?2-IF” 22|MF1mf22即-12=c2b2c2b22 c2b2)-4c2 b2-c，b2 +c22-a , 2-a222c - a-1 , 3a2 二 2c22V6- e =2故选B3.设 ABC是等腰三角形， ABC =120：，则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（B）A.1.2B.13C. 12D. 134.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直

7、，那么此双曲线的离心率为（）A.2 B. 3 c. 1 D. -2 2解析：选D.不妨设双曲线的焦点在 x轴上，设其方程为：2 2X2V2 -1(a 0,b 0),a b则一个焦点为 F（c,O）, B（O,b）一条渐近线斜率为：b，直线FB的斜率为:abbb， (-一) cac.2-1， . b =acc2 -a2 -ac = 0，解得 e = ca5.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若_F| PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D）宀 C_2亠1解:丄 PF22c= a2 -c2 =2ac由a化为齐次式e2 2e-1 =0=.2 -12 26.

8、双曲线 务与=1（a0,bA0）的左、右焦点分别是 F，F2，过F1作倾斜角为30的 a bA.B. 73C.逅D.37.设Fn F2分别是双曲线2 2 仔-与的左、 a b右焦点，若双曲线上存在点且AF1=3AF2，则双曲线的离心率为（B)直线交双曲线右支于 M点，若MF2垂直于X轴，则双曲线的离心率为（B）A ,F1AF 90：；A.2C?e 込 10 20AF,- AF2= 2AF2 = 2a解如）2+牡）2= （2c）2? a2 28 .如图，R和F2分别是双曲线 笃-爲=1 （ a 0,b 0 ）的两个焦点，A和B是a b以0为圆心，以OF!为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AF

9、?AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ,3B ,5 C 二D 3126.解析：连接 AF1,ZAF2F1=30 |AF1|=c , |AF2|= ,.3c,a2a=（、3-1）c,双曲线的离心率为1,3，选D。、-一_八-,一X2y2 9.设F1、F2分别是椭圆 =1（ a b 0 ）的左、右焦点，P是其右准线上纵a bF1F F2P，则椭圆的离心率是（）坐标为.3c （ c为半焦距）的点，且D22 210.设双曲线务-a b=1 （ 0 ： a ： b ）的半焦距为c，直线L过a,0 ,0,b两点已3知原点到直线的距离为3c ,则双曲线的离心率为（）4A. 2 B. . 3 C.、2

10、 D. 2 -3解：由已知，直线L的方程为bx ay - ab = 0，由点到直线的距离公式，得ab322 c，a b 4又 c2 =a2 b2, 4ab = 3c2,两边平方，得 16a2 c2 - a2 i=3c4，整理得 3e4 -16e216 =0 ,得或e2牛，又ob , e22 c2 aa2 b2=12 , e2=4a2211.知F1、F2是双曲线X2 7 = 1 （ a 0, b 0 ）的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角 a2 b2形MF?，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 4 2 3 B. 3 -1解：如图，设MFi的中点为P ,Q ORP =60歼=

11、c,. Xp把P点坐标代人双曲线方程，有4 a2=1=邑即p(_E遅2 2 2化简得e4 -8e 4=0解得e =1 3或e=1-（舍），故选D四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。2 2例4 :设椭圆 笃-每=1 （ a 0,b 0 ）的右焦点为F1，右准线为h，若过F1且垂直 a b于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦,V AD _ h 于 D , 丄|ab-2AF1AD AD为Fi到准线li的距离，根据椭圆的第二定义,AD 21.

12、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为（）A2 B 2CD -224解：e二AF22 V2AD 12 在给定双曲线中过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（）五、构建关于e的不等式，求e的取值范围2 21 .已知双曲线X2 一 y2 =1 （ a 0,b 0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为600 a b的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A 1,2fa 1,2 C 2, ： D 2,：2 椭圆2 2笃爲=1 （ a b 0 ）的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为 a bN，若 MN 兰2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（A.D.0丄222B.2 21.双曲线 冷-“（a 0,b 0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双a b曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.22 , , 2 - 3，离心率e2=冷 aaa2 4， e2，选 Ca2 22.椭圆务 yz -1(a b 0)a b的焦点为F, , F2，两条准线与x轴的交点分别为2aM，N，若 |MN |=2 二，IF1F2A2C，MN 2| F1F